التدريب على الأساليب الكمية والدخل الثابت في CFA Level I: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
نصف سنوي: C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري: C/P
السعر والعائد: العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
قيمة الشركة: V = E + D

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تستثمر €5 000 بمعدل اسمي 3% سنويًا، تُركَّب الفائدة شهريًا. أوجد قيمة FV الاستثمار بعد 10 سنوات.

PV = €5 0003% / 12n = 10

FV = €

2.القيمة الزمنية للنقودصعبة

تقترض €10 000 بمعدّل 3,6% سنويًا، تُركَّب شهريًا، وتسدّد €125 في نهاية كل شهر. كم شهرًا يستغرق حتى يُسدَّد القرض (قد تكون الدفعة الأخيرة أصغر)؟ أعطِ عدد الدفعات N.

P = €10 000A = €1253,6% / 12

N = دفعات

3.NPV و IRRمتوسطة

تبلغ تكلفة آلة €40 000 اليوم، وتعمل 4 سنوات وتكلّف €4 000 سنويًا للتشغيل (تُدفع في نهاية كل سنة). تكلفة رأس المال 10%. أوجد تكلفتها السنوية المكافئة EAC.

C₀ = €40 000M = €4 000n = 4r = 10%

EAC = €

4.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €20 000 ويعود بـ €14 500, €14 000, €14 000 في نهاية السنوات من 1 إلى 3. أوجد معدل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

CF₀ = −20 000CF₁ = 14 500CF₂ = 14 000CF₃ = 14 000

IRR = %

5.تسعير السندات وعائدهامتوسطة

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا بنسبة 4% على دفعتين نصف سنويتين ويستحق بعد 9 سنوات. العائد حتى الاستحقاق 8% سنويًا. أوجد سعر السند P.

F = €1 000الكوبون = 4%YTM = 8%n = 9

P = €

6.تسعير السندات وعائدهاصعبة

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا قدره 5% على دفعتين نصف سنويتين ويستحق بعد 9 سنوات. يُباع بسعر €965. أوجد عائده حتى الاستحقاق YTM كمعدّل سنوي (ضعف العائد نصف السنوي)، بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 5% (2×)n = 9P = €965

YTM = %

7.CAPM و WACCمتوسطة

لدى شركة نسبة دين إلى حقوق ملكية (بالقيم السوقية) قدرها 0,4. تكلفة حقوق ملكيتها 11%، وتكلفة دينها قبل الضريبة 4%، ومعدّل الضريبة 21%. أوجد WACC.

D/E = 0,4r_e = 11%r_d = 4%T = 21%

WACC = %

8.CAPM و WACCصعبة

لنشاط شركة معامل بيتا غير ممدود بالرافعة (للأصول) قدره 0,9. تخطّط لنسبة دين إلى حقوق ملكية قدرها 1,5. معدّل الضريبة 21%، والمعدّل الخالي من المخاطر 3%، وعلاوة مخاطر السوق 4%. أوجد تكلفة حقوق الملكية r_e عند الهيكل الرأسمالي الجديد.

β_U = 0,9D/E = 1,5T = 21%r_f = 3%r_m − r_f = 4%

r_e = %

9.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 43, 55, 14, 38, 50, 17, 30.

n = 7

s =

10.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 50 وانحراف معياري 15. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 42,5.

μ = 50σ = 15x = 42,5

z =

11.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,2, 0,35, 0,1, 0,2

σ =

12.الاحتمالصعبة

يُختبر 9 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,25. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟

n = 9p = 0,25

P =

13.التوزيع الطبيعيمتوسطة

كتل الصناديق مستقلة وطبيعية بمتوسط 12 kg وانحراف معياري 0,8 kg. أوجد الاحتمال P بأن تتجاوز الكتلة الكلية لـ 6 منها 75,9 kg. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 6> 75,9 kg

P =

14.التوزيع الطبيعيصعبة

أعمار البطاريات موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 h وانحراف معياري 40 h. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 99% منها (المئين 99).

μ = 500σ = 40P = 99%

x = h

15.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 9 مفردة متوسطها 107,5 وانحرافها المعياري s = 10,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد هامش الخطأ E لفترة ثقة 90% للمتوسط.

n = 9x̄ = 107,5s = 10,590%t(8) = 1,86

E =

16.فترات الثقةصعبة

يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 5 قطعة، متوسط المحصول 35 kg، الانحراف المعياري 8,5 kg. مجموعة القطع 2: 16 قطعة، المتوسط 28 kg، الانحراف المعياري 7,5 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 95% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 5x̄₁ = 35s₁ = 8,5n₂ = 16x̄₂ = 28s₂ = 7,595%t(19) = 2,093

الحد الأدنى = kg

17.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 81 طالبًا متوسط درجاتها 501,1 وانحرافها المعياري 4. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 501,1s = 4n = 81

t =

18.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

اختبار z أحادي الطرف عند α = 0,01 يجب أن يكشف انزياحًا في المتوسط مقداره 4 وحدة بقوة 95%. الانحراف المعياري 7. أوجد أصغر حجم عينة n.

α = 0,01القوة = 95%δ = 4σ = 7z_α = 2,326z_β = 1,645

n =

19.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.

n = 6

r² =

20.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 4,5.

n = 5x = 4,5

ŷ =

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 6747 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل وعدد الفترات

i = r/m = 0,03/12 = 0,0025

N = m·n = 12·10 = 120

القيمة المستقبلية

FV = 5 000·(1 + 0,0025)¹²⁰ = 5 000·1,349 = €6 746,77

الإجابة

FV = €6 746,77

2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: N = 92 دفعات

أعد ترتيب صيغة الدفعات

i = 0,003

(1 + i)^−N = 1 − 10 000·0,003/125 = 0,76

حلّ باللوغاريتمات

N = −ln(0,76)/ln(1,003) = 91,62

قرّب إلى دفعات كاملة

91 دفعة كاملة تترك رصيدًا صغيرًا، تسدّده الدفعة الأخيرة الأصغر.

N = 92

الإجابة

N = 92 دفعات

3.NPV و IRR

الإجابة: EAC = 16619 €

التكلفة السنوية المكافئة: وزّع القيمة الحالية لكل التكاليف على العمر كمبلغ سنوي متساوٍ (سلسلة دفعات): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). وهي تتيح مقارنة آلات بأعمار مختلفة.

معامل سلسلة الدفعات

(1 − 1,1⁻⁴)/0,1 = 3,17

سعر الشراء المحوَّل إلى قيمة سنوية

40 000/3,17 = 12 618,83

EAC

EAC = 12 618,83 + 4 000 = €16 618,83

الإجابة

EAC = €16 618,83

4.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 50,16 %

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

احصر IRR بين قيمتين

تنخفض NPV كلما ارتفع المعدل، لذا يقع IRR بين معدل يعطي NPV موجبة ومعدل يعطي NPV سالبة.

NPV(50%) = 37,04

NPV(55%) = −1 058,37

ضيّق النطاق

يعطي الاستكمال الخطي تقديرًا أوليًا؛ وتكراره (أو دالة IRR في الآلة الحاسبة) يعطي المعدل الدقيق.

IRR ≈ 50 + 5·37,04/(37,04 − (−1 058,37)) = 50,17%

بالضبط: NPV(50,16%) = 0 → IRR = 50,16%

الإجابة

IRR = 50,16%

5.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: P = 746,8 €

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

لكل فترة

C = €20,00, i = 0,04, N = 18

القيمة الحالية للكوبونات

€20,00·(1 − 0,4936)/0,04 = €253,19

القيمة الحالية للقيمة الاسمية

€1 000·0,4936 = €493,63

السعر

P = €746,81

الإجابة

P = €746,81

العائد أعلى من معدل الكوبون، لذا يُباع السند بخصم.

6.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: YTM = 5,498 %

لكل فترة

C = €25,00, N = 18

الحل العددي

i = 2,749% لكل نصف سنة

YTM

YTM = 2·2,749% = 5,498%

الإجابة

YTM = 5,498%

7.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 8,76 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان من D/E

E/V = 1/(1 + 0,4) = 0,7143

D/V = 0,4/(1 + 0,4) = 0,2857

WACC

WACC = 0,7143·11% + 0,2857·4%·(1 − 0,21) = 8,76%

الإجابة

WACC = 8,76%

8.CAPM و WACC

الإجابة: r_e = 10,87 %

معامل بيتا الممدود بالرافعة (هامادا): الدين يجعل حقوق الملكية أكثر مخاطرة. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)، حيث β_U معامل بيتا للنشاط دون دين. لنقل معامل بيتا إلى هيكل رأسمالي آخر، أزل أثر الرافعة أولًا ثم أعد تطبيقها عند D/E الجديدة.

معامل بيتا الممدود بالرافعة

β_L = 0,9·(1 + 0,79·1,5) = 1,967

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

r_e = 3% + 1,967·4% = 10,87%

الإجابة

r_e = 10,87%

9.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 15,74

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 247/7 = 35,29

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 7,714² + 19,71² + (−21,29)² + 2,714² + 14,71² + (−18,29)² + (−5,286)² = 1487

الانحراف المعياري

s = √(1487/6) = 15,74

الإجابة

s = 15,74

10.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = −0,5

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (42,5 − 50)/15 = −0,5

الإجابة

z = −0,5

11.الاحتمال

الإجابة: σ = 1,304

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 1·0,15 + 2·0,2 + 3·0,35 + 4·0,1 + 5·0,2 = 3

متوسط المربعات

E(X²) = 1·0,15 + 4·0,2 + 9·0,35 + 16·0,1 + 25·0,2 = 10,7

التباين

Var(X) = 10,7 − 3² = 1,7

σ = √1,7 = 1,304

الإجابة

σ = 1,304

12.الاحتمال

الإجابة: P = 0,3003

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

صفر وعطل واحد

P(X = 0) = 0,75⁹ = 0,07508

P(X = 1) = 9·0,25·0,75⁸ = 0,2253

اجمعها

P = 0,07508 + 0,2253 = 0,3003

الإجابة

P = 0,3003

13.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,0233

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع الكلي

μ_T = 72 kg, σ_T = 0,8·√6 = 1,96 kg

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (75,9 − 72)/1,96 = 1,99

الاحتمال

P = 1 − Φ(1,99) = 0,0233

الإجابة

P = 0,0233

14.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 593,1 h

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

العودة إلى x

x = 500 + 2,326·40 = 593,05 h

الإجابة

x = 593,05 h

15.فترات الثقة

الإجابة: E = 6,51

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 8, t = 1,86

هامش الخطأ

E = 1,86·10,5/√9 = 6,51

الإجابة

E = 6,51

16.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = −1,28 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

الانحراف المعياري المجمَّع

s_p² = (4·8,5² + 15·7,5²)/19 = 59,62

s_p = 7,721

هامش الخطأ

E = 2,093·7,721·√(1/5 + 1/16) = 8,28

الفترة

7 ± 8,28 → [−1,28, 15,28]

الإجابة

الحد الأدنى = −1,28 kg

17.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 2,475

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444

إحصائية الاختبار

t = (501,1 − 500)/0,4444 = 2,475

الإجابة

t = 2,475

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

18.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 49

حجم العينة لاختبار: لكشف انزياح حقيقي δ بقوة 1 − β في اختبار z أحادي الطرف عند المستوى α، يجب أن يحقّق الخطأ المعياري δ = (z_α + z_β)·σ/√n، لذا n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = ((2,326 + 1,645)·7/4)² = 48,29

قرّب إلى الأعلى

n = 49

الإجابة

n = 49

19.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r² = 0,9764

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 132/6 = 22

ȳ = 617/6 = 102,8

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 395

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2283

معامل التحديد

r² = 395²/(70·2283) = 0,9764

الإجابة

r² = 0,9764

نحو 97,64% من التباين في y يفسّره الخط.

20.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 73,65

المتوسطات

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 356/5 = 71,2

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 49

خط الانحدار

b = 49/10 = 4,9

a = 71,2 − 4,9·4 = 51,6

ŷ = 51,6 + 4,9·x

التنبؤ

ŷ = 51,6 + 4,9·4,5 = 73,65

الإجابة

ŷ = 73,65

هذه مادة تدريب مستقلة. ExamProblems غير تابع للجهة التي تنظّم هذا الامتحان ولا معتمد منها، ويُستخدم اسم الامتحان لوصف المحتوى فقط. CFA® and Chartered Financial Analyst® علامات تجارية لـ CFA Institute، وهي غير تابعة لـ ExamProblems ولا تؤيده ولا تضمن دقته.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income