التدريب على الأساليب الكمية والدخل الثابت في CFA Level I: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
نصف سنوي: C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري: C/P
السعر والعائد: العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
قيمة الشركة: V = E + D

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تستثمر €3 000 بمعدل اسمي 4% سنويًا، تُركَّب الفائدة شهريًا. أوجد قيمة FV الاستثمار بعد 5 سنوات.

PV = €3 0004% / 12n = 5

FV = €

2.القيمة الزمنية للنقودصعبة

يُسدَّد قرض قدره €150 000 بدفعات شهرية متساوية على مدى 30 سنوات. معدل الفائدة 7,2% سنويًا يُركَّب شهريًا. أوجد الدفعة الشهرية A.

P = €150 0007,2% / 12N = 360

A = €

3.NPV و IRRمتوسطة

تبلغ تكلفة آلة €20 000 اليوم، وتعمل 7 سنوات وتكلّف €1 000 سنويًا للتشغيل (تُدفع في نهاية كل سنة). تكلفة رأس المال 6%. أوجد تكلفتها السنوية المكافئة EAC.

C₀ = €20 000M = €1 000n = 7r = 6%

EAC = €

4.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €40 000 ويعود بـ €28 500, €21 000 في نهاية السنوات من 1 إلى 2. أوجد معدل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

CF₀ = −40 000CF₁ = 28 500CF₂ = 21 000

IRR = %

5.تسعير السندات وعائدهامتوسطة

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا بنسبة 6% على دفعتين نصف سنويتين ويستحق بعد 12 سنوات. العائد حتى الاستحقاق 5,5% سنويًا. أوجد سعر السند P.

F = €1 000الكوبون = 6%YTM = 5,5%n = 12

P = €

6.تسعير السندات وعائدهاصعبة

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا قدره 4% على دفعتين نصف سنويتين ويستحق بعد 5 سنوات. يُباع بسعر €838. أوجد عائده حتى الاستحقاق YTM كمعدّل سنوي (ضعف العائد نصف السنوي)، بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 4% (2×)n = 5P = €838

YTM = %

7.CAPM و WACCمتوسطة

تُموَّل شركة بأسهم عادية قيمتها €12 000 000، وأسهم ممتازة قيمتها €1 500 000، ودين قيمته €2 000 000. تكلفة حقوق الملكية 10%، وتكلفة الأسهم الممتازة 6%، وتكلفة الدين قبل الضريبة 4%. معدّل الضريبة 20%. أوجد WACC.

E = €12 000 000P_s = €1 500 000D = €2 000 000r_e = 10%r_p = 6%r_d = 4%T = 20%

WACC = %

8.CAPM و WACCصعبة

لدى شركة 5 000 000 من الأسهم بسعر €58,50 للسهم الواحد و10 000 من السندات يُتداول كل منها بسعر €1 050. تكلفة الدين قبل الضريبة 4,5% ومعدل الضريبة 21%. معامل بيتا للسهم 1,8، والمعدل الخالي من المخاطر 3,5%، وعائد السوق 10%. أوجد WACC.

β = 1,8r_f = 3,5%r_m = 10%r_d = 4,5%T = 21%

WACC = %

9.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 59, 30, 48, 11, 39, 38.

n = 6

s =

10.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 60 وانحراف معياري 5. ما نسبة P القيم الأكبر من 67,5؟

μ = 60σ = 5x = 67,5

P =

11.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,05, 0,3, 0,3, 0,35

σ =

12.الاحتمالصعبة

يحتوي اختبار على 7 أسئلة اختيار من متعدد. طالبة تخمّن تجيب عن كل سؤال صحيحًا باحتمال 0,5، باستقلال. ما احتمال P الحصول على 1 إجابات صحيحة بالضبط؟

n = 7p = 0,5k = 1

P =

13.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة تحت المنحنى الطبيعي القياسي، على يمين z، مساوية 0,7224. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,7224

z =

14.التوزيع الطبيعيصعبة

أطوال الرجال X وأطوال النساء Y في مجموعة مستقلة وطبيعية: لـ X متوسط 180 cm وانحراف معياري 10 cm، ولـ Y متوسط 170 cm وانحراف معياري 12 cm. أوجد الاحتمال P بأن يكون X أكبر من Y. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

15.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 6 مفردة متوسطها 37 وانحرافها المعياري s = 14,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد هامش الخطأ E لفترة ثقة 90% للمتوسط.

n = 6x̄ = 37s = 14,590%t(5) = 2,015

E =

16.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 13. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 95% للمتوسط 4 على الأكثر؟

σ = 13E = 495%

n =

17.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 49 طالبًا متوسط درجاتها 502,9 وانحرافها المعياري 12. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 502,9s = 12n = 49

t =

18.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 100 قياسًا متوسطها 103,1. الانحراف المعياري للمجتمع 12. أوجد الحد الأعلى U لفترة الثقة 95% للمتوسط.

x̄ = 103,1σ = 12n = 10095%

U =

19.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.

n = 5

r² =

20.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 25؟

n = 5ŷ = 25

x =

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 3663 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل وعدد الفترات

i = r/m = 0,04/12 = 0,003333

N = m·n = 12·5 = 60

القيمة المستقبلية

FV = 3 000·(1 + 0,003333)⁶⁰ = 3 000·1,221 = €3 662,99

الإجابة

FV = €3 662,99

2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: A = 1018 €

المعدل الشهري وعدد الدفعات

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·30 = 360

الدفعة

القيمة الحالية لـ N دفعة متساوية A هي A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. ساوِها بالقرض وحُلّ لإيجاد A.

(1 + i)^−N = 0,1161

A = 150 000·0,006/(1 − 0,1161) = €1 018,18

الإجابة

A = €1 018,18

3.NPV و IRR

الإجابة: EAC = 4583 €

التكلفة السنوية المكافئة: وزّع القيمة الحالية لكل التكاليف على العمر كمبلغ سنوي متساوٍ (سلسلة دفعات): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). وهي تتيح مقارنة آلات بأعمار مختلفة.

معامل سلسلة الدفعات

(1 − 1,06⁻⁷)/0,06 = 5,582

سعر الشراء المحوَّل إلى قيمة سنوية

20 000/5,582 = 3 582,70

EAC

EAC = 3 582,70 + 1 000 = €4 582,70

الإجابة

EAC = €4 582,70

4.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 16,37 %

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

احصر IRR بين قيمتين

تنخفض NPV كلما ارتفع المعدل، لذا يقع IRR بين معدل يعطي NPV موجبة ومعدل يعطي NPV سالبة.

NPV(15%) = 661,63

NPV(20%) = −1 666,67

ضيّق النطاق

يعطي الاستكمال الخطي تقديرًا أوليًا؛ وتكراره (أو دالة IRR في الآلة الحاسبة) يعطي المعدل الدقيق.

IRR ≈ 15 + 5·661,63/(661,63 − (−1 666,67)) = 16,42%

بالضبط: NPV(16,37%) = 0 → IRR = 16,37%

الإجابة

IRR = 16,37%

5.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: P = 1044 €

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

لكل فترة

C = €30,00, i = 0,0275, N = 24

القيمة الحالية للكوبونات

€30,00·(1 − 0,5215)/0,0275 = €522,02

القيمة الحالية للقيمة الاسمية

€1 000·0,5215 = €521,48

السعر

P = €1 043,50

الإجابة

P = €1 043,50

العائد أقل من معدل الكوبون، لذا يُباع السند بعلاوة.

6.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: YTM = 7,994 %

لكل فترة

C = €20,00, N = 10

الحل العددي

i = 3,997% لكل نصف سنة

YTM

YTM = 2·3,997% = 7,994%

الإجابة

YTM = 7,994%

7.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 8,735 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان

V = 12 000 000 + 1 500 000 + 2 000 000 = €15 500 000

E/V = 0,7742, P_s/V = 0,09677, D/V = 0,129

WACC

WACC = 0,7742·10% + 0,09677·6% + 0,129·4%·(1 − 0,2) = 8,735%

الإجابة

WACC = 8,735%

8.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 14,8 %

القيم السوقية

E = 5 000 000·€58,50 = €292 500 000

D = 10 000·€1 050 = €10 500 000

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

r_e = 3,5% + 1,8·6,5% = 15,2%

الأوزان

V = €303 000 000, E/V = 0,9653, D/V = 0,03465

WACC

WACC = 0,9653·15,2% + 0,03465·4,5%·(1 − 0,21) = 14,8%

الإجابة

WACC = 14,8%

9.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 16,33

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 225/6 = 37,5

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 21,5² + (−7,5)² + 10,5² + (−26,5)² + 1,5² + 0,5² = 1334

الانحراف المعياري

s = √(1334/5) = 16,33

الإجابة

s = 16,33

10.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,06681

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = 1,5

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(1,5) = 0,9332

P = 1 − 0,9332 = 0,06681

الإجابة

P = 0,06681

11.الاحتمال

الإجابة: σ = 1,841

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,05 + 2·0,3 + 4·0,3 + 6·0,35 = 3,9

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,05 + 4·0,3 + 16·0,3 + 36·0,35 = 18,6

التباين

Var(X) = 18,6 − 3,9² = 3,39

σ = √3,39 = 1,841

الإجابة

σ = 1,841

12.الاحتمال

الإجابة: P = 0,05469

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

صيغة ذي الحدين

P(X = 1) = 7·0,5¹·0,5⁶ = 7·0,5·0,01563 = 0,05469

الإجابة

P = 0,05469

13.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = −0,59

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = 1 − 0,7224 = 0,2776

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,2776 داخل الجدول واقرأ z.

z = −0,59

الإجابة

z = −0,59

14.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,7389

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع الفرق

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

الاحتمال

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

الإجابة

P = 0,7389

15.فترات الثقة

الإجابة: E = 11,93

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 5, t = 2,015

هامش الخطأ

E = 2,015·14,5/√6 = 11,93

الإجابة

E = 11,93

16.فترات الثقة

الإجابة: n = 41

حُلّ لإيجاد n

n = (1,96·13/4)² = 40,58

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 41

الإجابة

n = 41

17.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 1,692

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 12/√49 = 12/7 = 1,714

إحصائية الاختبار

t = (502,9 − 500)/1,714 = 1,692

الإجابة

t = 1,692

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

18.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: U = 105,5

هامش الخطأ

E = 1,96·12/√100 = 2,352

حد الفترة

U = 103,1 + 2,352 = 105,5

الإجابة

U = 105,5

19.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r² = 0,8734

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 277/5 = 55,4

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 80

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 183,2

معامل التحديد

r² = 80²/(40·183,2) = 0,8734

الإجابة

r² = 0,8734

نحو 87,34% من التباين في y يفسّره الخط.

20.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 9,094

المتوسطات

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 84/5 = 16,8

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 106

خط الانحدار

b = 106/40 = 2,65

a = 16,8 − 2,65·6 = 0,9

ŷ = 0,9 + 2,65·x

حلّ لإيجاد x

x = (25 − 0,9)/2,65 = 9,094

الإجابة

x = 9,094

هذه مادة تدريب مستقلة. ExamProblems غير تابع للجهة التي تنظّم هذا الامتحان ولا معتمد منها، ويُستخدم اسم الامتحان لوصف المحتوى فقط. CFA® and Chartered Financial Analyst® علامات تجارية لـ CFA Institute، وهي غير تابعة لـ ExamProblems ولا تؤيده ولا تضمن دقته.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income