التدريب على الأساليب الكمية والدخل الثابت في CFA Level I: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
نصف سنوي: C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري: C/P
السعر والعائد: العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
قيمة الشركة: V = E + D

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تفرض بطاقة ائتمان معدّل فائدة اسميًا 25% سنويًا، تُركَّب الفائدة شهريًا. أوجد المعدّل السنوي الفعلي EAR بالنسبة المئوية.

r = 25%m = 12

EAR = %

2.القيمة الزمنية للنقودصعبة

تقترض €25 000 بمعدّل 2,4% سنويًا، تُركَّب شهريًا، وتسدّد €1 075 في نهاية كل شهر. كم شهرًا يستغرق حتى يُسدَّد القرض (قد تكون الدفعة الأخيرة أصغر)؟ أعطِ عدد الدفعات N.

P = €25 000A = €1 0752,4% / 12

N = دفعات

3.NPV و IRRمتوسطة

تبلغ تكلفة مشروع €20 000 اليوم ويعود بـ €8 000, €7 500, €5 500, €8 500, €7 500, €4 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 6. تكلفة رأس المال 5%. افترض أن التدفقات النقدية تصل بانتظام خلال كل سنة. أوجد فترة الاسترداد المخصومة DPB بالسنوات.

r = 5%CF₀ = −20 000CF₁ = 8 000CF₂ = 7 500CF₃ = 5 500CF₄ = 8 500CF₅ = 7 500CF₆ = 4 500

DPB = سنوات

4.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €20 000 ويعود بـ €15 000, €13 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 2. أوجد معدل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

CF₀ = −20 000CF₁ = 15 000CF₂ = 13 500

IRR = %

5.تسعير السندات وعائدهامتوسطة

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا بنسبة 4,5% على دفعتين نصف سنويتين ويستحق بعد 9 سنوات. العائد حتى الاستحقاق 6% سنويًا. أوجد سعر السند P.

F = €1 000الكوبون = 4,5%YTM = 6%n = 9

P = €

6.تسعير السندات وعائدهاصعبة

يُتداول سند بسعر €910 بعائد حتى الاستحقاق 7% (تركيب سنوي) ومدة ماكولي 8,4 سنوات. استخدم المدة المعدَّلة لتقدير السعر الجديد P إذا ارتفع العائد بمقدار 150 نقطة أساس.

P₀ = €910y = 7%D = 8,4Δy = +150 bp

P = €

7.CAPM و WACCمتوسطة

لدى شركة حقوق ملكية قيمتها €6 000 000 وديون قيمتها €6 000 000. تكلفة حقوق الملكية 14%، وتكلفة الدين قبل الضريبة 7%، ومعدل الضريبة 30%. أوجد WACC.

E = €6 000 000D = €6 000 000r_e = 14%r_d = 7%T = 30%

WACC = %

8.CAPM و WACCصعبة

لدى شركة 5 000 000 من الأسهم بسعر €50,50 للسهم الواحد و10 000 من السندات يُتداول كل منها بسعر €1 050. تكلفة الدين قبل الضريبة 5% ومعدل الضريبة 28%. معامل بيتا للسهم 1,2، والمعدل الخالي من المخاطر 2%، وعائد السوق 6,5%. أوجد WACC.

β = 1,2r_f = 2%r_m = 6,5%r_d = 5%T = 28%

WACC = %

9.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 37, 13, 14, 48, 10, 40, 45.

n = 7

s =

10.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 50 وانحراف معياري 12. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 74.

μ = 50σ = 12x = 74

z =

11.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,25, 0,15, 0,35

Var(X) =

12.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 0,5X + 5. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,05, 0,3, 0,35Y = 0,5X + 5

σ_Y =

13.التوزيع الطبيعيمتوسطة

أزمنة التوصيل موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 32 min وانحراف معياري 6 min. ما النسبة التي تقع بين 25,1 و 37,1 min؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 32σ = 6x₁ = 25,1x₂ = 37,1

P =

14.التوزيع الطبيعيصعبة

درجات معدل الذكاء (IQ) موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 97,5% منها (المئين 97,5).

μ = 100σ = 15P = 97,5%

x = درجة

15.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 30 مفردة متوسطها 106 وانحرافها المعياري s = 11,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 95% للمتوسط.

n = 30x̄ = 106s = 11,595%t(29) = 2,045

الحد الأدنى =

16.فترات الثقةصعبة

لأقطار 10 عمودًا مشغولًا آليًا انحراف معياري للعينة قدره 4,7 µm. بافتراض أن الأقطار موزّعة طبيعيًا، أوجد الحد الأعلى σ لفترة الثقة 95% للانحراف المعياري للمجتمع. مع df = 9، يقع 2,5% من توزيع χ² دون 2,7 و 2,5% فوق 19,023.

n = 10s = 4,7 µmχ² = 2,7, 19,023

σ = µm

17.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 49 طالبًا متوسط درجاتها 69,43 وانحرافها المعياري 15. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 69,43s = 15n = 49

t =

18.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 100 قياسًا متوسطها 99,5. الانحراف المعياري للمجتمع 5. أوجد الحد الأدنى L لفترة الثقة 99% للمتوسط.

x̄ = 99,5σ = 5n = 10099%

L =

19.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 6Σx = 42Σy = 405Σx² = 364Σy² = 28739Σxy = 3142

r =

20.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (23, 107). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 6(23, 107)

e =

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: EAR = 28,07 %

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدّل لكل فترة

r/m = 0,25/12 = 0,02083

ركّب على مدى سنة واحدة

EAR = (1 + 0,02083)¹² − 1 = 1,281 − 1 = 28,07%

الإجابة

EAR = 28,07%

المعدّل السنوي الفعلي دائمًا أعلى من المعدّل الاسمي عندما تُركَّب الفائدة أكثر من مرة في السنة.

2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: N = 24 دفعات

أعد ترتيب صيغة الدفعات

i = 0,002

(1 + i)^−N = 1 − 25 000·0,002/1075 = 0,9535

حلّ باللوغاريتمات

N = −ln(0,9535)/ln(1,002) = 23,84

قرّب إلى دفعات كاملة

23 دفعة كاملة تترك رصيدًا صغيرًا، تسدّده الدفعة الأخيرة الأصغر.

N = 24

الإجابة

N = 24 دفعات

3.NPV و IRR

الإجابة: DPB = 3,118 سنوات

فترة الاسترداد: الزمن حتى تسترد التدفقات النقدية التراكمية الاستثمار الأولي. يُفترض أن النقد يدخل بانتظام خلال كل سنة، لذا يكون الجزء الأخير كسرًا من سنة. الاسترداد البسيط يتجاهل القيمة الزمنية للنقود؛ أما فترة الاسترداد المخصومة فتستخدم التدفقات النقدية المخصومة بدلًا من ذلك.

التدفقات النقدية المخصومة والتراكمية

السنة 1: 8 000/1,05 = 7 619,05 → Σ = 7 619,05

السنة 2: 7 500/1,103 = 6 802,72 → Σ = 14 421,77

السنة 3: 5 500/1,158 = 4 751,11 → Σ = 19 172,88

السنة 4: 8 500/1,216 = 6 992,97 → Σ = 26 165,85

كسر السنة الأخيرة

DPB = 3 + 827,12/6 992,97 = 3,118

الإجابة

DPB = 3,118 سنوات

الاسترداد المخصوم دائمًا أطول من الاسترداد البسيط (2,818 سنوات).

4.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 27,81 %

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

احصر IRR بين قيمتين

تنخفض NPV كلما ارتفع المعدل، لذا يقع IRR بين معدل يعطي NPV موجبة ومعدل يعطي NPV سالبة.

NPV(25%) = 640,00

NPV(30%) = −473,37

ضيّق النطاق

يعطي الاستكمال الخطي تقديرًا أوليًا؛ وتكراره (أو دالة IRR في الآلة الحاسبة) يعطي المعدل الدقيق.

IRR ≈ 25 + 5·640,00/(640,00 − (−473,37)) = 27,87%

بالضبط: NPV(27,81%) = 0 → IRR = 27,81%

الإجابة

IRR = 27,81%

5.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: P = 896,8 €

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

لكل فترة

C = €22,50, i = 0,03, N = 18

القيمة الحالية للكوبونات

€22,50·(1 − 0,5874)/0,03 = €309,45

القيمة الحالية للقيمة الاسمية

€1 000·0,5874 = €587,39

السعر

P = €896,85

الإجابة

P = €896,85

العائد أعلى من معدل الكوبون، لذا يُباع السند بخصم.

6.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: P = 802,8 €

المدة (الديمومة): مدة ماكولي هي متوسط الزمن المرجَّح الذي يدفع فيه السند تدفقاته النقدية، مع القيم الحالية للتدفقات أوزانًا: D = Σ t·PVₜ/P. المدة المعدَّلة D/(1 + y) تقدّر التغيّر النسبي في السعر لتغيّر صغير في العائد: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

المدة المعدَّلة

D_mod = 8,4/1,07 = 7,85

التغيّر المقدَّر في السعر

%ΔP ≈ −7,85·(0,015) = −11,78%

P ≈ 910·(1 − 0,1178) = €802,84

الإجابة

P = €802,84

المدة تقدير خطي؛ للتغيّرات الكبيرة في العائد يجعل التحدّب السعر الحقيقي أعلى قليلًا.

7.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 9,45 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان

V = €12 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·14% + 0,5·7%·(1 − 0,3) = 9,45%

الإجابة

WACC = 9,45%

8.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 7,248 %

القيم السوقية

E = 5 000 000·€50,50 = €252 500 000

D = 10 000·€1 050 = €10 500 000

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

r_e = 2% + 1,2·4,5% = 7,4%

الأوزان

V = €263 000 000, E/V = 0,9601, D/V = 0,03992

WACC

WACC = 0,9601·7,4% + 0,03992·5%·(1 − 0,28) = 7,248%

الإجابة

WACC = 7,248%

9.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 16,54

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 207/7 = 29,57

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 7,429² + (−16,57)² + (−15,57)² + 18,43² + (−19,57)² + 10,43² + 15,43² = 1642

الانحراف المعياري

s = √(1642/6) = 16,54

الإجابة

s = 16,54

10.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = 2

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (74 − 50)/12 = 2

الإجابة

z = 2

11.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 5,76

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,25 + 2·0,25 + 4·0,15 + 6·0,35 = 3,2

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,25 + 4·0,25 + 16·0,15 + 36·0,35 = 16

التباين

Var(X) = 16 − 3,2² = 5,76

الإجابة

Var(X) = 5,76

12.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 0,6144

تشتت X

μ = 1,7, Var(X) = 1,51, σ_X = 1,229

التغيير الخطي

σ_Y = |0,5|·1,229 = 0,6144

الإجابة

σ_Y = 0,6144

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 0,5·1,7 + 5 = 5,85.

13.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,6773

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (25,1 − 32)/6 = −1,15

z₂ = (37,1 − 32)/6 = 0,85

المساحة بين القيمتين

P = Φ(0,85) − Φ(−1,15) = 0,8023 − 0,1251 = 0,6773

الإجابة

P = 0,6773

14.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 129,4 درجة

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

العودة إلى x

x = 100 + 1,96·15 = 129,4 درجة

الإجابة

x = 129,4 درجة

15.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 101,7

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 29, t = 2,045

هامش الخطأ

E = 2,045·11,5/√30 = 4,294

الفترة

106 ± 4,294 → [101,7, 110,3]

الإجابة

الحد الأدنى = 101,7

16.فترات الثقة

الإجابة: σ = 8,581 µm

فترة للتباين: (n − 1)s²/σ² له توزيع χ² بدرجات حرية n − 1. فترة 95% لـ σ² تمتدّ من (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² العليا (2,5% فوقها) إلى (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² الدنيا (2,5% دونها)؛ والفترة لـ σ هي الجذر التربيعي للحدّين. وهي غير متماثلة حول s.

مجموع المربعات

(n − 1)s² = 9·4,7² = 198,8

حدّا σ²

198,8/19,023 = 10,45

198,8/2,7 = 73,63

حدّ σ

σ = √73,63 = 8,581 µm

الإجابة

σ = 8,581 µm

فترة 95% لـ σ: [3,233, 8,581] µm.

17.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −2,599

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 15/√49 = 15/7 = 2,143

إحصائية الاختبار

t = (69,43 − 75)/2,143 = −2,599

الإجابة

t = −2,599

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

18.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: L = 98,21

هامش الخطأ

E = 2,576·5/√100 = 1,288

حد الفترة

L = 99,5 − 1,288 = 98,21

الإجابة

L = 98,21

19.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9802

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 3142 − 42·405/6 = 307

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 28739 − 405²/6 = 1402

معامل الارتباط

r = 307/√(70·1402) = 0,9802

الإجابة

r = 0,9802

20.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = −4,767

المتوسطات

x̄ = 126/6 = 21

ȳ = 607/6 = 101,2

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 371

خط الانحدار

b = 371/70 = 5,3

a = 101,2 − 5,3·21 = −10,13

ŷ = −10,13 + 5,3·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = −10,13 + 5,3·23 = 111,8

البُواقي

e = 107 − 111,8 = −4,767

الإجابة

e = −4,767

تقع النقطة تحت الخط.

هذه مادة تدريب مستقلة. ExamProblems غير تابع للجهة التي تنظّم هذا الامتحان ولا معتمد منها، ويُستخدم اسم الامتحان لوصف المحتوى فقط. CFA® and Chartered Financial Analyst® علامات تجارية لـ CFA Institute، وهي غير تابعة لـ ExamProblems ولا تؤيده ولا تضمن دقته.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income