التدريب على الأساليب الكمية والدخل الثابت في CFA Level I: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
نصف سنوي: C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري: C/P
السعر والعائد: العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
قيمة الشركة: V = E + D

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تدفع سلسلة دفعات €3 000 في نهاية كل سنة لمدة 14 سنوات. معدّل الفائدة 4% سنويًا. أوجد القيمة الحالية PV لسلسلة الدفعات.

A = €3 000i = 4%n = 14

PV = €

2.القيمة الزمنية للنقودصعبة

يُسدَّد قرض قدره €250 000 بدفعات شهرية متساوية على مدى 30 سنوات. معدل الفائدة 3,6% سنويًا يُركَّب شهريًا. أوجد الدفعة الشهرية A.

P = €250 0003,6% / 12N = 360

A = €

3.NPV و IRRمتوسطة

تبلغ تكلفة آلة €50 000 اليوم، وتعمل 6 سنوات وتكلّف €1 000 سنويًا للتشغيل (تُدفع في نهاية كل سنة). تكلفة رأس المال 10%. أوجد تكلفتها السنوية المكافئة EAC.

C₀ = €50 000M = €1 000n = 6r = 10%

EAC = €

4.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €200 000 اليوم. تدفقه النقدي €25 500 في نهاية السنة 1 وينمو بنسبة 4% سنويًا حتى آخر تدفق نقدي في نهاية السنة 7. تكلفة رأس المال 8%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

C₀ = €200 000CF₁ = €25 500g = 4%n = 7r = 8%

NPV = €

5.تسعير السندات وعائدهامتوسطة

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا قدره 2% ويستحق بعد 13 سنوات. يتغيّر عائده حتى الاستحقاق من 5,5% إلى 3,5%. بكم ΔP يتغيّر سعر السند؟

F = €1 000الكوبون = 2%n = 13y₁ = 5,5%y₂ = 3,5%

ΔP = €

6.تسعير السندات وعائدهاصعبة

سند قيمته الاسمية €1 000 وكوبونه السنوي 7% يستحق بعد 6 سنوات ويُباع بسعر €1 050. أوجد عائده حتى الاستحقاق YTM بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 7%n = 6P = €1 050

YTM = %

7.CAPM و WACCمتوسطة

سهم معامل بيتا له 0,9 وعائده المطلوب 6,9%. المعدّل الخالي من المخاطر 1,5%. ما عائد السوق المتوقّع r_m الذي يقتضيه CAPM؟

β = 0,9r_e = 6,9%r_f = 1,5%

r_m = %

8.CAPM و WACCصعبة

لدى شركة 2 500 000 من الأسهم بسعر €27,50 للسهم الواحد و20 000 من السندات يُتداول كل منها بسعر €1 000. تكلفة الدين قبل الضريبة 6% ومعدل الضريبة 25,8%. معامل بيتا للسهم 1,1، والمعدل الخالي من المخاطر 3,5%، وعائد السوق 8,5%. أوجد WACC.

β = 1,1r_f = 3,5%r_m = 8,5%r_d = 6%T = 25,8%

WACC = %

9.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 43, 47, 40, 42, 34, 13, 10.

n = 7

s =

10.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 170 وانحراف معياري 15. ما نسبة P القيم الأقل من 188,8؟

μ = 170σ = 15x = 188,8

P =

11.الاحتمالمتوسطة

يحتوي كيس على 5 كرات حمراء و8 زرقاء. تسحب كرتين دون إعادة الأولى. ما احتمال P أن تكون الاثنتان حمراوين؟

5 / 8

P =

12.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 2X − 3. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,3, 0,05, 0,15, 0,35, 0,15Y = 2X − 3

σ_Y =

13.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة بين −z وz تحت المنحنى الطبيعي القياسي مساوية 0,9715. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,9715

z =

14.التوزيع الطبيعيصعبة

درجات معدل الذكاء (IQ) موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 5% منها (المئين 5).

μ = 100σ = 15P = 5%

x = درجة

15.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 15 مفردة متوسطها 27 وانحرافها المعياري s = 4. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 90% للمتوسط.

n = 15x̄ = 27s = 490%t(14) = 1,761

الحد الأدنى =

16.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 7. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للمتوسط 1 على الأكثر؟

σ = 7E = 190%

n =

17.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 81 طالبًا متوسط درجاتها 95,67 وانحرافها المعياري 15. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 95,67s = 15n = 81

t =

18.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

ما حجم العينة اللازم كي يكون هامش الخطأ لفترة الثقة 95% للمتوسط 1,5 على الأكثر؟ الانحراف المعياري 20. أوجد أصغر حجم عينة n.

σ = 20E = 1,595%

n =

19.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 6Σx = 21Σy = 113Σx² = 91Σy² = 2275Σxy = 346

r =

20.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 56؟

n = 6ŷ = 56

x =

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 31689 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

معامل سلسلة الدفعات

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,5775)/0,04 = 10,56

القيمة الحالية

PV = 3 000·10,56 = €31 689,37

الإجابة

PV = €31 689,37

2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: A = 1137 €

المعدل الشهري وعدد الدفعات

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·30 = 360

الدفعة

القيمة الحالية لـ N دفعة متساوية A هي A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. ساوِها بالقرض وحُلّ لإيجاد A.

(1 + i)^−N = 0,3401

A = 250 000·0,003/(1 − 0,3401) = €1 136,61

الإجابة

A = €1 136,61

3.NPV و IRR

الإجابة: EAC = 12480 €

التكلفة السنوية المكافئة: وزّع القيمة الحالية لكل التكاليف على العمر كمبلغ سنوي متساوٍ (سلسلة دفعات): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). وهي تتيح مقارنة آلات بأعمار مختلفة.

معامل سلسلة الدفعات

(1 − 1,1⁻⁶)/0,1 = 4,355

سعر الشراء المحوَّل إلى قيمة سنوية

50 000/4,355 = 11 480,37

EAC

EAC = 11 480,37 + 1 000 = €12 480,37

الإجابة

EAC = €12 480,37

4.NPV و IRR

الإجابة: NPV = −51994 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية لسلسلة الدفعات النامية

((1,04)/(1,08))⁷ = 0,7678

PV = 25 500/(0,08 − 0,04)·(1 − 0,7678) = 148 006,11

NPV

NPV = 148 006,11 − 200 000 = −€51 993,89

الإجابة

NPV = −€51 993,89

NPV سالبة، لذا يكسب المشروع أقل من العائد المطلوب.

5.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: ΔP = 164,6 €

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

السعر عند العائد القديم

C = €20,00, i = 0,055, N = 13

€20,00·(1 − 0,4986)/0,055 + €1 000·0,4986 = €182,34 + €498,56 = €680,90

السعر عند العائد الجديد

C = €20,00, i = 0,035, N = 13

€20,00·(1 − 0,6394)/0,035 + €1 000·0,6394 = €206,05 + €639,40 = €845,46

التغيّر

ΔP = 845,46 − 680,90 = €164,56

الإجابة

ΔP = €164,56

6.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: YTM = 5,984 %

معادلة العائد

€1 050 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

الحل العددي

P(5%) = €1 101,51, P(6%) = €1 049,17

YTM = 5,984%

الإجابة

YTM = 5,984%

7.CAPM و WACC

الإجابة: r_m = 7,5 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

علاوة مخاطر السوق

r_m − r_f = (6,9% − 1,5%)/0,9 = 6%

عائد السوق

r_m = 1,5% + 6% = 7,5%

الإجابة

r_m = 7,5%

8.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 7,975 %

القيم السوقية

E = 2 500 000·€27,50 = €68 750 000

D = 20 000·€1 000 = €20 000 000

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

r_e = 3,5% + 1,1·5% = 9%

الأوزان

V = €88 750 000, E/V = 0,7746, D/V = 0,2254

WACC

WACC = 0,7746·9% + 0,2254·6%·(1 − 0,258) = 7,975%

الإجابة

WACC = 7,975%

9.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 15,03

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 229/7 = 32,71

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 10,29² + 14,29² + 7,286² + 9,286² + 1,286² + (−19,71)² + (−22,71)² = 1355

الانحراف المعياري

s = √(1355/6) = 15,03

الإجابة

s = 15,03

10.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,8944

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = 1,25

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(1,25) = 0,8944

P = 0,8944

الإجابة

P = 0,8944

11.الاحتمال

الإجابة: P = 0,1282

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

السحبة الأولى والثانية

P = 5/13 · 4/12 = 20/156 = 0,1282

الإجابة

P = 0,1282

12.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 2,966

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

تشتت X

μ = 3, Var(X) = 2,2, σ_X = 1,483

التغيير الخطي

σ_Y = |2|·1,483 = 2,966

الإجابة

σ_Y = 2,966

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 2·3 − 3 = 3.

13.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 2,19

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = (1 + 0,9715)/2 = 0,9857

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,9857 داخل الجدول واقرأ z.

z = 2,19

الإجابة

z = 2,19

14.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 75,33 درجة

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

العودة إلى x

x = 100 + −1,645·15 = 75,33 درجة

الإجابة

x = 75,33 درجة

15.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 25,18

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 14, t = 1,761

هامش الخطأ

E = 1,761·4/√15 = 1,819

الفترة

27 ± 1,819 → [25,18, 28,82]

الإجابة

الحد الأدنى = 25,18

16.فترات الثقة

الإجابة: n = 133

حُلّ لإيجاد n

n = (1,645·7/1)² = 132,6

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 133

الإجابة

n = 133

17.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −2,598

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 15/√81 = 15/9 = 1,667

إحصائية الاختبار

t = (95,67 − 100)/1,667 = −2,598

الإجابة

t = −2,598

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

18.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 683

حُلّ لإيجاد n

n = (1,96·20/1,5)² = 683

قرّب إلى الأعلى

n = 683

الإجابة

n = 683

19.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = −0,9765

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 346 − 21·113/6 = −49,5

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 2275 − 113²/6 = 146,8

معامل الارتباط

r = −49,5/√(17,5·146,8) = −0,9765

الإجابة

r = −0,9765

20.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 1,556

المتوسطات

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 396/6 = 66

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 90

خط الانحدار

b = 90/17,5 = 5,143

a = 66 − 5,143·3,5 = 48

ŷ = 48 + 5,143·x

حلّ لإيجاد x

x = (56 − 48)/5,143 = 1,556

الإجابة

x = 1,556

هذه مادة تدريب مستقلة. ExamProblems غير تابع للجهة التي تنظّم هذا الامتحان ولا معتمد منها، ويُستخدم اسم الامتحان لوصف المحتوى فقط. CFA® and Chartered Financial Analyst® علامات تجارية لـ CFA Institute، وهي غير تابعة لـ ExamProblems ولا تؤيده ولا تضمن دقته.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income