أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
تحتاج إلى €5 000 بعد 10 سنوات. يدفع حساب 2% سنويًا، تُركَّب الفائدة شهريًا. كم يجب أن تودع اليوم؟ أوجد القيمة الحالية PV.
تريد €25 000 بعد 5 سنوات. تدّخر المبلغ نفسه في نهاية كل شهر في حساب يدفع 3% سنويًا، تُركَّب شهريًا. أوجد الإيداع الشهري A.
استثمار قدره €45 000 يعطي التدفقات النقدية التالية في نهاية السنوات من 1 إلى 3: €15 000, €18 000, €18 000. تكلفة رأس المال 15%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.
تبلغ تكلفة مشروع €100 000 اليوم. تدفقه النقدي €12 000 في نهاية السنة 1 وينمو بنسبة 3% سنويًا حتى آخر تدفق نقدي في نهاية السنة 10. تكلفة رأس المال 10%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.
سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا بنسبة 6% على دفعتين نصف سنويتين ويستحق بعد 10 سنوات. العائد حتى الاستحقاق 9% سنويًا. أوجد سعر السند P.
سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا قدره 6% ويستحق بعد 3 سنوات. العائد حتى الاستحقاق 8%. أوجد مدة ماكولي D بالسنوات.
لدى شركة حقوق ملكية قيمتها €6 000 000 وديون قيمتها €1 000 000. تكلفة حقوق الملكية 12%، وتكلفة الدين قبل الضريبة 4,5%، ومعدل الضريبة 21%. أوجد WACC.
لدى شركة 1 000 000 من الأسهم بسعر €55,00 للسهم الواحد و5 000 من السندات يُتداول كل منها بسعر €1 020. تكلفة الدين قبل الضريبة 4% ومعدل الضريبة 21%. معامل بيتا للسهم 1,3، والمعدل الخالي من المخاطر 1%، وعائد السوق 7,5%. أوجد WACC.
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 15, 32, 18, 49, 59, 31, 46.
كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 50 وانحراف معياري 5. ما نسبة P القيم الأكبر من 52؟
للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.
يحتوي اختبار على 5 أسئلة اختيار من متعدد. طالبة تخمّن تجيب عن كل سؤال صحيحًا باحتمال 0,3، باستقلال. ما احتمال P الحصول على 4 إجابات صحيحة بالضبط؟
X طبيعي بمتوسط 12 min وانحراف معياري 1,5 min؛ وY مستقل وطبيعي بمتوسط 20 min وانحراف معياري 2 min. أوجد الاحتمال P بأن يزيد X + Y على 34 min. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.
تتوزع أعمار البطاريات توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 h وانحراف معياري 40 h. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 30% على يساره. أوجد حد القطع x.
عينة من 13 مفردة متوسطها 51 وانحرافها المعياري s = 18. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 90% للمتوسط.
تشير دراسة استطلاعية إلى أن نحو 0,3 من المنتجات معيبة. كم منتجًا n يجب فحصه كي يكون هامش الخطأ لفترة ثقة 99% للنسبة 0,03 على الأكثر؟
عينة من 81 طالبًا متوسط درجاتها 105,3 وانحرافها المعياري 20. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 100.
ما حجم العينة اللازم كي يكون هامش الخطأ لفترة الثقة 90% للمتوسط 1,5 على الأكثر؟ الانحراف المعياري 10. أوجد أصغر حجم عينة n.
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 102؟
الإجابة: PV = 4094 €
القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.
الإجابة: A = 386,7 €
القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)n. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.
الإجابة: NPV = −6511 €
صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.
NPV سالبة، لذا يكسب المشروع أقل من العائد المطلوب.
الإجابة: NPV = −17395 €
صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.
NPV سالبة، لذا يكسب المشروع أقل من العائد المطلوب.
الإجابة: P = 804,9 €
تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.
العائد أعلى من معدل الكوبون، لذا يُباع السند بخصم.
الإجابة: D = 2,829 سنوات
المدة (الديمومة): مدة ماكولي هي متوسط الزمن المرجَّح الذي يدفع فيه السند تدفقاته النقدية، مع القيم الحالية للتدفقات أوزانًا: D = Σ t·PVₜ/P. المدة المعدَّلة D/(1 + y) تقدّر التغيّر النسبي في السعر لتغيّر صغير في العائد: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
الإجابة: WACC = 10,79 %
تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: re = rf + β·(rm − rf). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).
الإجابة: WACC = 8,916 %
تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: re = rf + β·(rm − rf). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).
الإجابة: s = 16,35
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
الإجابة: P = 0,3446
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
الإجابة: σ = 11,61
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
الإجابة: P = 0,02835
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
الإجابة: P = 0,2119
مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μX ± μY. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σX² + σY²، إذن σ = √(σX² + σY²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).
الإجابة: x = 479 h
من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.
الإجابة: الحد الأدنى = 42,1
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
الإجابة: n = 1549
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
الإجابة: t = 2,385
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
|t| > 1,99، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
الإجابة: n = 121
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
الإجابة: r² = 0,9933
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
نحو 99,33% من التباين في y يفسّره الخط.
الإجابة: x = 20,08
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income