التدريب على الأساليب الكمية والدخل الثابت في CFA Level I: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
نصف سنوي: C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري: C/P
السعر والعائد: العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
قيمة الشركة: V = E + D

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تدفع سلسلة دفعات €2 000 في نهاية كل سنة لمدة 20 سنوات. معدّل الفائدة 6% سنويًا. أوجد القيمة الحالية PV لسلسلة الدفعات.

A = €2 000i = 6%n = 20

PV = €

2.القيمة الزمنية للنقودصعبة

يُسدَّد قرض قدره €25 000 بدفعات شهرية متساوية على مدى 5 سنوات. معدل الفائدة 6% سنويًا يُركَّب شهريًا. أوجد الدفعة الشهرية A.

P = €25 0006% / 12N = 60

A = €

3.NPV و IRRمتوسطة

استثمار قدره €45 000 يعطي التدفقات النقدية التالية في نهاية السنوات من 1 إلى 4: €15 000, €13 000, €21 000, €13 000. تكلفة رأس المال 7,000000000000001%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

r = 7,000000000000001%CF₀ = −45 000CF₁ = 15 000CF₂ = 13 000CF₃ = 21 000CF₄ = 13 000

NPV = €

4.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €50 000 ويعود بـ €19 000, €23 500, €22 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 3. أوجد معدل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

CF₀ = −50 000CF₁ = 19 000CF₂ = 23 500CF₃ = 22 500

IRR = %

5.تسعير السندات وعائدهامتوسطة

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا بنسبة 4,5% على دفعتين نصف سنويتين ويستحق بعد 10 سنوات. العائد حتى الاستحقاق 5% سنويًا. أوجد سعر السند P.

F = €1 000الكوبون = 4,5%YTM = 5%n = 10

P = €

6.تسعير السندات وعائدهاصعبة

سند قيمته الاسمية €1 000 وكوبونه السنوي 6% يستحق بعد 6 سنوات ويُباع بسعر €1 105. أوجد عائده حتى الاستحقاق YTM بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 6%n = 6P = €1 105

YTM = %

7.CAPM و WACCمتوسطة

لدى شركة حقوق ملكية قيمتها €6 000 000 ودين قيمته €5 000 000. WACC لديها 7,64%، وتكلفة دينها قبل الضريبة 4,5%، ومعدّل الضريبة 20%. أوجد تكلفة حقوق الملكية r_e.

E = €6 000 000D = €5 000 000WACC = 7,64%r_d = 4,5%T = 20%

r_e = %

8.CAPM و WACCصعبة

لأسهم شركة معامل بيتا قدره 0,9 عند نسبة دينها إلى حقوق ملكيتها الحالية 0,2. تخطّط لرفع نسبة الدين إلى حقوق الملكية إلى 0,75. معدّل الضريبة 25,8%، والمعدّل الخالي من المخاطر 4%، وعلاوة مخاطر السوق 7%. أوجد تكلفة حقوق الملكية r_e بعد التغيير.

β_L = 0,9D/E₁ = 0,2D/E₂ = 0,75T = 25,8%r_f = 4%r_m − r_f = 7%

r_e = %

9.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 52, 25, 58, 44, 31, 13.

n = 6

s =

10.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 170 وانحراف معياري 20. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 182.

μ = 170σ = 20x = 182

z =

11.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,25, 0,25, 0,15, 0,2

Var(X) =

12.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 5X + 10. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,3, 0,15, 0,3Y = 5X + 10

σ_Y =

13.التوزيع الطبيعيمتوسطة

كتل أكياس الإسمنت مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 kg وانحراف معياري 0,5 kg. أوجد الاحتمال P بأن تقل الكتلة الكلية لـ 4 منها عن 99,5 kg. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 4< 99.5 kg

P =

14.التوزيع الطبيعيصعبة

زمن لفة العدّاء A وهو X وزمن لفة العدّاء B وهو Y مستقلة وطبيعية: لـ X متوسط 52 s وانحراف معياري 4 s، ولـ Y متوسط 48 s وانحراف معياري 3 s. أوجد الاحتمال P بأن يكون X أكبر من Y. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

15.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 10 مفردة متوسطها 76 وانحرافها المعياري s = 13. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 95% للمتوسط.

n = 10x̄ = 76s = 1395%t(9) = 2,262

الحد الأدنى =

16.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 37. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للمتوسط 4 على الأكثر؟

σ = 37E = 490%

n =

17.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

خطّا إنتاج يصنعان الجزء نفسه. الخط 1: عينة من 60 جزءًا متوسط طولها 76 mm، والانحراف المعياري المعلوم للخط 14 mm. الخط 2: عينة من 100 جزءًا متوسطها 81,9 mm، والانحراف المعياري المعلوم 15 mm. أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (الخط 1 ناقص الخط 2).

n₁ = 60x̄₁ = 76 mmσ₁ = 14 mmn₂ = 100x̄₂ = 81,9 mmσ₂ = 15 mm

z =

18.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 100 قياسًا متوسطها 199,2. الانحراف المعياري للمجتمع 4. أوجد الحد الأعلى U لفترة الثقة 95% للمتوسط.

x̄ = 199,2σ = 4n = 10095%

U =

19.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.

n = 5

r² =

20.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 31؟

n = 6ŷ = 31

x =

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 22940 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

معامل سلسلة الدفعات

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,3118)/0,06 = 11,47

القيمة الحالية

PV = 2 000·11,47 = €22 939,84

الإجابة

PV = €22 939,84

2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: A = 483,3 €

المعدل الشهري وعدد الدفعات

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·5 = 60

الدفعة

القيمة الحالية لـ N دفعة متساوية A هي A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. ساوِها بالقرض وحُلّ لإيجاد A.

(1 + i)^−N = 0,7414

A = 25 000·0,005/(1 − 0,7414) = €483,32

الإجابة

A = €483,32

3.NPV و IRR

الإجابة: NPV = 7433 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,07)¹ = 15 000/1,07 = 14 018,69

CF₂/(1 + 0,07)² = 13 000/1,145 = 11 354,70

CF₃/(1 + 0,07)³ = 21 000/1,225 = 17 142,26

CF₄/(1 + 0,07)⁴ = 13 000/1,311 = 9 917,64

اجمعها

NPV = €7 433,29

الإجابة

NPV = €7 433,29

NPV موجبة، لذا يكسب المشروع أكثر من العائد المطلوب.

4.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 13,93 %

احصر IRR بين قيمتين

تنخفض NPV كلما ارتفع المعدل، لذا يقع IRR بين معدل يعطي NPV موجبة ومعدل يعطي NPV سالبة.

NPV(10%) = 3 598,80

NPV(15%) = −914,77

ضيّق النطاق

يعطي الاستكمال الخطي تقديرًا أوليًا؛ وتكراره (أو دالة IRR في الآلة الحاسبة) يعطي المعدل الدقيق.

IRR ≈ 10 + 5·3 598,80/(3 598,80 − (−914,77)) = 13,99%

بالضبط: NPV(13,93%) = 0 → IRR = 13,93%

الإجابة

IRR = 13,93%

5.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: P = 961 €

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

لكل فترة

C = €22,50, i = 0,025, N = 20

القيمة الحالية للكوبونات

€22,50·(1 − 0,6103)/0,025 = €350,76

القيمة الحالية للقيمة الاسمية

€1 000·0,6103 = €610,27

السعر

P = €961,03

الإجابة

P = €961,03

العائد أعلى من معدل الكوبون، لذا يُباع السند بخصم.

6.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: YTM = 3,997 %

معادلة العائد

€1 105 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

الحل العددي

P(3%) = €1 162,52, P(4%) = €1 104,84

YTM = 3,997%

الإجابة

YTM = 3,997%

7.CAPM و WACC

الإجابة: r_e = 11,01 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان

V = €11 000 000, E/V = 0,5455, D/V = 0,4545

جزء الدين من WACC

0,4545·4,5%·(1 − 0,2) = 1,636%

تكلفة حقوق الملكية

r_e = (7,64% − 1,636%)/0,5455 = 11,01%

الإجابة

r_e = 11,01%

8.CAPM و WACC

الإجابة: r_e = 12,54 %

معامل بيتا الممدود بالرافعة (هامادا): الدين يجعل حقوق الملكية أكثر مخاطرة. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)، حيث β_U معامل بيتا للنشاط دون دين. لنقل معامل بيتا إلى هيكل رأسمالي آخر، أزل أثر الرافعة أولًا ثم أعد تطبيقها عند D/E الجديدة.

أزل أثر الرافعة من معامل بيتا

β_U = 0,9/(1 + 0,742·0,2) = 0,7837

أعد تطبيق الرافعة عند D/E الجديدة

β_L = 0,7837·(1 + 0,742·0,75) = 1,22

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

r_e = 4% + 1,22·7% = 12,54%

الإجابة

r_e = 12,54%

9.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 17,15

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 223/6 = 37,17

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 14,83² + (−12,17)² + 20,83² + 6,833² + (−6,167)² + (−24,17)² = 1471

الانحراف المعياري

s = √(1471/5) = 17,15

الإجابة

s = 17,15

10.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = 0,6

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (182 − 170)/20 = 0,6

الإجابة

z = 0,6

11.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 1,8

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,15 + 1·0,25 + 2·0,25 + 3·0,15 + 4·0,2 = 2

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,15 + 1·0,25 + 4·0,25 + 9·0,15 + 16·0,2 = 5,8

التباين

Var(X) = 5,8 − 2² = 1,8

الإجابة

Var(X) = 1,8

12.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 5,809

تشتت X

μ = 2,5, Var(X) = 1,35, σ_X = 1,162

التغيير الخطي

σ_Y = |5|·1,162 = 5,809

الإجابة

σ_Y = 5,809

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 5·2,5 + 10 = 22,5.

13.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,3085

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع الكلي

μ_T = 100 kg, σ_T = 0,5·√4 = 1 kg

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (99,5 − 100)/1 = −0,5

الاحتمال

P = Φ(−0,5) = 0,3085

الإجابة

P = 0,3085

14.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,7881

توزيع الفرق

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 4)/5 = −0,8

الاحتمال

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

الإجابة

P = 0,7881

15.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 66,7

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 9, t = 2,262

هامش الخطأ

E = 2,262·13/√10 = 9,299

الفترة

76 ± 9,299 → [66,7, 85,3]

الإجابة

الحد الأدنى = 66,7

16.فترات الثقة

الإجابة: n = 232

حُلّ لإيجاد n

n = (1,645·37/4)² = 231,5

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 232

الإجابة

n = 232

17.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: z = −2,512

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

الخطأ المعياري للفرق

SE = √(14²/60 + 15²/100) = √5,517 = 2,349

إحصائية الاختبار

z = (76 − 81,9)/2,349 = −2,512

الإجابة

z = −2,512

|z| > 1,96، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

18.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: U = 200

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

هامش الخطأ

E = 1,96·4/√100 = 0,784

حد الفترة

U = 199,2 + 0,784 = 200

الإجابة

U = 200

19.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r² = 0,9717

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 120/5 = 24

ȳ = 520/5 = 104

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 393

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1766

معامل التحديد

r² = 393²/(90·1766) = 0,9717

الإجابة

r² = 0,9717

نحو 97,17% من التباين في y يفسّره الخط.

20.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 7,167

المتوسطات

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 182/6 = 30,33

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 280

خط الانحدار

b = 280/70 = 4

a = 30,33 − 4·7 = 2,333

ŷ = 2,333 + 4·x

حلّ لإيجاد x

x = (31 − 2,333)/4 = 7,167

الإجابة

x = 7,167

هذه مادة تدريب مستقلة. ExamProblems غير تابع للجهة التي تنظّم هذا الامتحان ولا معتمد منها، ويُستخدم اسم الامتحان لوصف المحتوى فقط. CFA® and Chartered Financial Analyst® علامات تجارية لـ CFA Institute، وهي غير تابعة لـ ExamProblems ولا تؤيده ولا تضمن دقته.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income