التدريب على الأساليب الكمية والدخل الثابت في CFA Level I: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
نصف سنوي: C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري: C/P
السعر والعائد: العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
قيمة الشركة: V = E + D

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تفرض بطاقة ائتمان معدّل فائدة اسميًا 22% سنويًا، تُركَّب الفائدة شهريًا. أوجد المعدّل السنوي الفعلي EAR بالنسبة المئوية.

r = 22%m = 12

EAR = %

2.القيمة الزمنية للنقودصعبة

تدّخر €200 في نهاية كل شهر لمدة 24 سنوات. يدفع الحساب 5,4% سنويًا تُركَّب شهريًا. كم ستدّخر في النهاية؟ أوجد FV.

A = €2005,4% / 12N = 288

FV = €

3.NPV و IRRمتوسطة

استثمار قدره €75 000 يعطي التدفقات النقدية التالية في نهاية السنوات من 1 إلى 4: €36 000, €27 000, €31 000, €15 000. تكلفة رأس المال 8%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

r = 8%CF₀ = −75 000CF₁ = 36 000CF₂ = 27 000CF₃ = 31 000CF₄ = 15 000

NPV = €

4.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة المشروع A €10 000 ويعود بـ €5 500, €4 000, €2 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 3. تبلغ تكلفة المشروع B €15 000 ويعود بـ €4 000, €6 000, €7 500. أوجد معدّل التقاطع r* الذي يكون عنده للمشروعين صافي القيمة الحالية نفسه، بالنسبة المئوية.

A: −10 000, 5 500, 4 000, 2 500B: −15 000, 4 000, 6 000, 7 500

r* = %

5.تسعير السندات وعائدهامتوسطة

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا بنسبة 4,5% على دفعتين نصف سنويتين ويستحق بعد 9 سنوات. العائد حتى الاستحقاق 7% سنويًا. أوجد سعر السند P.

F = €1 000الكوبون = 4,5%YTM = 7%n = 9

P = €

6.تسعير السندات وعائدهاصعبة

سند قيمته الاسمية €1 000 وكوبونه السنوي 5% يستحق بعد 3 سنوات ويُباع بسعر €1 040. أوجد عائده حتى الاستحقاق YTM بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 5%n = 3P = €1 040

YTM = %

7.CAPM و WACCمتوسطة

لدى شركة نسبة دين إلى حقوق ملكية (بالقيم السوقية) قدرها 0,4. تكلفة حقوق ملكيتها 8%، وتكلفة دينها قبل الضريبة 4%، ومعدّل الضريبة 25,8%. أوجد WACC.

D/E = 0,4r_e = 8%r_d = 4%T = 25,8%

WACC = %

8.CAPM و WACCصعبة

لدى شركة 5 000 000 من الأسهم بسعر €23,50 للسهم الواحد و10 000 من السندات يُتداول كل منها بسعر €1 000. تكلفة الدين قبل الضريبة 6% ومعدل الضريبة 25,8%. معامل بيتا للسهم 0,8، والمعدل الخالي من المخاطر 1,5%، وعائد السوق 6%. أوجد WACC.

β = 0,8r_f = 1,5%r_m = 6%r_d = 6%T = 25,8%

WACC = %

9.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 31, 54, 32, 49, 36, 10, 49.

n = 7

s =

10.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 50 وانحراف معياري 8. ما نسبة P القيم الأكبر من 38؟

μ = 50σ = 8x = 38

P =

11.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,3, 0,35, 0,05

Var(X) =

12.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 5X + 20. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,2, 0,35, 0,35Y = 5X + 20

σ_Y =

13.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة تحت المنحنى الطبيعي القياسي، على يمين z، مساوية 0,9834. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,9834

z =

14.التوزيع الطبيعيصعبة

كتلة منتج X من الخط 1 وY من الخط 2 مستقلة وطبيعية: لـ X متوسط 500 g وانحراف معياري 8 g، ولـ Y متوسط 490 g وانحراف معياري 6 g. أوجد الاحتمال P بأن يكون X أكبر من Y. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

15.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 21 مفردة متوسطها 113 وانحرافها المعياري s = 2. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد هامش الخطأ E لفترة ثقة 95% للمتوسط.

n = 21x̄ = 113s = 295%t(20) = 2,086

E =

16.فترات الثقةصعبة

لأقطار 15 عمودًا مشغولًا آليًا انحراف معياري للعينة قدره 1,5 µm. بافتراض أن الأقطار موزّعة طبيعيًا، أوجد الحد الأدنى σ لفترة الثقة 95% للانحراف المعياري للمجتمع. مع df = 14، يقع 2,5% من توزيع χ² دون 5,629 و 2,5% فوق 26,119.

n = 15s = 1,5 µmχ² = 5,629, 26,119

σ = µm

17.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 100 طالبًا متوسط درجاتها 124,2 وانحرافها المعياري 20. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 124,2s = 20n = 100

t =

18.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

ما حجم العينة اللازم كي يكون هامش الخطأ لفترة الثقة 95% للمتوسط 1,5 على الأكثر؟ الانحراف المعياري 20. أوجد أصغر حجم عينة n.

σ = 20E = 1,595%

n =

19.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 6Σx = 33Σy = 344Σx² = 199Σy² = 19910Σxy = 1941

r =

20.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 17؟

n = 6ŷ = 17

x =

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: EAR = 24,36 %

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدّل لكل فترة

r/m = 0,22/12 = 0,01833

ركّب على مدى سنة واحدة

EAR = (1 + 0,01833)¹² − 1 = 1,244 − 1 = 24,36%

الإجابة

EAR = 24,36%

المعدّل السنوي الفعلي دائمًا أعلى من المعدّل الاسمي عندما تُركَّب الفائدة أكثر من مرة في السنة.

2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 117513 €

المعدل الشهري وعدد الإيداعات

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·24 = 288

القيمة المستقبلية للإيداعات

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 200·(3,644 − 1)/0,0045 = €117 512,85

الإجابة

FV = €117 512,85

دفعتَ بنفسك €57 600؛ والباقي فائدة.

3.NPV و IRR

الإجابة: NPV = 17116 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,08)¹ = 36 000/1,08 = 33 333,33

CF₂/(1 + 0,08)² = 27 000/1,166 = 23 148,15

CF₃/(1 + 0,08)³ = 31 000/1,26 = 24 608,80

CF₄/(1 + 0,08)⁴ = 15 000/1,36 = 11 025,45

اجمعها

NPV = €17 115,73

الإجابة

NPV = €17 115,73

NPV موجبة، لذا يكسب المشروع أكثر من العائد المطلوب.

4.NPV و IRR

الإجابة: r* = 3,029 %

معدّل التقاطع: معدّل الخصم الذي يكون عنده لمشروعين صافي القيمة الحالية نفسه. وهو معدّل العائد الداخلي للفرق في تدفقاتهما النقدية (B − A). دونه يكون للمشروع ذي التدفقات النقدية المتأخرة والأكبر صافي قيمة حالية أعلى؛ وفوقه يتفوّق الآخر.

الفرق في التدفقات النقدية

ΔCF₀ = −15 000 − (−10 000) = −5 000

ΔCF₁ = 4 000 − 5 500 = −1 500

ΔCF₂ = 6 000 − 4 000 = 2 000

ΔCF₃ = 7 500 − 2 500 = 5 000

معدّل العائد الداخلي للفرق

NPV_Δ(3%) = 4,59

NPV_Δ(4%) = −148,21

r* = 3,029%

الإجابة

r* = 3,029%

تحقّق: عند 3,029% يساوي صافيا القيمة الحالية كلاهما €1 392,39.

5.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: P = 835,1 €

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

لكل فترة

C = €22,50, i = 0,035, N = 18

القيمة الحالية للكوبونات

€22,50·(1 − 0,5384)/0,035 = €296,77

القيمة الحالية للقيمة الاسمية

€1 000·0,5384 = €538,36

السعر

P = €835,13

الإجابة

P = €835,13

العائد أعلى من معدل الكوبون، لذا يُباع السند بخصم.

6.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: YTM = 3,57 %

معادلة العائد

€1 040 = €50·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

الحل العددي

P(3%) = €1 056,57, P(4%) = €1 027,75

YTM = 3,57%

الإجابة

YTM = 3,57%

7.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 6,562 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان من D/E

E/V = 1/(1 + 0,4) = 0,7143

D/V = 0,4/(1 + 0,4) = 0,2857

WACC

WACC = 0,7143·8% + 0,2857·4%·(1 − 0,258) = 6,562%

الإجابة

WACC = 6,562%

8.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 5,049 %

القيم السوقية

E = 5 000 000·€23,50 = €117 500 000

D = 10 000·€1 000 = €10 000 000

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

r_e = 1,5% + 0,8·4,5% = 5,1%

الأوزان

V = €127 500 000, E/V = 0,9216, D/V = 0,07843

WACC

WACC = 0,9216·5,1% + 0,07843·6%·(1 − 0,258) = 5,049%

الإجابة

WACC = 5,049%

9.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 15,1

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 261/7 = 37,29

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−6,286)² + 16,71² + (−5,286)² + 11,71² + (−1,286)² + (−27,29)² + 11,71² = 1367

الانحراف المعياري

s = √(1367/6) = 15,1

الإجابة

s = 15,1

10.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,9332

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = −1,5

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 1 − 0,06681 = 0,9332

الإجابة

P = 0,9332

11.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 3,31

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,3 + 2·0,3 + 4·0,35 + 6·0,05 = 2,3

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,3 + 4·0,3 + 16·0,35 + 36·0,05 = 8,6

التباين

Var(X) = 8,6 − 2,3² = 3,31

الإجابة

Var(X) = 3,31

12.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 4,867

تشتت X

μ = 2,95, Var(X) = 0,9475, σ_X = 0,9734

التغيير الخطي

σ_Y = |5|·0,9734 = 4,867

الإجابة

σ_Y = 4,867

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 5·2,95 + 20 = 34,75.

13.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = −2,13

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = 1 − 0,9834 = 0,0166

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,0166 داخل الجدول واقرأ z.

z = −2,13

الإجابة

z = −2,13

14.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,8413

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع الفرق

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 10)/10 = −1

الاحتمال

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

الإجابة

P = 0,8413

15.فترات الثقة

الإجابة: E = 0,9104

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 20, t = 2,086

هامش الخطأ

E = 2,086·2/√21 = 0,9104

الإجابة

E = 0,9104

16.فترات الثقة

الإجابة: σ = 1,098 µm

فترة للتباين: (n − 1)s²/σ² له توزيع χ² بدرجات حرية n − 1. فترة 95% لـ σ² تمتدّ من (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² العليا (2,5% فوقها) إلى (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² الدنيا (2,5% دونها)؛ والفترة لـ σ هي الجذر التربيعي للحدّين. وهي غير متماثلة حول s.

مجموع المربعات

(n − 1)s² = 14·1,5² = 31,5

حدّا σ²

31,5/26,119 = 1,206

31,5/5,629 = 5,596

حدّ σ

σ = √1,206 = 1,098 µm

الإجابة

σ = 1,098 µm

فترة 95% لـ σ: [1,098, 2,366] µm.

17.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 2,1

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 20/√100 = 20/10 = 2

إحصائية الاختبار

t = (124,2 − 120)/2 = 2,1

الإجابة

t = 2,1

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

18.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 683

حُلّ لإيجاد n

n = (1,96·20/1,5)² = 683

قرّب إلى الأعلى

n = 683

الإجابة

n = 683

19.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,8558

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 1941 − 33·344/6 = 49

S_xx = 199 − 33²/6 = 17,5

S_yy = 19910 − 344²/6 = 187,3

معامل الارتباط

r = 49/√(17,5·187,3) = 0,8558

الإجابة

r = 0,8558

20.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 5,392

المتوسطات

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 126/6 = 21

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −37

خط الانحدار

b = −37/17,5 = −2,114

a = 21 − (−2,114)·3,5 = 28,4

ŷ = 28,4 − 2,114·x

حلّ لإيجاد x

x = (17 − 28,4)/(−2,114) = 5,392

الإجابة

x = 5,392

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income