التدريب على الأساليب الكمية والدخل الثابت في CFA Level I: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
نصف سنوي: C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري: C/P
السعر والعائد: العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
قيمة الشركة: V = E + D

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تدفع سلسلة دفعات €3 000 في نهاية كل سنة لمدة 19 سنوات. معدّل الفائدة 6% سنويًا. أوجد القيمة الحالية PV لسلسلة الدفعات.

A = €3 000i = 6%n = 19

PV = €

2.القيمة الزمنية للنقودصعبة

تقترض €10 000 بمعدّل 5,4% سنويًا، تُركَّب شهريًا، وتسدّد €200 في نهاية كل شهر. كم شهرًا يستغرق حتى يُسدَّد القرض (قد تكون الدفعة الأخيرة أصغر)؟ أعطِ عدد الدفعات N.

P = €10 000A = €2005,4% / 12

N = دفعات

3.NPV و IRRمتوسطة

استثمار قدره €20 000 يعطي التدفقات النقدية التالية في نهاية السنوات من 1 إلى 4: €10 000, €5 000, €6 000, €9 000. تكلفة رأس المال 12%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

r = 12%CF₀ = −20 000CF₁ = 10 000CF₂ = 5 000CF₃ = 6 000CF₄ = 9 000

NPV = €

4.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €40 000 ويعود بـ €27 500, €21 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 2. أوجد معدل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

CF₀ = −40 000CF₁ = 27 500CF₂ = 21 500

IRR = %

5.تسعير السندات وعائدهامتوسطة

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا قدره 6% ويستحق بعد 8 سنوات. يتغيّر عائده حتى الاستحقاق من 8% إلى 6%. بكم ΔP يتغيّر سعر السند؟

F = €1 000الكوبون = 6%n = 8y₁ = 8%y₂ = 6%

ΔP = €

6.تسعير السندات وعائدهاصعبة

سند قيمته الاسمية €1 000 وكوبونه السنوي 3% يستحق بعد 10 سنوات ويُباع بسعر €1 140. أوجد عائده حتى الاستحقاق YTM بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 3%n = 10P = €1 140

YTM = %

7.CAPM و WACCمتوسطة

لدى شركة نسبة دين إلى حقوق ملكية (بالقيم السوقية) قدرها 1. تكلفة حقوق ملكيتها 11%، وتكلفة دينها قبل الضريبة 6%، ومعدّل الضريبة 25%. أوجد WACC.

D/E = 1r_e = 11%r_d = 6%T = 25%

WACC = %

8.CAPM و WACCصعبة

لدى شركة 4 000 000 من الأسهم بسعر €39,00 للسهم الواحد و5 000 من السندات يُتداول كل منها بسعر €1 050. تكلفة الدين قبل الضريبة 4% ومعدل الضريبة 20%. معامل بيتا للسهم 0,6، والمعدل الخالي من المخاطر 2%، وعائد السوق 6,5%. أوجد WACC.

β = 0,6r_f = 2%r_m = 6,5%r_d = 4%T = 20%

WACC = %

9.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 27, 12, 26, 16, 36.

n = 5

s =

10.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 170 وانحراف معياري 20. ما نسبة P القيم الأقل من 154؟

μ = 170σ = 20x = 154

P =

11.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,25, 0,35, 0,05

σ =

12.الاحتمالصعبة

تكلفة لعبة €1 للمشاركة. تربح €5 باحتمال 0,2 و€20 باحتمال 0,05؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.

مبلغ المشاركة = €1€5: p = 0,2€20: p = 0,05

E(G) = €

13.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة تحت المنحنى الطبيعي القياسي، على يمين z، مساوية 0,9649. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,9649

z =

14.التوزيع الطبيعيصعبة

درجات الامتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 65 درجة وانحراف معياري 10 درجة. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 95% منها (المئين 95).

μ = 65σ = 10P = 95%

x = درجة

15.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 10 مفردة متوسطها 77,5 وانحرافها المعياري s = 5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 90% للمتوسط.

n = 10x̄ = 77,5s = 590%t(9) = 1,833

الحد الأعلى =

16.فترات الثقةصعبة

لأقطار 11 عمودًا مشغولًا آليًا انحراف معياري للعينة قدره 0,5 µm. بافتراض أن الأقطار موزّعة طبيعيًا، أوجد الحد الأعلى σ لفترة الثقة 95% للانحراف المعياري للمجتمع. مع df = 10، يقع 2,5% من توزيع χ² دون 3,247 و 2,5% فوق 20,483.

n = 11s = 0,5 µmχ² = 3,247, 20,483

σ = µm

17.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 100 طالبًا متوسط درجاتها 200,8 وانحرافها المعياري 5. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 200,8s = 5n = 100

t =

18.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 25 قياسًا متوسطها 124,2. الانحراف المعياري للمجتمع 10. أوجد الحد الأدنى L لفترة الثقة 90% للمتوسط.

x̄ = 124,2σ = 10n = 2590%

L =

19.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 6Σx = 42Σy = 430Σx² = 364Σy² = 32618Σxy = 3362

r =

20.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 2,5.

n = 5x = 2,5

ŷ =

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 33474 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

معامل سلسلة الدفعات

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,3305)/0,06 = 11,16

القيمة الحالية

PV = 3 000·11,16 = €33 474,35

الإجابة

PV = €33 474,35

2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: N = 57 دفعات

أعد ترتيب صيغة الدفعات

i = 0,0045

(1 + i)^−N = 1 − 10 000·0,0045/200 = 0,775

حلّ باللوغاريتمات

N = −ln(0,775)/ln(1,004) = 56,77

قرّب إلى دفعات كاملة

56 دفعة كاملة تترك رصيدًا صغيرًا، تسدّده الدفعة الأخيرة الأصغر.

N = 57

الإجابة

N = 57 دفعات

3.NPV و IRR

الإجابة: NPV = 2905 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,12)¹ = 10 000/1,12 = 8 928,57

CF₂/(1 + 0,12)² = 5 000/1,254 = 3 985,97

CF₃/(1 + 0,12)³ = 6 000/1,405 = 4 270,68

CF₄/(1 + 0,12)⁴ = 9 000/1,574 = 5 719,66

اجمعها

NPV = €2 904,89

الإجابة

NPV = €2 904,89

NPV موجبة، لذا يكسب المشروع أكثر من العائد المطلوب.

4.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 15,35 %

احصر IRR بين قيمتين

تنخفض NPV كلما ارتفع المعدل، لذا يقع IRR بين معدل يعطي NPV موجبة ومعدل يعطي NPV سالبة.

NPV(15%) = 170,13

NPV(20%) = −2 152,78

ضيّق النطاق

يعطي الاستكمال الخطي تقديرًا أوليًا؛ وتكراره (أو دالة IRR في الآلة الحاسبة) يعطي المعدل الدقيق.

IRR ≈ 15 + 5·170,13/(170,13 − (−2 152,78)) = 15,37%

بالضبط: NPV(15,35%) = 0 → IRR = 15,35%

الإجابة

IRR = 15,35%

5.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: ΔP = 114,9 €

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

السعر عند العائد القديم

C = €60,00, i = 0,08, N = 8

€60,00·(1 − 0,5403)/0,08 + €1 000·0,5403 = €344,80 + €540,27 = €885,07

السعر عند العائد الجديد

C = €60,00, i = 0,06, N = 8

€60,00·(1 − 0,6274)/0,06 + €1 000·0,6274 = €372,59 + €627,41 = €1 000,00

التغيّر

ΔP = 1 000,00 − 885,07 = €114,93

الإجابة

ΔP = €114,93

6.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: YTM = 1,483 %

معادلة العائد

€1 140 = €30·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

الحل العددي

P(1%) = €1 189,43, P(2%) = €1 089,83

YTM = 1,483%

الإجابة

YTM = 1,483%

7.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 7,75 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان من D/E

E/V = 1/(1 + 1) = 0,5

D/V = 1/(1 + 1) = 0,5

WACC

WACC = 0,5·11% + 0,5·6%·(1 − 0,25) = 7,75%

الإجابة

WACC = 7,75%

8.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 4,651 %

القيم السوقية

E = 4 000 000·€39,00 = €156 000 000

D = 5 000·€1 050 = €5 250 000

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

r_e = 2% + 0,6·4,5% = 4,7%

الأوزان

V = €161 250 000, E/V = 0,9674, D/V = 0,03256

WACC

WACC = 0,9674·4,7% + 0,03256·4%·(1 − 0,2) = 4,651%

الإجابة

WACC = 4,651%

9.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 9,529

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 117/5 = 23,4

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 3,6² + (−11,4)² + 2,6² + (−7,4)² + 12,6² = 363,2

الانحراف المعياري

s = √(363,2/4) = 9,529

الإجابة

s = 9,529

10.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,2119

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = −0,8

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 0,2119

الإجابة

P = 0,2119

11.الاحتمال

الإجابة: σ = 0,9434

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 1·0,35 + 2·0,25 + 3·0,35 + 4·0,05 = 2,1

متوسط المربعات

E(X²) = 1·0,35 + 4·0,25 + 9·0,35 + 16·0,05 = 5,3

التباين

Var(X) = 5,3 − 2,1² = 0,89

σ = √0,89 = 0,9434

الإجابة

σ = 0,9434

12.الاحتمال

الإجابة: E(G) = 1 €

النتائج الصافية

G: 4 (p = 0,2), 19 (p = 0,05), −1 (p = 0,75)

القيمة المتوقعة

E(G) = 4·0,2 + 19·0,05 − 1·0,75 = 1 €

الإجابة

E(G) = 1 €

القيمة الموجبة تعني أنك تربح مالًا في المتوسط.

13.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = −1,81

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = 1 − 0,9649 = 0,0351

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,0351 داخل الجدول واقرأ z.

z = −1,81

الإجابة

z = −1,81

14.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 81,45 درجة

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

العودة إلى x

x = 65 + 1,645·10 = 81,45 درجة

الإجابة

x = 81,45 درجة

15.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 80,4

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 9, t = 1,833

هامش الخطأ

E = 1,833·5/√10 = 2,898

الفترة

77,5 ± 2,898 → [74,6, 80,4]

الإجابة

الحد الأعلى = 80,4

16.فترات الثقة

الإجابة: σ = 0,8775 µm

فترة للتباين: (n − 1)s²/σ² له توزيع χ² بدرجات حرية n − 1. فترة 95% لـ σ² تمتدّ من (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² العليا (2,5% فوقها) إلى (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² الدنيا (2,5% دونها)؛ والفترة لـ σ هي الجذر التربيعي للحدّين. وهي غير متماثلة حول s.

مجموع المربعات

(n − 1)s² = 10·0,5² = 2,5

حدّا σ²

2,5/20,483 = 0,1221

2,5/3,247 = 0,7699

حدّ σ

σ = √0,7699 = 0,8775 µm

الإجابة

σ = 0,8775 µm

فترة 95% لـ σ: [0,3494, 0,8775] µm.

17.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 1,6

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 5/√100 = 5/10 = 0,5

إحصائية الاختبار

t = (200,8 − 200)/0,5 = 1,6

الإجابة

t = 1,6

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

18.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: L = 120,9

هامش الخطأ

E = 1,645·10/√25 = 3,29

حد الفترة

L = 124,2 − 3,29 = 120,9

الإجابة

L = 120,9

19.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9913

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 3362 − 42·430/6 = 352

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 32618 − 430²/6 = 1801

معامل الارتباط

r = 352/√(70·1801) = 0,9913

الإجابة

r = 0,9913

20.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 33,65

المتوسطات

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 184/5 = 36,8

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 63

خط الانحدار

b = 63/10 = 6,3

a = 36,8 − 6,3·3 = 17,9

ŷ = 17,9 + 6,3·x

التنبؤ

ŷ = 17,9 + 6,3·2,5 = 33,65

الإجابة

ŷ = 33,65

هذه مادة تدريب مستقلة. ExamProblems غير تابع للجهة التي تنظّم هذا الامتحان ولا معتمد منها، ويُستخدم اسم الامتحان لوصف المحتوى فقط. CFA® and Chartered Financial Analyst® علامات تجارية لـ CFA Institute، وهي غير تابعة لـ ExamProblems ولا تؤيده ولا تضمن دقته.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income