تحليل الدوائر الكهربائية 2: دوائر التيار المتردد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الأعداد المركبة

الصيغة الديكارتية: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
الطويلة والسعة: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
الصيغتان القطبية والأسية: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
القسمة: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
حاصل الضرب وناتج القسمة: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
دي موافر: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
الجذور النونية: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
معادلة تربيعية مع p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

الطريقة

قرّر أي صيغة تناسب العملية: الصيغة الديكارتية a + jb للجمع والطرح، والقطبية r∠θ للضرب والقسمة والقوى والجذور.
اضرب بالفك مع j² = −1؛ واقسم بضرب البسط والمقام في مرافق المقام.
حوّل بـ r = √(a² + b²) و θ من رسم للنقطة (a, b) (تحقق من الربع)، وعد بـ a = r cos θ، b = r sin θ.
للقوى استخدم دي موافر، (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ؛ ولـ zⁿ = R∠φ اسرد كل الجذور الـ n: R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
التردد الزاوي: ω = 2πf
المقدار والزاوية: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات: V = I·Z

الطريقة

حوّل التردد: ω = 2πf.
أوجد كل ممانعة مفاعلة: X_L = ωL و X_C = 1/(ωC).
اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

القدرة الفعلية: P = V·I·cos φ
القدرة غير الفعّالة: Q = V·I·sin φ
القدرة الظاهرية: S = V·I = √(P² + Q²)
معامل القدرة: pf = cos φ = P/S
مكثّف التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

التردد الطبيعي: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
الطاقة: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
تيار الذروة: I_max = V₀√(C/L)
معامل الجودة: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
RLC على التوالي: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
RLC على التوازي: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
عرض النطاق: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
ترددات نصف القدرة: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
دائرة رنين ذات مقاومة ملف r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
تضاؤل السعة: e^−Rt/(2L)

الطريقة

أوجد تردد الرنين أولًا: ω₀ = 1/√(LC) وf₀ = ω₀/(2π).
حدد هل الدائرة على التوالي أم على التوازي: على التوالي Q = (1/R)√(L/C)، وعلى التوازي Q = R√(C/L).
استخدم BW = f₀/Q لعرض النطاق، أو الصيغتين المختصرتين R/(2πL) (توالٍ) و1/(2πRC) (توازٍ).
في أسئلة الطاقة، استخدم أن الطاقة الكلية ½CV₀² تبقى ثابتة في دائرة LC المثالية وتتنقل بين C وL كل ربع دورة.

القدرة ثلاثية الطور

توصيل نجمة (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
توصيل دلتا (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
القدرة الفعّالة الكلية: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
القدرة الظاهرية والقدرة غير الفعّالة: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
مكثّفات التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
الجهد على كل مكثّف: Δ: V_L Y: V_L/√3
قدرة دخل المحرّك: P_in = P_out/η

الحالات العابرة RC و RL

الثابت الزمني: τ = RC | τ = L/R
الاستجابة: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
المكثّف في التيار المستمر: دائرة مفتوحة؛ لا يمكن أن يقفز v_C
الملف في التيار المستمر: قصر؛ لا يمكن أن يقفز i_L
الحالة المستقرة: t ≈ 5τ

الطريقة

أوجد القيمة الابتدائية مباشرة بعد التبديل: جهد المكثّف وتيار الملف لا يقفزان.
أوجد القيمة النهائية بعد التبديل بزمن طويل: يتصرّف المكثّف كدائرة مفتوحة، والملف كقصر.
أوجد الثابت الزمني: τ = RC أو τ = L/R، باستخدام المقاومة التي يراها المكثّف أو الملف.
استخدم x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

ثيفنن ونورتن

جهد ثيفنن: V_th = V_{open circuit}
مقاومة ثيفنن: R_th: كل المصادر مُطفأة، منظورًا إليها من a–b
تيار نورتن: I_N = V_th/R_th
تيار الحِمل: I_L = V_th/(R_th + R_L)
أقصى نقل للقدرة: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

الطريقة

أزل الحِمل وعلّم الطرفين a و b.
أوجد جهد الدائرة المفتوحة بين a و b: هذا هو V_th.
أطفئ كل المصادر المستقلة وأوجد المقاومة المرئية من a–b: هذه هي R_th.
أعد الحِمل إلى الدائرة المكافئة: V_th على التوالي مع R_th.
لمكافئ نورتن، حوّل: I_N = V_th/R_th، مع R_N = R_th على التوازي.

2مسائل تدريبية

1.الأعداد المركبةمتوسطة

يُظهر المخطط z = −4 − j3. مع w = 2∠−90°، انقر على النقطة التي تمثل z·w.

z = −4 − j3w = 2∠−90°

1A (−3 + j4)
2B (6 − j8)
3C (−6 + j8)
4D (−8 − j6)

2.الأعداد المركبةصعبة

جذور zⁿ = w مع n = 2 و w = 25∠180° هي z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n)، k = 0, 1. جد الجزء التخيلي لـ z₁.

w = 25∠180°n = 2k = 1

Im(z₁) =

3.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 50 V (فعّال)، 60 Hz. أوجد التيار الفعّال I.

V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 10 µF

I = A

4.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 120 V (فعّال)، 60 Hz. أوجد تردّد الرنين f₀ للدائرة.

V = 120 V (rms)f = 60 HzR = 100 ΩL = 150 mHC = 100 µF

f₀ = Hz

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةمتوسطة

يستهلك محرّك أحادي الطور 10 kW بمعامل قدرة 0,9 متأخّر من مصدر 400 V. أوجد تيار الخط I.

P = 10 kWpf = 0,9V = 400 V

I = A

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةصعبة

محوّل أحادي الطور قدرته 100 kVA يغذّي حِملًا 37 kW بمعامل قدرة 0,7 متأخّر. ما مقدار القدرة الفعلية الإضافية ΔP التي يمكن إضافتها كحِمل مقاومي (معامل قدرة واحد) قبل أن يبلغ المحوّل قدرته الاسمية بوحدة kVA؟

S_max = 100 kVAP₁ = 37 kWpf₁ = 0,7

ΔP = kW

7.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقمتوسطة

لدائرة RLC على التوازي R = 10 kΩ وL = 22 mH وC = 4,7 nF. أوجد معامل جودتها Q.

R = 10 kΩL = 22 mHC = 4,7 nF

Q =

8.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقصعبة

يتفرغ مكثف 22 nF مشحون عبر ملف 22 µH بمقاومة توالٍ كلية 1 Ω، فيتلاشى التذبذب ببطء. تتناقص سعته كـ e^−Rt/(2L). كم دورة تذبذب n تمر قبل أن تنتصف السعة؟ (الفواقد صغيرة، فالتردد هو f₀.)

L = 22 µHC = 22 nFR = 1 Ω

n =

9.القدرة ثلاثية الطورمتوسطة

حمل متوازن موصول Δ ممانعته 12 + j16 Ω لكل طور موصول بمصدر ثلاثي الطور متوازن جهد خطه 415 V. أوجد القدرة الفعّالة الكلية P التي يمتصّها الحمل بالـ kW.

V_L = 415 VZ = 12 + j16 Ω لكل طور

P = kW

10.القدرة ثلاثية الطورصعبة

حمل ثلاثي الطور متوازن يأخذ 150 kW عند معامل قدرة 0,72 متأخر من مصدر 415 V (جهد خط) و 60 Hz. يجب أن ترفع مجموعة مكثّفات ثلاثية الطور موصولة على التوازي مع الحمل معامل القدرة الكلي إلى 0,98 متأخر. تبقى القدرة الفعّالة كما هي. أوجد القدرة غير الفعّالة الكلية Q_C التي يجب أن تقدّمها مجموعة المكثّفات، بالـ kvar.

P = 150 kWpf₁ = 0,72pf₂ = 0,98V_L = 415 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

11.الحالات العابرة RC و RLمتوسطة

لا يمرّ تيار في الملف قبل أن يُغلق المفتاح عند t = 0. أوجد التيار i عند t = 1 ms.

V_s = 24 VR = 100 ΩL = 68 mHt = 1 ms

i = A

12.الحالات العابرة RC و RLصعبة

يبدأ مؤقّت بشحن مكثّف غير مشحون عبر مقاومة من مصدر 9 V عند t = 0. يجب أن يُطلق عندما يبلغ جهد المكثّف 6,75 V، بعد 200 ms بالضبط من البداية. مع R = 10 kΩ، أوجد السعة C المطلوبة.

V_s = 9 VV_th = 6,75 VT = 200 msR = 10 kΩ

C = µF

13.ثيفنن ونورتنمتوسطة

وُصل حِمل R_L = 2 Ω بين a–b. استبدل بقية الدائرة بمكافئ ثيفنن وأوجد تيار الحِمل I_L.

V₁ = 10 VR₁ = 20 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 10 ΩR_L = 2 Ω

I_L = A

14.ثيفنن ونورتنصعبة

وُصل حِمل R_L = 2 Ω بين a–b. استبدل بقية الدائرة بمكافئ ثيفنن وأوجد تيار الحِمل I_L.

V₁ = 12 VI_s = 3 AR₁ = 15 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 30 ΩR_L = 2 Ω

I_L = A

15.مخططات بودي والهوامشمتوسطة

لـ مرشح RL لتمرير الترددات المنخفضة الموضح R = 220 Ω, L = 4,7 mH. يُطبَّق دخل جيبي مقداره 37 kHz. أوجد إزاحة الطور φ للجهد v_out بالنسبة إلى v_in، بالدرجات.

R = 220 ΩL = 4,7 mHf = 37 kHz

φ = °

16.مخططات بودي والهوامشصعبة

حلقة تغذية عكسية وحدوية دالة نقلها المفتوحة L(s) = K/(s(s + 9)(s + 10)). أوجد الكسب K الذي يعطي هامش كسب قدره 15 dB.

L(s) = K/(s(s + 9)(s + 10))GM = 15 dB

K =

3المحاليل

1.الأعداد المركبة

الإجابة: C (−6 + j8)

الصيغة القطبية: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ، حيث r = |z| و θ = arg z. والعودة إلى الصيغة الديكارتية: a = r cos θ، b = r sin θ. تحتاج السعة إلى الربع: θ = atan(b/a) فقط عندما a > 0؛ وعندما a < 0 أضف 180° أو اطرحها. في الصيغة القطبية الضرب سهل: اضرب الطويلتين واجمع السعتين؛ وللقسمة اقسم الطويلتين واطرح السعتين.

أثر w

|z·w| = 2·|z|, arg(z·w) = arg z + (−90)°

النقطة

z·w = −6 + j8 → C

الإجابة

C (−6 + j8)

2.الأعداد المركبة

الإجابة: Im(z₁) = −5

دي موافر والجذور: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. للمعادلة zⁿ = R∠φ بالضبط n جذرًا، كلها بطويلة R^1/n، عند السعات (φ + 360°·k)/n لـ k = 0, 1, …, n − 1: تقع متباعدة بانتظام على دائرة، بفارق 360°/n. للمعادلة التربيعية z² + pz + q = 0 مع p² < 4q جذران مركبان z = −p/2 ± j√(q − p²/4)؛ وكثير الحدود ذو المعاملات الحقيقية تأتي جذوره المركبة دائمًا في أزواج مترافقة a ± jb.

طويلة الجذور

25^1/2 = 5

سعة الجذر

θ₁ = (180° + 360°·1)/2 = 270° → −90°

الصيغة الديكارتية

z₁ = 5·(cos −90° + j sin −90°) = −j5

Im(z₁) = −5

الإجابة

Im(z₁) = −5

تقع الجذور الـ 2 على دائرة نصف قطرها 5، تفصل بين كل جذرين زاوية 180°.

3.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: I = 0,2427 A

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

المفاعلات

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,2 = 75,4 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·10·10⁻⁶) = 265,3 Ω

المعاوقة

على التوالي تُجمع المعاوقات كأعداد مركّبة: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (−189,9)²) = 206 Ω

التيار

يمرّ التيار نفسه في كل عنصر من عناصر دائرة التوالي.

I = V/|Z| = 50/206 = 0,2427 A

الإجابة

I = 0,2427 A

4.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: f₀ = 41,09 Hz

الرنين

عند الرنين تُلغي المفاعلتان الحثية والسعوية بعضهما: ωL = 1/(ωC). تردّد المصدر لا يهم.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,15·100·10⁻⁶)) = 41,09 Hz

الإجابة

f₀ = 41,09 Hz

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: I = 27,78 A

قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.

تيار الخط

الجزء الفعلي من القدرة فقط يؤدّي الشغل، لذا اقسم على معامل القدرة.

I = P/(V·cos φ) = 10000/(400·0,9) = 27,78 A

الإجابة

I = 27,78 A

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: ΔP = 55,6 kW

القدرة غير الفعّالة للحِمل الموجود

Q₁ = 37·tan(arccos 0,7) = 37,75 kvar

أكبر قدرة فعلية كلية

عند القدرة الاسمية الكاملة S = S_max، و Q لا يتغيّر بالحِمل المقاومي.

P = √(S_max² − Q₁²) = √(100² − 37,75²) = 92,6 kW

القدرة الفعلية الإضافية

ΔP = 92,6 − 37 = 55,6 kW

الإجابة

ΔP = 55,6 kW

7.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

الإجابة: Q = 4,622

معامل الجودة وعرض النطاق: في الدائرة الرنانة Q = 2π·(الطاقة المختزنة)/(الطاقة المفقودة في الدورة). في RLC على التوالي Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C)؛ وفي RLC على التوازي Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). عرض النطاق بين ترددي نصف القدرة f₁ وf₂ (حيث تكون القدرة النصف والتيار أو الجهد 1/√2 من ذروته) هو BW = f₂ − f₁ = f₀/Q، ويساوي R/(2πL) على التوالي و1/(2πRC) على التوازي. تردد الرنين هو الوسط الهندسي f₀ = √(f₁f₂)، وf_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). تجعل الفواقد التذبذب يتضاءل أيضًا: في RLC على التوالي تتناقص السعة كـ e^−Rt/(2L).

تردد الرنين

ω₀ = 1/√(LC) = 98342 rad/s

معامل الجودة

Q = R/(ω₀L) = 10000/(98342·0,022) = 4,622

الإجابة

Q = 4,622

عرض النطاق هو 1/(2πRC) = 3,386 kHz.

8.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

الإجابة: n = 6,977

نصف عمر السعة

t = 2·2,2 × 10⁻⁵·ln 2/1 = 3,05 × 10⁻⁵ s

عدد الدورات

n = t·f₀ = 3,05 × 10⁻⁵·228769 = 6,977

الإجابة

n = 6,977

اختصار: n = Q·ln 2/π مع Q = 31,62.

9.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: P = 15,5 kW

جهد الطور

V_ph = V_L = 415 V

تيار الطور

|Z| = √(12² + 16²) = 20 Ω

I_ph = 415/20 = 20,75 A

القدرة الفعّالة الكلية

الجزء المقاومي فقط من كل ممانعة يمتصّ القدرة الفعّالة.

P = 3·I_ph²·R = 3·20,75²·12 = 15,5 kW

الإجابة

P = 15,5 kW

تحقّق: cos φ = R/|Z| = 0,6، و √3·V_L·I_L·cos φ يعطي القدرة نفسها.

10.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: Q_C = 114,1 kvar

النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، V_L = √3·V_ph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، I_L = √3·I_ph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. تحسين معامل القدرة: تقدّم المكثّفات القدرة غير الفعّالة محليًا، Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). يقدّم كل مكثّف من المكثّفات الثلاثة Q_C/3 = V²·ω·C، حيث V الجهد على ذلك المكثّف: V_L في مجموعة Δ، و V_L/√3 في مجموعة Y.

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

القدرة الفعّالة لا تتغيّر، لذا يحدّد كل معامل قدرة القدرة غير الفعّالة: Q = P·tan φ.

Q₁ = 150·tan(acos 0,72) = 150·0,9639 = 144,6 kvar

Q₂ = 150·tan(acos 0,98) = 150·0,2031 = 30,46 kvar

القدرة غير الفعّالة من المكثّفات

Q_C = Q₁ − Q₂ = 114,1 kvar

الإجابة

Q_C = 114,1 kvar

11.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: i = 0,1849 A

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

الثابت الزمني والتيار النهائي

بعد إغلاق المفتاح بوقت طويل يتصرّف الملف كقصر، لذا يحدّد R وحده التيار النهائي.

τ = L/R = 68 mH / 100 Ω = 0,68 ms

i(∞) = V_s/R = 24/100 = 0,24 A

التيار في اللحظة المعطاة

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,24·(1 − e^−1/0,68) = 0,1849 A

الإجابة

i = 0,1849 A

12.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: C = 14,43 µF

الثابت الزمني المطلوب

6,75 = 9·(1 − e^−200/τ) → τ = 200/ln(9/(9 − 6,75))

τ = 200/1,386 = 144,3 ms

السعة

kΩ مضروبة في µF تعطي ميلي ثانية.

C = τ/R = 144,3/10 = 14,43 µF

الإجابة

C = 14,43 µF

13.ثيفنن ونورتن

الإجابة: I_L = 0,2083 A

نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد V_th على التوالي مع مقاومة R_th. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار I_N = V_th/R_th على التوازي مع R_th.

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R₁ ∥ R₂ = 20·15/(20+15) = 8,571 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 8,571 + 10 = 18,57 Ω

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة

عندما يكون a–b مفتوحًا لا يمرّ تيار في R₃، فلا هبوط عليه و V_b = V_A. يشكّل R₁ و R₂ مقسّم جهد.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 10·15/(20+15) = 4,286 V

صِل الحِمل بمكافئ ثيفنن

يتصرّف مصدر ثيفنن و R_th على التوالي عند a–b تمامًا كالدائرة الأصلية، فيرى الحِمل حلقة توالٍ بسيطة.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 4,286/(18,57 + 2) = 0,2083 A

14.ثيفنن ونورتن

الإجابة: I_L = −2,683 A

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R₁ ∥ R₂ = 15·20/(15+20) = 8,571 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 8,571 + 30 = 38,57 Ω

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة

عندما يكون a–b مفتوحًا، المسار الوحيد لـ Iₛ هو عبر R₃ إلى العقدة A. أوجد V_A بتراكب V₁ و Iₛ، ثم أضف الهبوط على R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 6,857 + (−3)·8,571 = −18,86 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −18,86 + (−3)·30 = −108,9 V

صِل الحِمل بمكافئ ثيفنن

يتصرّف مصدر ثيفنن و R_th على التوالي عند a–b تمامًا كالدائرة الأصلية، فيرى الحِمل حلقة توالٍ بسيطة.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = −108,9/(38,57 + 2) = −2,683 A

15.مخططات بودي والهوامش

الإجابة: φ = −78,62 °

الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ω_c = 1/(RC) أو R/L، وf_c = ω_c/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) وφ = −atan(ω/ω_c). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jω_c). تردد تقاطع الطور ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.

تردد الركن

ω_c = R/L = 220/0,0047 = 46809 rad/s

f_c = 7450 Hz → f/f_c = 37000/7450 = 4,967

الطور

φ = − atan(4,967) = −78,62°

الإجابة

φ = −78,62°

16.مخططات بودي والهوامش

الإجابة: K = 304,1

تقاطع الطور

(ω/9)·(ω/10) = 1 → ω₁₈₀ = √(9·10) = 9,487 rad/s

المقدار عند تقاطع الطور

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 81)·√(ω² + 100)) = K/(9·10·(9 + 10)) = K/1710

الكسب المطلوب

1710/K = 10^15/20 = 5,623

K = 1710/5,623 = 304,1

الإجابة

K = 304,1

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

تحليل الدوائر الكهربائية 2: دوائر التيار المتردد: حزمة المراجعة المكثفة

1القوانين وطرق الحل

الأعداد المركبة

الطريقة

معاوقة التيار المتردد والطوريات

الطريقة

قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

الطريقة

القدرة ثلاثية الطور

الحالات العابرة RC و RL

الطريقة

ثيفنن ونورتن

الطريقة

2مسائل تدريبية

3المحاليل

أثر w

النقطة

الإجابة

طويلة الجذور

سعة الجذر

الصيغة الديكارتية

الإجابة

المفاعلات

المعاوقة

التيار

الإجابة

الرنين

الإجابة

تيار الخط

الإجابة

القدرة غير الفعّالة للحِمل الموجود

أكبر قدرة فعلية كلية

القدرة الفعلية الإضافية

الإجابة

تردد الرنين

معامل الجودة

الإجابة

نصف عمر السعة

عدد الدورات

الإجابة

جهد الطور

تيار الطور

القدرة الفعّالة الكلية

الإجابة

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

القدرة غير الفعّالة من المكثّفات

الإجابة

الثابت الزمني والتيار النهائي

التيار في اللحظة المعطاة

الإجابة

الثابت الزمني المطلوب

السعة

الإجابة

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة

صِل الحِمل بمكافئ ثيفنن

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة

صِل الحِمل بمكافئ ثيفنن

تردد الركن

الطور

الإجابة

تقاطع الطور

المقدار عند تقاطع الطور

الكسب المطلوب

الإجابة

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة