تحليل الدوائر الكهربائية 2: دوائر التيار المتردد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الأعداد المركبة

الصيغة الديكارتية: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
الطويلة والسعة: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
الصيغتان القطبية والأسية: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
القسمة: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
حاصل الضرب وناتج القسمة: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
دي موافر: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
الجذور النونية: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
معادلة تربيعية مع p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

الطريقة

قرّر أي صيغة تناسب العملية: الصيغة الديكارتية a + jb للجمع والطرح، والقطبية r∠θ للضرب والقسمة والقوى والجذور.
اضرب بالفك مع j² = −1؛ واقسم بضرب البسط والمقام في مرافق المقام.
حوّل بـ r = √(a² + b²) و θ من رسم للنقطة (a, b) (تحقق من الربع)، وعد بـ a = r cos θ، b = r sin θ.
للقوى استخدم دي موافر، (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ؛ ولـ zⁿ = R∠φ اسرد كل الجذور الـ n: R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
التردد الزاوي: ω = 2πf
المقدار والزاوية: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات: V = I·Z

الطريقة

حوّل التردد: ω = 2πf.
أوجد كل ممانعة مفاعلة: X_L = ωL و X_C = 1/(ωC).
اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

القدرة الفعلية: P = V·I·cos φ
القدرة غير الفعّالة: Q = V·I·sin φ
القدرة الظاهرية: S = V·I = √(P² + Q²)
معامل القدرة: pf = cos φ = P/S
مكثّف التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

التردد الطبيعي: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
الطاقة: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
تيار الذروة: I_max = V₀√(C/L)
معامل الجودة: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
RLC على التوالي: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
RLC على التوازي: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
عرض النطاق: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
ترددات نصف القدرة: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
دائرة رنين ذات مقاومة ملف r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
تضاؤل السعة: e^−Rt/(2L)

الطريقة

أوجد تردد الرنين أولًا: ω₀ = 1/√(LC) وf₀ = ω₀/(2π).
حدد هل الدائرة على التوالي أم على التوازي: على التوالي Q = (1/R)√(L/C)، وعلى التوازي Q = R√(C/L).
استخدم BW = f₀/Q لعرض النطاق، أو الصيغتين المختصرتين R/(2πL) (توالٍ) و1/(2πRC) (توازٍ).
في أسئلة الطاقة، استخدم أن الطاقة الكلية ½CV₀² تبقى ثابتة في دائرة LC المثالية وتتنقل بين C وL كل ربع دورة.

القدرة ثلاثية الطور

توصيل نجمة (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
توصيل دلتا (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
القدرة الفعّالة الكلية: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
القدرة الظاهرية والقدرة غير الفعّالة: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
مكثّفات التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
الجهد على كل مكثّف: Δ: V_L Y: V_L/√3
قدرة دخل المحرّك: P_in = P_out/η

الحالات العابرة RC و RL

الثابت الزمني: τ = RC | τ = L/R
الاستجابة: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
المكثّف في التيار المستمر: دائرة مفتوحة؛ لا يمكن أن يقفز v_C
الملف في التيار المستمر: قصر؛ لا يمكن أن يقفز i_L
الحالة المستقرة: t ≈ 5τ

الطريقة

أوجد القيمة الابتدائية مباشرة بعد التبديل: جهد المكثّف وتيار الملف لا يقفزان.
أوجد القيمة النهائية بعد التبديل بزمن طويل: يتصرّف المكثّف كدائرة مفتوحة، والملف كقصر.
أوجد الثابت الزمني: τ = RC أو τ = L/R، باستخدام المقاومة التي يراها المكثّف أو الملف.
استخدم x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

ثيفنن ونورتن

جهد ثيفنن: V_th = V_{open circuit}
مقاومة ثيفنن: R_th: كل المصادر مُطفأة، منظورًا إليها من a–b
تيار نورتن: I_N = V_th/R_th
تيار الحِمل: I_L = V_th/(R_th + R_L)
أقصى نقل للقدرة: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

الطريقة

أزل الحِمل وعلّم الطرفين a و b.
أوجد جهد الدائرة المفتوحة بين a و b: هذا هو V_th.
أطفئ كل المصادر المستقلة وأوجد المقاومة المرئية من a–b: هذه هي R_th.
أعد الحِمل إلى الدائرة المكافئة: V_th على التوالي مع R_th.
لمكافئ نورتن، حوّل: I_N = V_th/R_th، مع R_N = R_th على التوازي.

2مسائل تدريبية

1.الأعداد المركبةمتوسطة

جد السعة θ للعدد z = −1 − j5 بالدرجات، كقيمة رئيسية بين −180° و180°.

z = −1 − j5

θ = °

2.الأعداد المركبةصعبة

حلّ z² − 6z + 11,25 = 0. الجذران a ± jb؛ جد b > 0.

p = −6q = 11,25

b =

3.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 120 V (فعّال)، 500 Hz. أوجد القدرة الفعلية P المسحوبة من المصدر.

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 50 mHC = 100 µF

P = W

4.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة

دائرة RLC على التوالي يغذّيها مصدر 5 V (فعّال) ضُبط تردّده على تردّد رنين الدائرة. أوجد الجهد الفعّال V_L على الملف.

V = 5 V (rms)R = 50 ΩL = 10 mHC = 0,47 µF

V_L = V

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةمتوسطة

حِملان موصولان على التوازي بمصدر أحادي الطور 400 V: حِمل 17 kW بمعامل قدرة 0,65 متأخّر وسخّان قدرته 11 kW (معامل قدرة واحد). أوجد معامل القدرة الكلي cos φ الذي يراه المصدر.

V = 400 VP₁ = 17 kW, pf₁ = 0,65 متأخرP₂ = 11 kW, pf₂ = 1

cos φ =

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةصعبة

يستهلك حِمل أحادي الطور 20 kW بمعامل قدرة 0,7 متأخّر من مصدر 230 V، 60 Hz. يرفع مكثّف موصول على التوازي معامل القدرة إلى 0,92. أوجد تيار الخط الجديد I_new.

P = 20 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,92V = 230 Vf = 60 Hz

I_new = A

7.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقمتوسطة

لدائرة RLC على التوالي R = 22 Ω وL = 1 mH وC = 220 pF. أوجد معامل جودتها Q.

R = 22 ΩL = 1 mHC = 220 pF

Q =

8.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقصعبة

يتفرغ مكثف 2,2 µF مشحون عبر ملف 10 mH بمقاومة توالٍ كلية 2 Ω، فيتلاشى التذبذب ببطء. تتناقص سعته كـ e^−Rt/(2L). كم دورة تذبذب n تمر قبل أن تنتصف السعة؟ (الفواقد صغيرة، فالتردد هو f₀.)

L = 10 mHC = 2,2 µFR = 2 Ω

n =

9.القدرة ثلاثية الطورمتوسطة

حمل متوازن موصول Y ممانعته 9 + j12 Ω لكل طور موصول بمصدر ثلاثي الطور متوازن جهد خطه 400 V. أوجد القدرة الفعّالة الكلية P التي يمتصّها الحمل بالـ kW.

V_L = 400 VZ = 9 + j12 Ω لكل طور

P = kW

10.القدرة ثلاثية الطورصعبة

حمل ثلاثي الطور متوازن يأخذ 200 kW عند معامل قدرة 0,8 متأخر من مصدر 690 V (جهد خط) و 60 Hz. يجب أن ترفع مجموعة مكثّفات ثلاثية الطور موصولة على التوازي مع الحمل معامل القدرة الكلي إلى 0,92 متأخر. تبقى القدرة الفعّالة كما هي. المكثّفات موصولة نجمة (Y). أوجد السعة C_ph لكل مكثّف بالـ µF.

P = 200 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,92V_L = 690 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.الحالات العابرة RC و RLمتوسطة

لا يمرّ تيار في الملف قبل أن يُغلق المفتاح عند t = 0. بعد كم من الوقت من إغلاق المفتاح يبلغ التيار 50% من قيمته النهائية؟ أوجد t.

V_s = 15 VR = 47 ΩL = 22 mH

t = ms

12.الحالات العابرة RC و RLصعبة

قبل إغلاق المفتاح عند t = 0 مباشرة، يكون جهد المكثّف 6 V بالقطبية الموضّحة. أوجد جهد المكثّف v_C عند t = 120 ms.

V_s = 12 VR = 10 kΩC = 33 µFv_C(0) = 6 Vt = 120 ms

v_C = V

13.ثيفنن ونورتنمتوسطة

وُصل حِمل R_L = 4 Ω بين a–b. استبدل بقية الدائرة بمكافئ ثيفنن وأوجد تيار الحِمل I_L.

V₁ = 18 VR₁ = 15 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 6 ΩR_L = 4 Ω

I_L = A

14.ثيفنن ونورتنصعبة

أوجد تيار نورتن I_N: التيار الذي يسري من a إلى b إذا قُصر الطرفان.

V₁ = 9 VI_s = 5 AR₁ = 6 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 4 Ω

I_N = A

15.مخططات بودي والهوامشمتوسطة

في مرشح تمرير النطاق RLC على التسلسل الموضح، يؤخذ الخرج على R = 20 Ω، مع L = 20 mH وC = 4,7 µF. أوجد عرض النطاق عند −3 dB BW بالهرتز.

R = 20 ΩL = 20 mHC = 4,7 µF

BW = Hz

16.مخططات بودي والهوامشصعبة

حلقة تغذية عكسية وحدوية دالة نقلها المفتوحة L(s) = 195/(s(s + 5)). أوجد هامش الطور PM بالدرجات.

L(s) = 195/(s(s + 5))

PM = °

3المحاليل

1.الأعداد المركبة

الإجابة: θ = −101,3 °

الصيغة القطبية: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ، حيث r = |z| و θ = arg z. والعودة إلى الصيغة الديكارتية: a = r cos θ، b = r sin θ. تحتاج السعة إلى الربع: θ = atan(b/a) فقط عندما a > 0؛ وعندما a < 0 أضف 180° أو اطرحها. في الصيغة القطبية الضرب سهل: اضرب الطويلتين واجمع السعتين؛ وللقسمة اقسم الطويلتين واطرح السعتين.

الربع

a = −1, b = −5 → III

الزاوية المرجعية

α = atan(5/1) = 78,69°

السعة

θ = −(180° − α) = −101,3°

الإجابة

θ = −101,3°

بالصيغة القطبية z = 5,099∠−101,3°.

2.الأعداد المركبة

الإجابة: b = 1,5

دي موافر والجذور: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. للمعادلة zⁿ = R∠φ بالضبط n جذرًا، كلها بطويلة R^1/n، عند السعات (φ + 360°·k)/n لـ k = 0, 1, …, n − 1: تقع متباعدة بانتظام على دائرة، بفارق 360°/n. للمعادلة التربيعية z² + pz + q = 0 مع p² < 4q جذران مركبان z = −p/2 ± j√(q − p²/4)؛ وكثير الحدود ذو المعاملات الحقيقية تأتي جذوره المركبة دائمًا في أزواج مترافقة a ± jb.

المميِّز

p² − 4q = 36 − 45 = −9 < 0

قانون المعادلة التربيعية

z = (6 ± j√9)/2 = 3 + j1,5, 3 − j1,5

الإجابة

b = 1,5

الإجابة

b = 1,5

3.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: P = 31,67 W

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

المفاعلات

X_L = 157,1 Ω, X_C = 3,183 Ω

المعاوقة

|Z| = √(60² + (153,9)²) = 165,2 Ω

القدرة الفعلية

الملفات والمكثّفات تخزّن الطاقة وتعيدها فقط؛ والمقاومة تمتص القدرة الفعلية كلها.

I = 120/165,2 = 0,7265 A

P = I²·R = 0,7265²·60 = 31,67 W

الإجابة

P = 31,67 W

4.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: V_L = 14,59 V

الرنين

عند الرنين تُلغى المفاعلتان، لذا المعاوقة هي R فقط.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,01·0,47·10⁻⁶) = 14586 rad/s

I = V/R = 5/50 = 0,1 A

الجهد على الملف

X_L = ω₀L = 14586·0,01 = 145,9 Ω

V_L = I·X_L = 0,1·145,9 = 14,59 V

الإجابة

V_L = 14,59 V

هذا Q = 2,917 مرة جهد المصدر.

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: cos φ = 0,8154

قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.

القدرة غير الفعّالة لكل حِمل

الحِمل المتأخّر يأخذ قدرة غير فعّالة (Q > 0)؛ والحِمل المتقدّم يزوّدها (Q < 0).

Q₁ = 17·tan(arccos 0,65) = 19,88 kvar

Q₂ = 0 = 0 kvar

المجاميع

P = 17 + 11 = 28 kW

Q = 19,88 + 0 = 19,88 kvar

S = √(28² + 19,88²) = 34,34 kVA

معامل القدرة الكلي

cos φ = P/S = 28/34,34 = 0,8154 متأخر

الإجابة

cos φ = 0,8154

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: I_new = 94,52 A

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

لا تتغيّر القدرة الفعلية P؛ تتغيّر فقط القدرة غير الفعّالة المسحوبة من الشبكة.

Q₁ = P·tan φ₁ = 20·tan(45,57°) = 20,4 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 20·tan(23,07°) = 8,52 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 11,88 kvar

تيار الخط الجديد

I_new = P/(V·cos φ₂) = 20000/(230·0,92) = 94,52 A

الإجابة

I_new = 94,52 A

7.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

الإجابة: Q = 96,91

معامل الجودة وعرض النطاق: في الدائرة الرنانة Q = 2π·(الطاقة المختزنة)/(الطاقة المفقودة في الدورة). في RLC على التوالي Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C)؛ وفي RLC على التوازي Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). عرض النطاق بين ترددي نصف القدرة f₁ وf₂ (حيث تكون القدرة النصف والتيار أو الجهد 1/√2 من ذروته) هو BW = f₂ − f₁ = f₀/Q، ويساوي R/(2πL) على التوالي و1/(2πRC) على التوازي. تردد الرنين هو الوسط الهندسي f₀ = √(f₁f₂)، وf_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). تجعل الفواقد التذبذب يتضاءل أيضًا: في RLC على التوالي تتناقص السعة كـ e^−Rt/(2L).

المعاوقة المميِّزة

√(L/C) = √(0,001/2,2 × 10⁻¹⁰) = 2132 Ω

معامل الجودة

Q = 2132/22 = 96,91

الإجابة

Q = 96,91

تردد الرنين هو 339,3 kHz، إذن BW = f₀/Q = 3,501 kHz.

8.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

الإجابة: n = 7,438

نصف عمر السعة

t = 2·0,01·ln 2/2 = 0,006931 s

عدد الدورات

n = t·f₀ = 0,006931·1073 = 7,438

الإجابة

n = 7,438

اختصار: n = Q·ln 2/π مع Q = 33,71.

9.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: P = 6,4 kW

جهد الطور

V_ph = 400/√3 = 230,9 V

تيار الطور

|Z| = √(9² + 12²) = 15 Ω

I_ph = 230,9/15 = 15,4 A

القدرة الفعّالة الكلية

الجزء المقاومي فقط من كل ممانعة يمتصّ القدرة الفعّالة.

P = 3·I_ph²·R = 3·15,4²·9 = 6,4 kW

الإجابة

P = 6,4 kW

تحقّق: cos φ = R/|Z| = 0,6، و √3·V_L·I_L·cos φ يعطي القدرة نفسها.

10.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: C_ph = 361 µF

النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، V_L = √3·V_ph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، I_L = √3·I_ph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. تحسين معامل القدرة: تقدّم المكثّفات القدرة غير الفعّالة محليًا، Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). يقدّم كل مكثّف من المكثّفات الثلاثة Q_C/3 = V²·ω·C، حيث V الجهد على ذلك المكثّف: V_L في مجموعة Δ، و V_L/√3 في مجموعة Y.

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

القدرة الفعّالة لا تتغيّر، لذا يحدّد كل معامل قدرة القدرة غير الفعّالة: Q = P·tan φ.

Q₁ = 200·tan(acos 0,8) = 200·0,75 = 150 kvar

Q₂ = 200·tan(acos 0,92) = 200·0,426 = 85,2 kvar

القدرة غير الفعّالة من المكثّفات

Q_C = Q₁ − Q₂ = 64,8 kvar

السعة لكل طور

في مجموعة Y يوصل كل مكثّف بين خط ونقطة النجمة.

V = 690/√3 = 398,4 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 21600/(377·398,4²) = 361 µF

الإجابة

C_ph = 361 µF

11.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: t = 0,3245 ms

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

الثابت الزمني والتيار النهائي

بعد إغلاق المفتاح بوقت طويل يتصرّف الملف كقصر، لذا يحدّد R وحده التيار النهائي.

τ = L/R = 22 mH / 47 Ω = 0,4681 ms

i(∞) = V_s/R = 15/47 = 0,3191 A

حلّ لإيجاد الزمن

0,5 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,5)

t = −0,4681·ln(0,5) = 0,3245 ms

الإجابة

t = 0,3245 ms

12.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: v_C = 7,829 V

القيمة الابتدائية، القيمة النهائية، الثابت الزمني

لا يمكن لجهد المكثّف أن يقفز، لذا يبدأ من قيمته المخزّنة ويتّجه نحو جهد المصدر.

v_C(0) = 6 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 10 kΩ · 33 µF = 330 ms

v_C(t) = 12 + (6 − 12)·e^−t/τ

الجهد في اللحظة المعطاة

v_C(120) = 12 + (−6)·e^−120/330 = 7,829 V

الإجابة

v_C = 7,829 V

13.ثيفنن ونورتن

الإجابة: I_L = 0,4114 A

نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد V_th على التوالي مع مقاومة R_th. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار I_N = V_th/R_th على التوازي مع R_th.

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R₁ ∥ R₂ = 15·8/(15+8) = 5,217 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 5,217 + 6 = 11,22 Ω

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة

عندما يكون a–b مفتوحًا لا يمرّ تيار في R₃، فلا هبوط عليه و V_b = V_A. يشكّل R₁ و R₂ مقسّم جهد.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 18·8/(15+8) = 6,261 V

صِل الحِمل بمكافئ ثيفنن

يتصرّف مصدر ثيفنن و R_th على التوالي عند a–b تمامًا كالدائرة الأصلية، فيرى الحِمل حلقة توالٍ بسيطة.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 6,261/(11,22 + 4) = 0,4114 A

14.ثيفنن ونورتن

الإجابة: I_N = 5,409 A

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R₁ ∥ R₂ = 6·2/(6+2) = 1,5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,5 + 4 = 5,5 Ω

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة

عندما يكون a–b مفتوحًا، المسار الوحيد لـ Iₛ هو عبر R₃ إلى العقدة A. أوجد V_A بتراكب V₁ و Iₛ، ثم أضف الهبوط على R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 2,25 + 5·1,5 = 9,75 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 9,75 + 5·4 = 29,75 V

مكافئ نورتن

مصدر نورتن هو الدائرة نفسها منظورًا إليها كمصدر تيار على التوازي مع R_th. تياره هو تيار القصر بين a–b.

I_N = V_th/R_th = 29,75/5,5 = 5,409 A

15.مخططات بودي والهوامش

الإجابة: BW = 159,2 Hz

الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ω_c = 1/(RC) أو R/L، وf_c = ω_c/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) وφ = −atan(ω/ω_c). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jω_c). تردد تقاطع الطور ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.

تردد الرنين

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,02·4,7 × 10⁻⁶) = 3262 rad/s

f₀ = ω₀/(2π) = 519,1 Hz

عرض النطاق

BW = R/L = 20/0,02 = 1000 rad/s = 159,2 Hz

الإجابة

BW = 159,2 Hz

16.مخططات بودي والهوامش

الإجابة: PM = 20,29 °

تقاطع الكسب

ω⁴ + 25ω² − 38025 = 0

ω² = (−25 + √(625 + 4·38025))/2 = 182,9

ω_c = 13,52 rad/s

هامش الطور

∠L(jω_c) = −90° − atan(13,52/5) = −159,7°

PM = 180° + ∠L = 20,29°

الإجابة

PM = 20,29°

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

تحليل الدوائر الكهربائية 2: دوائر التيار المتردد: حزمة المراجعة المكثفة

1القوانين وطرق الحل

الأعداد المركبة

الطريقة

معاوقة التيار المتردد والطوريات

الطريقة

قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

الطريقة

القدرة ثلاثية الطور

الحالات العابرة RC و RL

الطريقة

ثيفنن ونورتن

الطريقة

2مسائل تدريبية

3المحاليل

الربع

الزاوية المرجعية

السعة

الإجابة

المميِّز

قانون المعادلة التربيعية

الإجابة

الإجابة

المفاعلات

المعاوقة

القدرة الفعلية

الإجابة

الرنين

الجهد على الملف

الإجابة

القدرة غير الفعّالة لكل حِمل

المجاميع

معامل القدرة الكلي

الإجابة

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

تيار الخط الجديد

الإجابة

المعاوقة المميِّزة

معامل الجودة

الإجابة

نصف عمر السعة

عدد الدورات

الإجابة

جهد الطور

تيار الطور

القدرة الفعّالة الكلية

الإجابة

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

القدرة غير الفعّالة من المكثّفات

السعة لكل طور

الإجابة

الثابت الزمني والتيار النهائي

حلّ لإيجاد الزمن

الإجابة

القيمة الابتدائية، القيمة النهائية، الثابت الزمني

الجهد في اللحظة المعطاة

الإجابة

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة

صِل الحِمل بمكافئ ثيفنن

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة

مكافئ نورتن

تردد الرنين

عرض النطاق

الإجابة

تقاطع الكسب

هامش الطور

الإجابة

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة