تحليل الدوائر الكهربائية 2: دوائر التيار المتردد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الأعداد المركبة

الصيغة الديكارتية
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
الطويلة والسعة
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
الصيغتان القطبية والأسية
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
القسمة
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
حاصل الضرب وناتج القسمة
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
دي موافر
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
الجذور النونية
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
معادلة تربيعية مع p² < 4q
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

الطريقة

  1. قرّر أي صيغة تناسب العملية: الصيغة الديكارتية a + jb للجمع والطرح، والقطبية r∠θ للضرب والقسمة والقوى والجذور.
  2. اضرب بالفك مع j² = −1؛ واقسم بضرب البسط والمقام في مرافق المقام.
  3. حوّل بـ r = √(a² + b²) و θ من رسم للنقطة (a, b) (تحقق من الربع)، وعد بـ a = r cos θ، b = r sin θ.
  4. للقوى استخدم دي موافر، (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ؛ ولـ zⁿ = R∠φ اسرد كل الجذور الـ n: R1/n∠((φ + 360°k)/n).

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
التردد الزاوي
ω = 2πf
المقدار والزاوية
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات
V = I·Z

الطريقة

  1. حوّل التردد: ω = 2πf.
  2. أوجد كل ممانعة مفاعلة: XL = ωL و XC = 1/(ωC).
  3. اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
  4. أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

القدرة الفعلية
P = V·I·cos φ
القدرة غير الفعّالة
Q = V·I·sin φ
القدرة الظاهرية
S = V·I = √(P² + Q²)
معامل القدرة
pf = cos φ = P/S
مكثّف التصحيح
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

التردد الطبيعي
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
الطاقة
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
تيار الذروة
Imax = V0√(C/L)
معامل الجودة
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
RLC على التوالي
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
RLC على التوازي
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
عرض النطاق
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
ترددات نصف القدرة
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
دائرة رنين ذات مقاومة ملف r
RD = L/(C·r) = Q²·r
تضاؤل السعة
e−Rt/(2L)

الطريقة

  1. أوجد تردد الرنين أولًا: ω₀ = 1/√(LC) وf₀ = ω₀/(2π).
  2. حدد هل الدائرة على التوالي أم على التوازي: على التوالي Q = (1/R)√(L/C)، وعلى التوازي Q = R√(C/L).
  3. استخدم BW = f₀/Q لعرض النطاق، أو الصيغتين المختصرتين R/(2πL) (توالٍ) و1/(2πRC) (توازٍ).
  4. في أسئلة الطاقة، استخدم أن الطاقة الكلية ½CV₀² تبقى ثابتة في دائرة LC المثالية وتتنقل بين C وL كل ربع دورة.

القدرة ثلاثية الطور

توصيل نجمة (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
توصيل دلتا (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
القدرة الفعّالة الكلية
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
القدرة الظاهرية والقدرة غير الفعّالة
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
مكثّفات التصحيح
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
الجهد على كل مكثّف
Δ: VL Y: VL/√3
قدرة دخل المحرّك
Pin = Pout/η

الحالات العابرة RC و RL

الثابت الزمني
τ = RC | τ = L/R
الاستجابة
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
المكثّف في التيار المستمر
دائرة مفتوحة؛ لا يمكن أن يقفز vC
الملف في التيار المستمر
قصر؛ لا يمكن أن يقفز iL
الحالة المستقرة
t ≈ 5τ

الطريقة

  1. أوجد القيمة الابتدائية مباشرة بعد التبديل: جهد المكثّف وتيار الملف لا يقفزان.
  2. أوجد القيمة النهائية بعد التبديل بزمن طويل: يتصرّف المكثّف كدائرة مفتوحة، والملف كقصر.
  3. أوجد الثابت الزمني: τ = RC أو τ = L/R، باستخدام المقاومة التي يراها المكثّف أو الملف.
  4. استخدم x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

ثيفنن ونورتن

جهد ثيفنن
Vth = Vopen circuit
مقاومة ثيفنن
Rth: كل المصادر مُطفأة، منظورًا إليها من a–b
تيار نورتن
IN = Vth/Rth
تيار الحِمل
IL = Vth/(Rth + RL)
أقصى نقل للقدرة
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

الطريقة

  1. أزل الحِمل وعلّم الطرفين a و b.
  2. أوجد جهد الدائرة المفتوحة بين a و b: هذا هو Vth.
  3. أطفئ كل المصادر المستقلة وأوجد المقاومة المرئية من a–b: هذه هي Rth.
  4. أعد الحِمل إلى الدائرة المكافئة: Vth على التوالي مع Rth.
  5. لمكافئ نورتن، حوّل: IN = Vth/Rth، مع RN = Rth على التوازي.

2مسائل تدريبية

1.الأعداد المركبةمتوسطة
ReIm55−5−5θz

اكتب z = 8∠−155° بالصيغة الديكارتية a + jb وأعطِ الجزء الحقيقي a.

r = 8θ = −155°
a =
2.الأعداد المركبةصعبة
ReIm22−2−244−4−4z₁z₂

أحد جذور z³ − 5z² + z + 75 = 0 هو z₁ = 4 + j3. المعاملات حقيقية. جد الجذر الحقيقي r.

z₁ = 4 + j3
r =
3.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة
230 V1000 HzR = 50 ΩL = 20 mHC = 47 µF

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 230 V (فعّال)، 1000 Hz. أوجد زاوية الطور φ للمعاوقة بالدرجات (موجبة عندما يتأخّر التيار عن الجهد).

V = 230 V (rms)f = 1000 HzR = 50 ΩL = 20 mHC = 47 µF
φ = °
4.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة
100 V100 HzR1​ = 40 ΩR2​ = 150 ΩC = 4,7 µFI

مقاومة R1 موصولة على التوالي مع توصيلة توازي من R2 ومكثّف C، على مصدر 100 V (فعّال)، 100 Hz. أوجد التيار الفعّال I.

V = 100 V (rms)f = 100 HzR1 = 40 ΩR2 = 150 ΩC = 4,7 µF
I = A
5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةمتوسطة
P = 33 kWQ = ?Sφ

يستهلك محرّك أحادي الطور 33 kW بمعامل قدرة 0,75 متأخّر من مصدر 240 V. أوجد القدرة غير الفعّالة Q التي يسحبها.

P = 33 kWpf = 0,75V = 240 V
Q = kvar
6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةصعبة
P = 10 kWQ1​S1​φ1​QC​

يستهلك حِمل أحادي الطور 10 kW بمعامل قدرة 0,8 متأخّر من مصدر 240 V، 50 Hz. يرفع مكثّف موصول على التوازي معامل القدرة إلى 0,95. أوجد القدرة غير الفعّالة QC التي يجب أن يزوّدها المكثّف.

P = 10 kWpf1 = 0,8pf2 = 0,95V = 240 Vf = 50 Hz
QC = kvar
7.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقمتوسطة
V10 Ω22 µH2,2 nF

لدائرة RLC على التوالي R = 10 Ω وL = 22 µH وC = 2,2 nF. أوجد عرض نطاقها BW بوحدة kHz.

R = 10 ΩL = 22 µHC = 2,2 nF
BW = kHz
8.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقصعبة
C = 1 nFr = 10 ΩL = 22 µH

تتكون دائرة رنين متوازية من مكثف 1 nF وملف 22 µH بمقاومة لفّ 10 Ω. عند الرنين تتصرف كمقاومة، ومقاومتها الديناميكية RD = L/(C·r). أوجد RD بوحدة kΩ.

L = 22 µHC = 1 nFr = 10 Ω
RD = kΩ
9.القدرة ثلاثية الطورمتوسطة
ABCVL​ = 400 VNZ = 18 + j24 Ωلكل طور

حمل متوازن موصول Y ممانعته 18 + j24 Ω لكل طور موصول بمصدر ثلاثي الطور متوازن جهد خطه 400 V. أوجد القدرة الفعّالة الكلية P التي يمتصّها الحمل بالـ kW.

VL = 400 VZ = 18 + j24 Ω لكل طور
P = kW
10.القدرة ثلاثية الطورصعبة
P = 200 kWφ1​S1​Q2​QC​

حمل ثلاثي الطور متوازن يأخذ 200 kW عند معامل قدرة 0,65 متأخر من مصدر 690 V (جهد خط) و 50 Hz. يجب أن ترفع مجموعة مكثّفات ثلاثية الطور موصولة على التوازي مع الحمل معامل القدرة الكلي إلى 0,92 متأخر. تبقى القدرة الفعّالة كما هي. المكثّفات موصولة نجمة (Y). أوجد السعة Cph لكل مكثّف بالـ µF.

P = 200 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,92VL = 690 Vf = 50 Hz
Cph = µF
11.الحالات العابرة RC و RLمتوسطة
R = 15 Ωt = 0L10 mHi(t)

يحمل الملف تيارًا مستقرًا 1,5 A. عند t = 0 يغلق المفتاح الحلقة عبر R ويُزال المصدر، فيتناقص تيار الملف عبر R. أوجد الجهد vR على R عند t = 1 ms.

i(0) = 1,5 AR = 15 ΩL = 10 mHt = 1 ms
vR = V
12.الحالات العابرة RC و RLصعبة
+−Vs​12 Vt = 0R = ?C100 µF+−vC​

يبدأ مؤقّت بشحن مكثّف غير مشحون عبر مقاومة من مصدر 12 V عند t = 0. يجب أن يُطلق عندما يبلغ جهد المكثّف 10,8 V، بعد 25 ms بالضبط من البداية. مع C = 100 µF، أوجد المقاومة R المطلوبة.

Vs = 12 VVth = 10,8 VT = 25 msC = 100 µF
R = kΩ
13.ثيفنن ونورتنمتوسطة
R1​ = 8 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​15 VR2​10 ΩAab

أوجد تيار نورتن IN: التيار الذي يسري من a إلى b إذا قُصر الطرفان.

V1 = 15 VR1 = 8 ΩR2 = 10 ΩR3 = 10 Ω
IN = A
14.ثيفنن ونورتنصعبة
R1​ = 4 ΩR3​ = 25 Ω+−V1​15 VR2​4 ΩAIs​4 ABab

أوجد تيار نورتن IN: التيار الذي يسري من a إلى b إذا قُصر الطرفان.

V1 = 15 VIs = 4 AR1 = 4 ΩR2 = 4 ΩR3 = 25 Ω
IN = A
15.مخططات بودي والهوامشمتوسطة
vin​L = 100 mHC = 4,7 µFR = 5 Ωvout​

في مرشح تمرير النطاق RLC على التسلسل الموضح، يؤخذ الخرج على R = 5 Ω، مع L = 100 mH وC = 4,7 µF. أوجد عرض النطاق عند −3 dB BW بالهرتز.

R = 5 ΩL = 100 mHC = 4,7 µF
BW = Hz
16.مخططات بودي والهوامشصعبة
|H| (dB)0,10,1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​

حلقة تغذية عكسية وحدوية دالة نقلها المفتوحة L(s) = 230/(s(s + 3)(s + 9)). أوجد هامش الكسب GM بوحدة dB.

L(s) = 230/(s(s + 3)(s + 9))
GM = dB

3المحاليل

1.الأعداد المركبة

الإجابة: a = −7,25

الصيغة القطبية: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ، حيث r = |z| و θ = arg z. والعودة إلى الصيغة الديكارتية: a = r cos θ، b = r sin θ. تحتاج السعة إلى الربع: θ = atan(b/a) فقط عندما a > 0؛ وعندما a < 0 أضف 180° أو اطرحها. في الصيغة القطبية الضرب سهل: اضرب الطويلتين واجمع السعتين؛ وللقسمة اقسم الطويلتين واطرح السعتين.

المركّبات

a = 8·cos(−155°) = −7,25
b = 8·sin(−155°) = −3,381

الصيغة الديكارتية

z = −7,25 − j3,381
a = −7,25

الإجابة

a = −7,25
2.الأعداد المركبة

الإجابة: r = −3

دي موافر والجذور: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. للمعادلة zⁿ = R∠φ بالضبط n جذرًا، كلها بطويلة R1/n، عند السعات (φ + 360°·k)/n لـ k = 0, 1, …, n − 1: تقع متباعدة بانتظام على دائرة، بفارق 360°/n. للمعادلة التربيعية z² + pz + q = 0 مع p² < 4q جذران مركبان z = −p/2 ± j√(q − p²/4)؛ وكثير الحدود ذو المعاملات الحقيقية تأتي جذوره المركبة دائمًا في أزواج مترافقة a ± jb.

زوج مترافق

z₂ = 4 − j3
(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·4·z + (4² + 3²) = z² − 8z + 25

حلّل العامل التربيعي

z³ − 5z² + z + 75 = (z² − 8z + 25)(z + 3)

الجذر الحقيقي

r = −3

الإجابة

r = −3

تحقق بمجموع الجذور: z₁ + z₂ + r = 8 + (−3) = 5 = −(−5).

3.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: φ = 67,76 °

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

المفاعلات

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0,02 = 125,7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·47·10⁻⁶) = 3,386 Ω

المعاوقة

على التوالي تُجمع المعاوقات كأعداد مركّبة: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (122,3)²) = 132,1 Ω

زاوية الطور

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(122,3/50) = 67,76°

الإجابة

φ = 67,76°
4.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: I = 0,5732 A

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

المفاعلة

XC = 1/(2π·100·4,7·10⁻⁶) = 338,6 Ω

توصيلة التوازي

اضرب البسط والمقام في المرافق المركّب لفصل Zp إلى جزأين حقيقي وتخيّلي.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 125,4 − j55,55 Ω

المعاوقة الكلية

Z = 40 + 125,4 − j55,55 = 165,4 − j55,55 Ω
|Z| = √(165,4² + 55,55²) = 174,5 Ω

التيار

I = V/|Z| = 100/174,5 = 0,5732 A

الإجابة

I = 0,5732 A
5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: Q = 29,1 kvar

قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.

الزاوية

φ = arccos(0,75) = 41,41°, tan φ = 0,8819

القدرة غير الفعّالة

Q = P·tan φ = 33·0,8819 = 29,1 kvar

الإجابة

Q = 29,1 kvar
6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: QC = 4,213 kvar

قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

لا تتغيّر القدرة الفعلية P؛ تتغيّر فقط القدرة غير الفعّالة المسحوبة من الشبكة.

Q1 = P·tan φ1 = 10·tan(36,87°) = 7,5 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 10·tan(18,19°) = 3,287 kvar
QC = Q1 − Q2 = 4,213 kvar

الإجابة

QC = 4,213 kvar
7.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

الإجابة: BW = 72,34 kHz

معامل الجودة وعرض النطاق: في الدائرة الرنانة Q = 2π·(الطاقة المختزنة)/(الطاقة المفقودة في الدورة). في RLC على التوالي Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)؛ وفي RLC على التوازي Q = R/(ω0L) = R√(C/L). عرض النطاق بين ترددي نصف القدرة f1 وf2 (حيث تكون القدرة النصف والتيار أو الجهد 1/√2 من ذروته) هو BW = f2 − f1 = f0/Q، ويساوي R/(2πL) على التوالي و1/(2πRC) على التوازي. تردد الرنين هو الوسط الهندسي f0 = √(f1f2)، وf1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). تجعل الفواقد التذبذب يتضاءل أيضًا: في RLC على التوالي تتناقص السعة كـ e−Rt/(2L).

عرض النطاق بوحدة rad/s

R/L = 10/2,2 × 10⁻⁵ = 454545 rad/s

عرض النطاق بوحدة Hz

BW = 454545/(2π) = 72343 Hz = 72,34 kHz

الإجابة

BW = 72,34 kHz

مع f₀ = 723,4 kHz يعطي ذلك Q = 10.

8.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

الإجابة: RD = 2,2 kΩ

معامل الجودة وعرض النطاق: في الدائرة الرنانة Q = 2π·(الطاقة المختزنة)/(الطاقة المفقودة في الدورة). في RLC على التوالي Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)؛ وفي RLC على التوازي Q = R/(ω0L) = R√(C/L). عرض النطاق بين ترددي نصف القدرة f1 وf2 (حيث تكون القدرة النصف والتيار أو الجهد 1/√2 من ذروته) هو BW = f2 − f1 = f0/Q، ويساوي R/(2πL) على التوالي و1/(2πRC) على التوازي. تردد الرنين هو الوسط الهندسي f0 = √(f1f2)، وf1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). تجعل الفواقد التذبذب يتضاءل أيضًا: في RLC على التوالي تتناقص السعة كـ e−Rt/(2L).

المقاومة الديناميكية

RD = 2,2 × 10⁻⁵/(1 × 10⁻⁹·10) = 2200 Ω = 2,2 kΩ

تحقق باستخدام Q

Q = (1/r)·√(L/C) = 14,83, Q²·r = 2200 Ω

الإجابة

RD = 2,2 kΩ
9.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: P = 3,2 kW

النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، VL = √3·Vph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، IL = √3·Iph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

جهد الطور

Vph = 400/√3 = 230,9 V

تيار الطور

|Z| = √(18² + 24²) = 30 Ω
Iph = 230,9/30 = 7,698 A

القدرة الفعّالة الكلية

الجزء المقاومي فقط من كل ممانعة يمتصّ القدرة الفعّالة.

P = 3·Iph²·R = 3·7,698²·18 = 3,2 kW

الإجابة

P = 3,2 kW

تحقّق: cos φ = R/|Z| = 0,6، و √3·VL·IL·cos φ يعطي القدرة نفسها.

10.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: Cph = 993,7 µF

النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، VL = √3·Vph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، IL = √3·Iph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. تحسين معامل القدرة: تقدّم المكثّفات القدرة غير الفعّالة محليًا، QC = P·(tan φ1 − tan φ2). يقدّم كل مكثّف من المكثّفات الثلاثة QC/3 = V²·ω·C، حيث V الجهد على ذلك المكثّف: VL في مجموعة Δ، و VL/√3 في مجموعة Y.

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

القدرة الفعّالة لا تتغيّر، لذا يحدّد كل معامل قدرة القدرة غير الفعّالة: Q = P·tan φ.

Q1 = 200·tan(acos 0,65) = 200·1,169 = 233,8 kvar
Q2 = 200·tan(acos 0,92) = 200·0,426 = 85,2 kvar

القدرة غير الفعّالة من المكثّفات

QC = Q1 − Q2 = 148,6 kvar

السعة لكل طور

في مجموعة Y يوصل كل مكثّف بين خط ونقطة النجمة.

V = 690/√3 = 398,4 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 49542/(314,2·398,4²) = 993,7 µF

الإجابة

Cph = 993,7 µF
11.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: vR = 5,02 V

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

الثابت الزمني

τ = L/R = 10 mH / 15 Ω = 0,6667 ms

تناقص التيار

i(t) = 1,5·e−1/0,6667 = 0,3347 A
vR = R·i = 15·0,3347 = 5,02 V

الإجابة

vR = 5,02 V
12.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: R = 0,1086 kΩ

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

الثابت الزمني المطلوب

10,8 = 12·(1 − e−25/τ) → τ = 25/ln(12/(12 − 10,8))
τ = 25/2,303 = 10,86 ms

المقاومة

kΩ مضروبة في µF تعطي ميلي ثانية.

R = τ/C = 10,86/100 = 0,1086 kΩ

الإجابة

R = 0,1086 kΩ
13.ثيفنن ونورتن

الإجابة: IN = 0,5769 A

نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد Vth على التوالي مع مقاومة Rth. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار IN = Vth/Rth على التوازي مع Rth.

R1​ = 8 ΩR3​ = 10 ΩقصرR2​10 ΩAabRth​

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R1 ∥ R2 = 8·10/(8+10) = 4,444 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4,444 + 10 = 14,44 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​15 VR2​10 ΩAab+−Vth​

أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة

عندما يكون a–b مفتوحًا لا يمرّ تيار في R₃، فلا هبوط عليه و V_b = V_A. يشكّل R₁ و R₂ مقسّم جهد.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 15·10/(8+10) = 8,333 V
IN​0,5769 ARth​14,44 Ωab

مكافئ نورتن

مصدر نورتن هو الدائرة نفسها منظورًا إليها كمصدر تيار على التوازي مع R_th. تياره هو تيار القصر بين a–b.

IN = Vth/Rth = 8,333/14,44 = 0,5769 A
14.ثيفنن ونورتن

الإجابة: IN = 4,278 A

نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد Vth على التوالي مع مقاومة Rth. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار IN = Vth/Rth على التوازي مع Rth.

R1​ = 4 ΩR3​ = 25 ΩقصرR2​4 ΩAمفتوحBabRth​

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R1 ∥ R2 = 4·4/(4+4) = 2 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2 + 25 = 27 Ω
R1​ = 4 ΩR3​ = 25 Ω+−V1​15 VR2​4 ΩAIs​4 ABab+−Vth​

أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة

عندما يكون a–b مفتوحًا، المسار الوحيد لـ Iₛ هو عبر R₃ إلى العقدة A. أوجد V_A بتراكب V₁ و Iₛ، ثم أضف الهبوط على R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 7,5 + 4·2 = 15,5 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 15,5 + 4·25 = 115,5 V
IN​4,278 ARth​27 Ωab

مكافئ نورتن

مصدر نورتن هو الدائرة نفسها منظورًا إليها كمصدر تيار على التوازي مع R_th. تياره هو تيار القصر بين a–b.

IN = Vth/Rth = 115,5/27 = 4,278 A
15.مخططات بودي والهوامش

الإجابة: BW = 7,958 Hz

الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ωc = 1/(RC) أو R/L، وfc = ωc/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) وφ = −atan(ω/ωc). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jωc). تردد تقاطع الطور ω180: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.

تردد الرنين

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,1·4,7 × 10⁻⁶) = 1459 rad/s
f₀ = ω₀/(2π) = 232,2 Hz

عرض النطاق

BW = R/L = 5/0,1 = 50 rad/s = 7,958 Hz

الإجابة

BW = 7,958 Hz
16.مخططات بودي والهوامش

الإجابة: GM = 2,976 dB

الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ωc = 1/(RC) أو R/L، وfc = ωc/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) وφ = −atan(ω/ωc). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jωc). تردد تقاطع الطور ω180: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.

تقاطع الطور

(ω/3)·(ω/9) = 1 → ω180 = √(3·9) = 5,196 rad/s

المقدار عند تقاطع الطور

|L(jω180)| = K/(ω·√(ω² + 9)·√(ω² + 81)) = K/(3·9·(3 + 9)) = K/324

هامش الكسب

GM = 20·log₁₀(324/230) = 2,976 dB

الإجابة

GM = 2,976 dB

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2