حدد هل الدائرة على التوالي أم على التوازي: على التوالي Q = (1/R)√(L/C)، وعلى التوازي Q = R√(C/L).
استخدم BW = f₀/Q لعرض النطاق، أو الصيغتين المختصرتين R/(2πL) (توالٍ) و1/(2πRC) (توازٍ).
في أسئلة الطاقة، استخدم أن الطاقة الكلية ½CV₀² تبقى ثابتة في دائرة LC المثالية وتتنقل بين C وL كل ربع دورة.
القدرة ثلاثية الطور
توصيل نجمة (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
توصيل دلتا (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
القدرة الفعّالة الكلية
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
القدرة الظاهرية والقدرة غير الفعّالة
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
مكثّفات التصحيح
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
الجهد على كل مكثّف
Δ: VL Y: VL/√3
قدرة دخل المحرّك
Pin = Pout/η
الحالات العابرة RC و RL
الثابت الزمني
τ = RC | τ = L/R
الاستجابة
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
المكثّف في التيار المستمر
دائرة مفتوحة؛ لا يمكن أن يقفز vC
الملف في التيار المستمر
قصر؛ لا يمكن أن يقفز iL
الحالة المستقرة
t ≈ 5τ
الطريقة
أوجد القيمة الابتدائية مباشرة بعد التبديل: جهد المكثّف وتيار الملف لا يقفزان.
أوجد القيمة النهائية بعد التبديل بزمن طويل: يتصرّف المكثّف كدائرة مفتوحة، والملف كقصر.
أوجد الثابت الزمني: τ = RC أو τ = L/R، باستخدام المقاومة التي يراها المكثّف أو الملف.
استخدم x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
ثيفنن ونورتن
جهد ثيفنن
Vth = Vopen circuit
مقاومة ثيفنن
Rth: كل المصادر مُطفأة، منظورًا إليها من a–b
تيار نورتن
IN = Vth/Rth
تيار الحِمل
IL = Vth/(Rth + RL)
أقصى نقل للقدرة
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
الطريقة
أزل الحِمل وعلّم الطرفين a و b.
أوجد جهد الدائرة المفتوحة بين a و b: هذا هو Vth.
أطفئ كل المصادر المستقلة وأوجد المقاومة المرئية من a–b: هذه هي Rth.
أعد الحِمل إلى الدائرة المكافئة: Vth على التوالي مع Rth.
لمكافئ نورتن، حوّل: IN = Vth/Rth، مع RN = Rth على التوازي.
2مسائل تدريبية
1.الأعداد المركبةمتوسطة
اكتب z = 2∠35° بالصيغة الديكارتية a + jb وأعطِ الجزء التخيلي b.
r = 2θ = 35°
b =
2.الأعداد المركبةصعبة
نقطة واحدة بالضبط من النقاط A–D هي جذر للمعادلة z⁶ = 64∠−90°. انقر عليها.
w = 64∠−90°n = 6
1A (1∠−135°)
2B (2∠−90°)
3C (2∠135°)
4D (2∠−135°)
3.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة
مقاومة وملف موصولان على التوازي على مصدر 100 V (فعّال)، 100 Hz. أوجد مقدار المعاوقة |Z|.
V = 100 V (rms)f = 100 HzR = 50 ΩL = 150 mH
|Z| = Ω
4.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة
دائرة RLC على التوالي لها R = 15 Ω و L = 20 mH و C = 0,1 µF. أوجد معامل الجودة Q لها عند الرنين.
R = 15 ΩL = 20 mHC = 0,1 µF
Q =
5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةمتوسطة
يستهلك محرّك أحادي الطور 24 kW بمعامل قدرة 0,9 متأخّر من مصدر 230 V. أوجد تيار الخط I.
P = 24 kWpf = 0,9V = 230 V
I = A
6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةصعبة
يأخذ حِمل أحادي الطور 12 kW بمعامل قدرة 0,75 متأخّر من مصدر 230 V، 50 Hz. يُوصل مكثّف سعته 68 µF على التوازي مع الحِمل. أوجد معامل القدرة الجديد cos φ الذي يراه المصدر.
P = 12 kWpf1 = 0,75V = 230 Vf = 50 HzC = 68 µF
cos φ =
7.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقمتوسطة
ترنّ دائرة RLC على التوالي عند 500 kHz مع Q = 5. أوجد تردد نصف القدرة الأدنى f1 بدقة، بوحدة kHz.
f0 = 500 kHzQ = 5
f1 = kHz
8.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقصعبة
صمّم مرشح RLC على التوالي بمقاومة كلية 20 Ω وتردد رنين 500 kHz وعرض نطاق 50 kHz. أوجد السعة C بوحدة nF.
R = 20 Ωf0 = 500 kHzBW = 50 kHz
C = nF
9.القدرة ثلاثية الطورمتوسطة
حمل ثلاثي الطور متوازن يسحب تيار خط مقداره 12 A من مصدر جهد خطه 415 V. معامل القدرة 0,85 متأخر. أوجد القدرة الفعّالة الكلية P التي يسحبها الحمل بالـ kW.
VL = 415 VIL = 12 Acos φ = 0,85
P = kW
10.القدرة ثلاثية الطورصعبة
حمل ثلاثي الطور متوازن يأخذ 200 kW عند معامل قدرة 0,72 متأخر من مصدر 415 V (جهد خط) و 60 Hz. يجب أن ترفع مجموعة مكثّفات ثلاثية الطور موصولة على التوازي مع الحمل معامل القدرة الكلي إلى 0,95 متأخر. تبقى القدرة الفعّالة كما هي. المكثّفات موصولة نجمة (Y). أوجد السعة Cph لكل مكثّف بالـ µF.
P = 200 kWpf1 = 0,72pf2 = 0,95VL = 415 Vf = 60 Hz
Cph = µF
11.الحالات العابرة RC و RLمتوسطة
يحمل الملف تيارًا مستقرًا 0,5 A. عند t = 0 يغلق المفتاح الحلقة عبر R ويُزال المصدر، فيتناقص تيار الملف عبر R. كم يستغرق التيار لينخفض إلى 0,125 A؟ أوجد t.
i(0) = 0,5 AR = 15 ΩL = 33 mH
t = ms
12.الحالات العابرة RC و RLصعبة
قبل إغلاق المفتاح عند t = 0 مباشرة، يكون جهد المكثّف 5 V بالقطبية الموضّحة. كم يستغرق vC ليبلغ 12 V؟ أوجد t.
Vs = 15 VR = 2,2 kΩC = 22 µFvC(0) = 5 V
t = ms
13.ثيفنن ونورتنمتوسطة
أوجد تيار نورتن IN: التيار الذي يسري من a إلى b إذا قُصر الطرفان.
V1 = 15 VR1 = 12 ΩR2 = 2 ΩR3 = 2 Ω
IN = A
14.ثيفنن ونورتنصعبة
أوجد جهد ثيفنن Vth المرئي من الطرفين a–b.
V1 = 5 VIs = 0,5 AR1 = 12 ΩR2 = 6 ΩR3 = 2 Ω
Vth = V
15.مخططات بودي والهوامشمتوسطة
أوجد الطور ∠G(jω) لـ G(s) = 43(s + 19)/(s(s + 1)) عند ω = 10 rad/s، بالدرجات.
الصيغة القطبية: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ، حيث r = |z| و θ = arg z. والعودة إلى الصيغة الديكارتية: a = r cos θ، b = r sin θ. تحتاج السعة إلى الربع: θ = atan(b/a) فقط عندما a > 0؛ وعندما a < 0 أضف 180° أو اطرحها. في الصيغة القطبية الضرب سهل: اضرب الطويلتين واجمع السعتين؛ وللقسمة اقسم الطويلتين واطرح السعتين.
المركّبات
a = 2·cos(35°) = 1,638
b = 2·sin(35°) = 1,147
الصيغة الديكارتية
z = 1,638 + j1,147
b = 1,147
الإجابة
b = 1,147
2.الأعداد المركبة
الإجابة: D (2∠−135°)
دي موافر والجذور: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. للمعادلة zⁿ = R∠φ بالضبط n جذرًا، كلها بطويلة R1/n، عند السعات (φ + 360°·k)/n لـ k = 0, 1, …, n − 1: تقع متباعدة بانتظام على دائرة، بفارق 360°/n. للمعادلة التربيعية z² + pz + q = 0 مع p² < 4q جذران مركبان z = −p/2 ± j√(q − p²/4)؛ وكثير الحدود ذو المعاملات الحقيقية تأتي جذوره المركبة دائمًا في أزواج مترافقة a ± jb.
طويلة الجذور وسعاتها
|z| = 2
θ = −15°, 45°, 105°, 165°, −135°, −75°
النقطة
D = 2∠−135°
الإجابة
D (2∠−135°)
3.معاوقة التيار المتردد والطوريات
الإجابة: |Z| = 44,17 Ω
دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.
المفاعلة
XL = ωL = 2π·100·0,15 = 94,25 Ω
تيارات الفروع
الفرعان موصولان مباشرةً على طرفي المصدر، لذا يرى كل منهما الجهد الكامل V.
IR = V/R = 100/50 = 2 A
IX = V/XL = 100/94,25 = 1,061 A
التيار الكلي
تيار المقاومة متّفق في الطور مع V والتيار المفاعل مُزاح بـ 90°، لذا يُجمعان كضلعي مثلث قائم.
I = √(IR² + IX²) = √(2² + 1,061²) = 2,264 A
المعاوقة
|Z| = V/I = 100/2,264 = 44,17 Ω
الإجابة
|Z| = 44,17 Ω
4.معاوقة التيار المتردد والطوريات
الإجابة: Q = 29,81
دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.
قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.
تيار الخط
الجزء الفعلي من القدرة فقط يؤدّي الشغل، لذا اقسم على معامل القدرة.
I = P/(V·cos φ) = 24000/(230·0,9) = 115,9 A
الإجابة
I = 115,9 A
6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة
الإجابة: cos φ = 0,7855
قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.
القدرة غير الفعّالة قبل وبعد
لا تتغيّر القدرة الفعلية P؛ تتغيّر فقط القدرة غير الفعّالة المسحوبة من الشبكة.
Q1 = 12·tan(arccos 0,75) = 10,58 kvar
QC = V²·2πf·C = 230²·2π·50·68·10⁻⁶ = 1130 var = 1,13 kvar
Q2 = 10,58 − 1,13 = 9,453 kvar
القدرة الظاهرية الجديدة
S2 = √(12² + 9,453²) = 15,28 kVA
معامل القدرة الجديد
cos φ = P/S2 = 12/15,28 = 0,7855
الإجابة
cos φ = 0,7855
7.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق
الإجابة: f1 = 452,5 kHz
معامل الجودة وعرض النطاق: في الدائرة الرنانة Q = 2π·(الطاقة المختزنة)/(الطاقة المفقودة في الدورة). في RLC على التوالي Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)؛ وفي RLC على التوازي Q = R/(ω0L) = R√(C/L). عرض النطاق بين ترددي نصف القدرة f1 وf2 (حيث تكون القدرة النصف والتيار أو الجهد 1/√2 من ذروته) هو BW = f2 − f1 = f0/Q، ويساوي R/(2πL) على التوالي و1/(2πRC) على التوازي. تردد الرنين هو الوسط الهندسي f0 = √(f1f2)، وf1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). تجعل الفواقد التذبذب يتضاءل أيضًا: في RLC على التوالي تتناقص السعة كـ e−Rt/(2L).
حدّ الجذر التربيعي
√(1 + 1/(4·5²)) = 1,005
تردد نصف القدرة الأدنى
f1 = 500000·(1,005 − 0,1) = 452494 Hz = 452,5 kHz
الإجابة
f1 = 452,5 kHz
التردد الأعلى هو f₂ = 552,5 kHz؛ تحقق: f₂ − f₁ = 100 kHz = f₀/Q.
8.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق
الإجابة: C = 1,592 nF
معامل الجودة وعرض النطاق: في الدائرة الرنانة Q = 2π·(الطاقة المختزنة)/(الطاقة المفقودة في الدورة). في RLC على التوالي Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)؛ وفي RLC على التوازي Q = R/(ω0L) = R√(C/L). عرض النطاق بين ترددي نصف القدرة f1 وf2 (حيث تكون القدرة النصف والتيار أو الجهد 1/√2 من ذروته) هو BW = f2 − f1 = f0/Q، ويساوي R/(2πL) على التوالي و1/(2πRC) على التوازي. تردد الرنين هو الوسط الهندسي f0 = √(f1f2)، وf1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). تجعل الفواقد التذبذب يتضاءل أيضًا: في RLC على التوالي تتناقص السعة كـ e−Rt/(2L).
الحثية من عرض النطاق
L = R/(2π·BW) = 20/(2π·50000) = 6,366 × 10⁻⁵ H
السعة من تردد الرنين
C = 1/((2π·500000)²·6,366 × 10⁻⁵) = 1,592 × 10⁻⁹ F = 1,592 nF
الإجابة
C = 1,592 nF
Q = f₀/BW = 10.
9.القدرة ثلاثية الطور
الإجابة: P = 7,332 kW
النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، VL = √3·Vph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، IL = √3·Iph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
القدرة الظاهرية
S = √3·VL·IL = √3·415·12 = 8,626 kVA
القدرة الفعلية
P = S·cos φ = 8,626·0,85 = 7,332 kW
الإجابة
P = 7,332 kW
10.القدرة ثلاثية الطور
الإجابة: Cph = 1957 µF
النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، VL = √3·Vph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، IL = √3·Iph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. تحسين معامل القدرة: تقدّم المكثّفات القدرة غير الفعّالة محليًا، QC = P·(tan φ1 − tan φ2). يقدّم كل مكثّف من المكثّفات الثلاثة QC/3 = V²·ω·C، حيث V الجهد على ذلك المكثّف: VL في مجموعة Δ، و VL/√3 في مجموعة Y.
القدرة غير الفعّالة قبل وبعد
القدرة الفعّالة لا تتغيّر، لذا يحدّد كل معامل قدرة القدرة غير الفعّالة: Q = P·tan φ.
الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.
الثابت الزمني
τ = L/R = 33 mH / 15 Ω = 2,2 ms
حلّ لإيجاد الزمن
0,125 = 0,5·e−t/τ → t = τ·ln(0,5/0,125)
t = 2,2·ln(4) = 3,05 ms
الإجابة
t = 3,05 ms
12.الحالات العابرة RC و RL
الإجابة: t = 58,27 ms
الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.
القيمة الابتدائية، القيمة النهائية، الثابت الزمني
لا يمكن لجهد المكثّف أن يقفز، لذا يبدأ من قيمته المخزّنة ويتّجه نحو جهد المصدر.
t = τ·ln((5 − 15)/(12 − 15)) = 48,4·ln(3,333) = 58,27 ms
الإجابة
t = 58,27 ms
13.ثيفنن ونورتن
الإجابة: IN = 0,5769 A
نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد Vth على التوالي مع مقاومة Rth. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار IN = Vth/Rth على التوازي مع Rth.
أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر
استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.
R1 ∥ R2 = 12·2/(12+2) = 1,714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,714 + 2 = 3,714 Ω
أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة
عندما يكون a–b مفتوحًا لا يمرّ تيار في R₃، فلا هبوط عليه و V_b = V_A. يشكّل R₁ و R₂ مقسّم جهد.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 15·2/(12+2) = 2,143 V
مكافئ نورتن
مصدر نورتن هو الدائرة نفسها منظورًا إليها كمصدر تيار على التوازي مع R_th. تياره هو تيار القصر بين a–b.
IN = Vth/Rth = 2,143/3,714 = 0,5769 A
14.ثيفنن ونورتن
الإجابة: Vth = −1,333 V
نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد Vth على التوالي مع مقاومة Rth. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار IN = Vth/Rth على التوازي مع Rth.
أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر
استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.
R1 ∥ R2 = 12·6/(12+6) = 4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4 + 2 = 6 Ω
أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة
عندما يكون a–b مفتوحًا، المسار الوحيد لـ Iₛ هو عبر R₃ إلى العقدة A. أوجد V_A بتراكب V₁ و Iₛ، ثم أضف الهبوط على R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 1,667 + (−0,5)·4 = −0,3333 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −0,3333 + (−0,5)·2 = −1,333 V
15.مخططات بودي والهوامش
الإجابة: ∠G(jω) = −146,5 °
الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ωc = 1/(RC) أو R/L، وfc = ωc/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) وφ = −atan(ω/ωc). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jωc). تردد تقاطع الطور ω180: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.
الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ωc = 1/(RC) أو R/L، وfc = ωc/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) وφ = −atan(ω/ωc). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jωc). تردد تقاطع الطور ω180: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.