حدد هل الدائرة على التوالي أم على التوازي: على التوالي Q = (1/R)√(L/C)، وعلى التوازي Q = R√(C/L).
استخدم BW = f₀/Q لعرض النطاق، أو الصيغتين المختصرتين R/(2πL) (توالٍ) و1/(2πRC) (توازٍ).
في أسئلة الطاقة، استخدم أن الطاقة الكلية ½CV₀² تبقى ثابتة في دائرة LC المثالية وتتنقل بين C وL كل ربع دورة.
القدرة ثلاثية الطور
توصيل نجمة (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
توصيل دلتا (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
القدرة الفعّالة الكلية
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
القدرة الظاهرية والقدرة غير الفعّالة
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
مكثّفات التصحيح
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
الجهد على كل مكثّف
Δ: VL Y: VL/√3
قدرة دخل المحرّك
Pin = Pout/η
الحالات العابرة RC و RL
الثابت الزمني
τ = RC | τ = L/R
الاستجابة
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
المكثّف في التيار المستمر
دائرة مفتوحة؛ لا يمكن أن يقفز vC
الملف في التيار المستمر
قصر؛ لا يمكن أن يقفز iL
الحالة المستقرة
t ≈ 5τ
الطريقة
أوجد القيمة الابتدائية مباشرة بعد التبديل: جهد المكثّف وتيار الملف لا يقفزان.
أوجد القيمة النهائية بعد التبديل بزمن طويل: يتصرّف المكثّف كدائرة مفتوحة، والملف كقصر.
أوجد الثابت الزمني: τ = RC أو τ = L/R، باستخدام المقاومة التي يراها المكثّف أو الملف.
استخدم x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
ثيفنن ونورتن
جهد ثيفنن
Vth = Vopen circuit
مقاومة ثيفنن
Rth: كل المصادر مُطفأة، منظورًا إليها من a–b
تيار نورتن
IN = Vth/Rth
تيار الحِمل
IL = Vth/(Rth + RL)
أقصى نقل للقدرة
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
الطريقة
أزل الحِمل وعلّم الطرفين a و b.
أوجد جهد الدائرة المفتوحة بين a و b: هذا هو Vth.
أطفئ كل المصادر المستقلة وأوجد المقاومة المرئية من a–b: هذه هي Rth.
أعد الحِمل إلى الدائرة المكافئة: Vth على التوالي مع Rth.
لمكافئ نورتن، حوّل: IN = Vth/Rth، مع RN = Rth على التوازي.
2مسائل تدريبية
1.الأعداد المركبةمتوسطة
يُظهر المخطط z = −1 + j2. مع w = 2∠−90°، انقر على النقطة التي تمثل z·w.
z = −1 + j2w = 2∠−90°
1A (−2 + j4)
2B (2 + j)
3C (4 + j2)
4D (−4 − j2)
2.الأعداد المركبةصعبة
نقطة واحدة بالضبط من النقاط A–D هي جذر للمعادلة z⁴ = 81∠90°. انقر عليها.
w = 81∠90°n = 4
1A (5,4∠−22,5°)
2B (3∠−67,5°)
3C (3∠90°)
4D (3∠−22,5°)
3.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة
دائرة RLC على التوالي مع C = 2,2 µF يجب أن ترنّ عند 2000 Hz. أوجد المحاثة L المطلوبة.
f0 = 2000 HzC = 2,2 µF
L = mH
4.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة
دائرة RLC على التوالي لها R = 10 Ω و L = 100 mH و C = 1 µF. أوجد معامل الجودة Q لها عند الرنين.
R = 10 ΩL = 100 mHC = 1 µF
Q =
5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةمتوسطة
يستهلك محرّك أحادي الطور 22 kW بمعامل قدرة 0,6 متأخّر من مصدر 230 V. أوجد القدرة غير الفعّالة Q التي يسحبها.
P = 22 kWpf = 0,6V = 230 V
Q = kvar
6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةصعبة
يستهلك حِمل أحادي الطور 30 kW بمعامل قدرة 0,65 متأخّر من مصدر 400 V، 60 Hz. يرفع مكثّف موصول على التوازي معامل القدرة إلى 0,98. أوجد السعة C اللازمة.
P = 30 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,98V = 400 Vf = 60 Hz
C = µF
7.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقمتوسطة
في دائرة LC مثالية فيها L = 47 mH وC = 100 pF، يكون المكثف مشحونًا بالكامل عند t = 0. كم يمضي من الزمن حتى تصبح كل الطاقة في الملف؟ أعط t بوحدة µs.
L = 47 mHC = 100 pF
t = µs
8.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقصعبة
تستخدم دائرة رنين على التوالي ملفًا حثّيًا 22 mH. أي مقاومة توالٍ كلية R تعطي عرض نطاق 500 Hz؟
L = 22 mHBW = 500 Hz
R = Ω
9.القدرة ثلاثية الطورمتوسطة
حمل متوازن موصول Y ممانعته 5 + j12 Ω لكل طور موصول بمصدر ثلاثي الطور متوازن جهد خطه 415 V. أوجد القدرة الفعّالة الكلية P التي يمتصّها الحمل بالـ kW.
VL = 415 VZ = 5 + j12 Ω لكل طور
P = kW
10.القدرة ثلاثية الطورصعبة
حمل ثلاثي الطور متوازن يأخذ 50 kW عند معامل قدرة 0,75 متأخر من مصدر 480 V (جهد خط) و 50 Hz. يجب أن ترفع مجموعة مكثّفات ثلاثية الطور موصولة على التوازي مع الحمل معامل القدرة الكلي إلى 0,98 متأخر. تبقى القدرة الفعّالة كما هي. أوجد القدرة غير الفعّالة الكلية QC التي يجب أن تقدّمها مجموعة المكثّفات، بالـ kvar.
P = 50 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,98VL = 480 Vf = 50 Hz
QC = kvar
11.الحالات العابرة RC و RLمتوسطة
لا يمرّ تيار في الملف قبل أن يُغلق المفتاح عند t = 0. أوجد التيار i عند t = 10 ms.
Vs = 6 VR = 50 ΩL = 220 mHt = 10 ms
i = A
12.الحالات العابرة RC و RLصعبة
يبدأ مؤقّت بشحن مكثّف غير مشحون عبر مقاومة من مصدر 15 V عند t = 0. يجب أن يُطلق عندما يبلغ جهد المكثّف 12 V، بعد 200 ms بالضبط من البداية. مع C = 4,7 µF، أوجد المقاومة R المطلوبة.
Vs = 15 VVth = 12 VT = 200 msC = 4,7 µF
R = kΩ
13.ثيفنن ونورتنمتوسطة
وُصل حِمل RL = 6 Ω بين a–b. استبدل بقية الدائرة بمكافئ ثيفنن وأوجد تيار الحِمل IL.
V1 = 24 VR1 = 20 ΩR2 = 2 ΩR3 = 12 ΩRL = 6 Ω
IL = A
14.ثيفنن ونورتنصعبة
أوجد تيار نورتن IN: التيار الذي يسري من a إلى b إذا قُصر الطرفان.
V1 = 36 VIs = 3 AR1 = 6 ΩR2 = 10 ΩR3 = 30 Ω
IN = A
15.مخططات بودي والهوامشمتوسطة
في مرشح تمرير النطاق RLC على التسلسل الموضح، يؤخذ الخرج على R = 20 Ω، مع L = 10 mH وC = 4,7 µF. أوجد معامل الجودة Q.
الصيغة القطبية: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ، حيث r = |z| و θ = arg z. والعودة إلى الصيغة الديكارتية: a = r cos θ، b = r sin θ. تحتاج السعة إلى الربع: θ = atan(b/a) فقط عندما a > 0؛ وعندما a < 0 أضف 180° أو اطرحها. في الصيغة القطبية الضرب سهل: اضرب الطويلتين واجمع السعتين؛ وللقسمة اقسم الطويلتين واطرح السعتين.
أثر w
|z·w| = 2·|z|, arg(z·w) = arg z + (−90)°
النقطة
z·w = 4 + j2 → C
الإجابة
C (4 + j2)
2.الأعداد المركبة
الإجابة: B (3∠−67,5°)
دي موافر والجذور: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. للمعادلة zⁿ = R∠φ بالضبط n جذرًا، كلها بطويلة R1/n، عند السعات (φ + 360°·k)/n لـ k = 0, 1, …, n − 1: تقع متباعدة بانتظام على دائرة، بفارق 360°/n. للمعادلة التربيعية z² + pz + q = 0 مع p² < 4q جذران مركبان z = −p/2 ± j√(q − p²/4)؛ وكثير الحدود ذو المعاملات الحقيقية تأتي جذوره المركبة دائمًا في أزواج مترافقة a ± jb.
طويلة الجذور وسعاتها
|z| = 3
θ = 22,5°, 112,5°, −157,5°, −67,5°
النقطة
B = 3∠−67,5°
الإجابة
B (3∠−67,5°)
3.معاوقة التيار المتردد والطوريات
الإجابة: L = 2,878 mH
دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.
شرط الرنين
عند الرنين تُلغي المفاعلتان الحثية والسعوية بعضهما: ωL = 1/(ωC).
ω₀ = 2π·2000 = 12566 rad/s
L = 1/(ω₀²·C) = 1/(12566²·2,2·10⁻⁶) = 2,878 mH
الإجابة
L = 2,878 mH
4.معاوقة التيار المتردد والطوريات
الإجابة: Q = 31,62
دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.
تردد الرنين
f0 = 1/(2π·√(0,1·1·10⁻⁶)) = 503,3 Hz
معامل الجودة
Q يقارن المفاعلة عند الرنين بالمقاومة: Q = ω₀L/R.
Q = (1/R)·√(L/C) = (1/10)·√(0,1/(1·10⁻⁶)) = 31,62
الإجابة
Q = 31,62
5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة
الإجابة: Q = 29,33 kvar
قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.
الزاوية
φ = arccos(0,6) = 53,13°, tan φ = 1,333
القدرة غير الفعّالة
Q = P·tan φ = 22·1,333 = 29,33 kvar
الإجابة
Q = 29,33 kvar
6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة
الإجابة: C = 480,5 µF
قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.
القدرة غير الفعّالة قبل وبعد
لا تتغيّر القدرة الفعلية P؛ تتغيّر فقط القدرة غير الفعّالة المسحوبة من الشبكة.
Q1 = P·tan φ1 = 30·tan(49,46°) = 35,07 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 30·tan(11,48°) = 6,092 kvar
QC = Q1 − Q2 = 28,98 kvar
السعة
المكثّف الموصول على المصدر يزوّد Q = V²·ωC.
C = QC/(2πf·V²) = 28982/(2π·60·400²) = 480,5 µF
الإجابة
C = 480,5 µF
7.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق
الإجابة: t = 3,405 µs
رنين LC: المكثف المشحون الموصول بملف حثّي يدفع تيارًا يشحنه في الاتجاه المعاكس: تتأرجح الطاقة بين المجال الكهربائي للمكثف C (½Cv²) والمجال المغناطيسي للملف L (½Li²) عند التردد الطبيعي f0 = 1/(2π√(LC)). وبدون مقاومة تبقى الطاقة الكلية ½CV0² ثابتة، فيكون التيار الأقصى Imax = V0√(C/L). الدورة الواحدة T = 1/f0؛ وتنتقل الطاقة من C إلى L في ربعها.
الزمن الدوري
T = 2π√(0,047·1 × 10⁻¹⁰) = 13,62 µs
ربع الدورة
t = T/4 = 3,405 µs
الإجابة
t = 3,405 µs
8.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق
الإجابة: R = 69,12 Ω
معامل الجودة وعرض النطاق: في الدائرة الرنانة Q = 2π·(الطاقة المختزنة)/(الطاقة المفقودة في الدورة). في RLC على التوالي Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)؛ وفي RLC على التوازي Q = R/(ω0L) = R√(C/L). عرض النطاق بين ترددي نصف القدرة f1 وf2 (حيث تكون القدرة النصف والتيار أو الجهد 1/√2 من ذروته) هو BW = f2 − f1 = f0/Q، ويساوي R/(2πL) على التوالي و1/(2πRC) على التوازي. تردد الرنين هو الوسط الهندسي f0 = √(f1f2)، وf1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). تجعل الفواقد التذبذب يتضاءل أيضًا: في RLC على التوالي تتناقص السعة كـ e−Rt/(2L).
عرض النطاق على التوالي
BW = R/(2πL)
المقاومة
R = 2π·0,022·500 = 69,12 Ω
الإجابة
R = 69,12 Ω
9.القدرة ثلاثية الطور
الإجابة: P = 5,095 kW
النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، VL = √3·Vph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، IL = √3·Iph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
جهد الطور
Vph = 415/√3 = 239,6 V
تيار الطور
|Z| = √(5² + 12²) = 13 Ω
Iph = 239,6/13 = 18,43 A
القدرة الفعّالة الكلية
الجزء المقاومي فقط من كل ممانعة يمتصّ القدرة الفعّالة.
P = 3·Iph²·R = 3·18,43²·5 = 5,095 kW
الإجابة
P = 5,095 kW
تحقّق: cos φ = R/|Z| = 0,3846، و √3·VL·IL·cos φ يعطي القدرة نفسها.
10.القدرة ثلاثية الطور
الإجابة: QC = 33,94 kvar
النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، VL = √3·Vph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، IL = √3·Iph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. تحسين معامل القدرة: تقدّم المكثّفات القدرة غير الفعّالة محليًا، QC = P·(tan φ1 − tan φ2). يقدّم كل مكثّف من المكثّفات الثلاثة QC/3 = V²·ω·C، حيث V الجهد على ذلك المكثّف: VL في مجموعة Δ، و VL/√3 في مجموعة Y.
القدرة غير الفعّالة قبل وبعد
القدرة الفعّالة لا تتغيّر، لذا يحدّد كل معامل قدرة القدرة غير الفعّالة: Q = P·tan φ.
Q1 = 50·tan(acos 0,75) = 50·0,8819 = 44,1 kvar
Q2 = 50·tan(acos 0,98) = 50·0,2031 = 10,15 kvar
القدرة غير الفعّالة من المكثّفات
QC = Q1 − Q2 = 33,94 kvar
الإجابة
QC = 33,94 kvar
11.الحالات العابرة RC و RL
الإجابة: i = 0,1076 A
الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.
الثابت الزمني والتيار النهائي
بعد إغلاق المفتاح بوقت طويل يتصرّف الملف كقصر، لذا يحدّد R وحده التيار النهائي.
الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.
الثابت الزمني المطلوب
12 = 15·(1 − e−200/τ) → τ = 200/ln(15/(15 − 12))
τ = 200/1,609 = 124,3 ms
المقاومة
kΩ مضروبة في µF تعطي ميلي ثانية.
R = τ/C = 124,3/4,7 = 26,44 kΩ
الإجابة
R = 26,44 kΩ
13.ثيفنن ونورتن
الإجابة: IL = 0,1101 A
نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد Vth على التوالي مع مقاومة Rth. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار IN = Vth/Rth على التوازي مع Rth.
أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر
استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.
R1 ∥ R2 = 20·2/(20+2) = 1,818 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,818 + 12 = 13,82 Ω
أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة
عندما يكون a–b مفتوحًا لا يمرّ تيار في R₃، فلا هبوط عليه و V_b = V_A. يشكّل R₁ و R₂ مقسّم جهد.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 24·2/(20+2) = 2,182 V
صِل الحِمل بمكافئ ثيفنن
يتصرّف مصدر ثيفنن و R_th على التوالي عند a–b تمامًا كالدائرة الأصلية، فيرى الحِمل حلقة توالٍ بسيطة.
IL = Vth/(Rth + RL) = 2,182/(13,82 + 6) = 0,1101 A
14.ثيفنن ونورتن
الإجابة: IN = −2,333 A
نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد Vth على التوالي مع مقاومة Rth. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار IN = Vth/Rth على التوازي مع Rth.
أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر
استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.
R1 ∥ R2 = 6·10/(6+10) = 3,75 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,75 + 30 = 33,75 Ω
أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة
عندما يكون a–b مفتوحًا، المسار الوحيد لـ Iₛ هو عبر R₃ إلى العقدة A. أوجد V_A بتراكب V₁ و Iₛ، ثم أضف الهبوط على R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 22,5 + (−3)·3,75 = 11,25 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 11,25 + (−3)·30 = −78,75 V
مكافئ نورتن
مصدر نورتن هو الدائرة نفسها منظورًا إليها كمصدر تيار على التوازي مع R_th. تياره هو تيار القصر بين a–b.
IN = Vth/Rth = −78,75/33,75 = −2,333 A
15.مخططات بودي والهوامش
الإجابة: Q = 2,306
الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ωc = 1/(RC) أو R/L، وfc = ωc/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) وφ = −atan(ω/ωc). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jωc). تردد تقاطع الطور ω180: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.
تردد الرنين
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,01·4,7 × 10⁻⁶) = 4613 rad/s
f₀ = ω₀/(2π) = 734,1 Hz
معامل الجودة
BW = R/L = 20/0,01 = 2000 rad/s = 318,3 Hz
Q = ω₀/BW = 4613/2000 = 2,306
الإجابة
Q = 2,306
16.مخططات بودي والهوامش
الإجابة: GM = 7,985 dB
الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ωc = 1/(RC) أو R/L، وfc = ωc/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) وφ = −atan(ω/ωc). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jωc). تردد تقاطع الطور ω180: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.