حدد هل الدائرة على التوالي أم على التوازي: على التوالي Q = (1/R)√(L/C)، وعلى التوازي Q = R√(C/L).
استخدم BW = f₀/Q لعرض النطاق، أو الصيغتين المختصرتين R/(2πL) (توالٍ) و1/(2πRC) (توازٍ).
في أسئلة الطاقة، استخدم أن الطاقة الكلية ½CV₀² تبقى ثابتة في دائرة LC المثالية وتتنقل بين C وL كل ربع دورة.
القدرة ثلاثية الطور
توصيل نجمة (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
توصيل دلتا (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
القدرة الفعّالة الكلية
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
القدرة الظاهرية والقدرة غير الفعّالة
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
مكثّفات التصحيح
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
الجهد على كل مكثّف
Δ: VL Y: VL/√3
قدرة دخل المحرّك
Pin = Pout/η
الحالات العابرة RC و RL
الثابت الزمني
τ = RC | τ = L/R
الاستجابة
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
المكثّف في التيار المستمر
دائرة مفتوحة؛ لا يمكن أن يقفز vC
الملف في التيار المستمر
قصر؛ لا يمكن أن يقفز iL
الحالة المستقرة
t ≈ 5τ
الطريقة
أوجد القيمة الابتدائية مباشرة بعد التبديل: جهد المكثّف وتيار الملف لا يقفزان.
أوجد القيمة النهائية بعد التبديل بزمن طويل: يتصرّف المكثّف كدائرة مفتوحة، والملف كقصر.
أوجد الثابت الزمني: τ = RC أو τ = L/R، باستخدام المقاومة التي يراها المكثّف أو الملف.
استخدم x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
ثيفنن ونورتن
جهد ثيفنن
Vth = Vopen circuit
مقاومة ثيفنن
Rth: كل المصادر مُطفأة، منظورًا إليها من a–b
تيار نورتن
IN = Vth/Rth
تيار الحِمل
IL = Vth/(Rth + RL)
أقصى نقل للقدرة
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
الطريقة
أزل الحِمل وعلّم الطرفين a و b.
أوجد جهد الدائرة المفتوحة بين a و b: هذا هو Vth.
أطفئ كل المصادر المستقلة وأوجد المقاومة المرئية من a–b: هذه هي Rth.
أعد الحِمل إلى الدائرة المكافئة: Vth على التوالي مع Rth.
لمكافئ نورتن، حوّل: IN = Vth/Rth، مع RN = Rth على التوازي.
2مسائل تدريبية
1.الأعداد المركبةمتوسطة
اكتب z = 5∠−155° بالصيغة الديكارتية a + jb وأعطِ الجزء التخيلي b.
r = 5θ = −155°
b =
2.الأعداد المركبةصعبة
نقطة واحدة بالضبط من النقاط A–D هي جذر للمعادلة z⁴ = 81∠60°. انقر عليها.
w = 81∠60°n = 4
1A (3∠−30°)
2B (5,4∠−30°)
3C (3∠60°)
4D (3∠−75°)
3.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة
دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 230 V (فعّال)، 500 Hz. أوجد زاوية الطور φ للمعاوقة بالدرجات (موجبة عندما يتأخّر التيار عن الجهد).
V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 50 mHC = 100 µF
φ = °
4.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة
دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 12 V (فعّال)، 1000 Hz. أوجد التيار الفعّال I.
V = 12 V (rms)f = 1000 HzR = 80 ΩL = 250 mHC = 2,2 µF
I = A
5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةمتوسطة
حِمل معاوقته Z = 12 + j5 Ω موصول بمصدر أحادي الطور 240 V (فعّال). أوجد القدرة الظاهرية S.
V = 240 VZ = 12 + j5 Ω
S = VA
6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةصعبة
محوّل أحادي الطور قدرته 200 kVA يغذّي حِملًا 54 kW بمعامل قدرة 0,65 متأخّر. ما مقدار القدرة الفعلية الإضافية ΔP التي يمكن إضافتها كحِمل مقاومي (معامل قدرة واحد) قبل أن يبلغ المحوّل قدرته الاسمية بوحدة kVA؟
Smax = 200 kVAP1 = 54 kWpf1 = 0,65
ΔP = kW
7.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقمتوسطة
في دائرة LC مثالية فيها L = 1 mH وC = 100 nF، يكون المكثف مشحونًا بالكامل عند t = 0. كم يمضي من الزمن حتى تصبح كل الطاقة في الملف؟ أعط t بوحدة µs.
L = 1 mHC = 100 nF
t = µs
8.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقصعبة
ترددا نصف القدرة لمنحنى رنين هما 2 kHz و2,1 kHz. أوجد تردد الرنين بوصفه وسطهما الهندسي، ثم معامل الجودة Q.
f1 = 2 kHzf2 = 2,1 kHz
Q =
9.القدرة ثلاثية الطورمتوسطة
حمل ثلاثي الطور متوازن يسحب تيار خط مقداره 12 A من مصدر جهد خطه 415 V. معامل القدرة 0,88 متأخر. أوجد القدرة الفعّالة الكلية P التي يسحبها الحمل بالـ kW.
VL = 415 VIL = 12 Acos φ = 0,88
P = kW
10.القدرة ثلاثية الطورصعبة
حمل ثلاثي الطور متوازن يأخذ 150 kW عند معامل قدرة 0,65 متأخر من مصدر 400 V (جهد خط) و 50 Hz. يجب أن ترفع مجموعة مكثّفات ثلاثية الطور موصولة على التوازي مع الحمل معامل القدرة الكلي إلى 0,95 متأخر. تبقى القدرة الفعّالة كما هي. المكثّفات موصولة نجمة (Y). أوجد السعة Cph لكل مكثّف بالـ µF.
P = 150 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,95VL = 400 Vf = 50 Hz
Cph = µF
11.الحالات العابرة RC و RLمتوسطة
لا يمرّ تيار في الملف قبل أن يُغلق المفتاح عند t = 0. أوجد التيار i عند t = 5 ms.
Vs = 20 VR = 50 ΩL = 100 mHt = 5 ms
i = A
12.الحالات العابرة RC و RLصعبة
المفتاح الموصول على طرفي R2 مغلق منذ وقت طويل، لذا تيار الملف مستقر. عند t = 0 يُفتح المفتاح. بعد كم من t = 0 يبلغ تيار الملف 0,435 A؟ أوجد t.
Vs = 9 VR1 = 15 ΩR2 = 33 ΩL = 33 mH
t = ms
13.ثيفنن ونورتنمتوسطة
وُصل حِمل RL = 3 Ω بين a–b. استبدل بقية الدائرة بمكافئ ثيفنن وأوجد تيار الحِمل IL.
V1 = 12 VR1 = 4 ΩR2 = 3 ΩR3 = 20 ΩRL = 3 Ω
IL = A
14.ثيفنن ونورتنصعبة
وُصل حِمل RL = 30 Ω بين a–b. استبدل بقية الدائرة بمكافئ ثيفنن وأوجد تيار الحِمل IL.
أوجد الطور ∠G(jω) لـ G(s) = 7(s + 8)/(s(s + 4)) عند ω = 2 rad/s، بالدرجات.
G(s) = 7(s + 8)/(s(s + 4))ω = 2 rad/s
∠G(jω) = °
16.مخططات بودي والهوامشصعبة
حلقة تغذية عكسية وحدوية دالة نقلها المفتوحة L(s) = K/(s(s + 2)(s + 9)). أوجد الكسب K الذي يعطي هامش كسب قدره 6 dB.
L(s) = K/(s(s + 2)(s + 9))GM = 6 dB
K =
3المحاليل
1.الأعداد المركبة
الإجابة: b = −2,113
الصيغة القطبية: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ، حيث r = |z| و θ = arg z. والعودة إلى الصيغة الديكارتية: a = r cos θ، b = r sin θ. تحتاج السعة إلى الربع: θ = atan(b/a) فقط عندما a > 0؛ وعندما a < 0 أضف 180° أو اطرحها. في الصيغة القطبية الضرب سهل: اضرب الطويلتين واجمع السعتين؛ وللقسمة اقسم الطويلتين واطرح السعتين.
المركّبات
a = 5·cos(−155°) = −4,532
b = 5·sin(−155°) = −2,113
الصيغة الديكارتية
z = −4,532 − j2,113
b = −2,113
الإجابة
b = −2,113
2.الأعداد المركبة
الإجابة: D (3∠−75°)
دي موافر والجذور: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. للمعادلة zⁿ = R∠φ بالضبط n جذرًا، كلها بطويلة R1/n، عند السعات (φ + 360°·k)/n لـ k = 0, 1, …, n − 1: تقع متباعدة بانتظام على دائرة، بفارق 360°/n. للمعادلة التربيعية z² + pz + q = 0 مع p² < 4q جذران مركبان z = −p/2 ± j√(q − p²/4)؛ وكثير الحدود ذو المعاملات الحقيقية تأتي جذوره المركبة دائمًا في أزواج مترافقة a ± jb.
طويلة الجذور وسعاتها
|z| = 3
θ = 15°, 105°, −165°, −75°
النقطة
D = 3∠−75°
الإجابة
D (3∠−75°)
3.معاوقة التيار المتردد والطوريات
الإجابة: φ = 68,7 °
دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.
المفاعلات
ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0,05 = 157,1 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·100·10⁻⁶) = 3,183 Ω
المعاوقة
على التوالي تُجمع المعاوقات كأعداد مركّبة: Z = R + j(XL − XC).
دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.
المفاعلات
ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0,25 = 1571 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·2,2·10⁻⁶) = 72,34 Ω
المعاوقة
على التوالي تُجمع المعاوقات كأعداد مركّبة: Z = R + j(XL − XC).
يمرّ التيار نفسه في كل عنصر من عناصر دائرة التوالي.
I = V/|Z| = 12/1501 = 0,007997 A
الإجابة
I = 0,007997 A
5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة
الإجابة: S = 4431 VA
قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.
التيار
|Z| = √(12² + 5²) = 13 Ω
I = V/|Z| = 240/13 = 18,46 A
القدرة الظاهرية
S = V·I = 240·18,46 = 4431 VA
الإجابة
S = 4431 VA
6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة
الإجابة: ΔP = 135,8 kW
قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.
القدرة غير الفعّالة للحِمل الموجود
Q1 = 54·tan(arccos 0,65) = 63,13 kvar
أكبر قدرة فعلية كلية
عند القدرة الاسمية الكاملة S = Smax، و Q لا يتغيّر بالحِمل المقاومي.
P = √(Smax² − Q1²) = √(200² − 63,13²) = 189,8 kW
القدرة الفعلية الإضافية
ΔP = 189,8 − 54 = 135,8 kW
الإجابة
ΔP = 135,8 kW
7.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق
الإجابة: t = 15,71 µs
رنين LC: المكثف المشحون الموصول بملف حثّي يدفع تيارًا يشحنه في الاتجاه المعاكس: تتأرجح الطاقة بين المجال الكهربائي للمكثف C (½Cv²) والمجال المغناطيسي للملف L (½Li²) عند التردد الطبيعي f0 = 1/(2π√(LC)). وبدون مقاومة تبقى الطاقة الكلية ½CV0² ثابتة، فيكون التيار الأقصى Imax = V0√(C/L). الدورة الواحدة T = 1/f0؛ وتنتقل الطاقة من C إلى L في ربعها.
الزمن الدوري
T = 2π√(0,001·1 × 10⁻⁷) = 62,83 µs
ربع الدورة
t = T/4 = 15,71 µs
الإجابة
t = 15,71 µs
8.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق
الإجابة: Q = 20,49
معامل الجودة وعرض النطاق: في الدائرة الرنانة Q = 2π·(الطاقة المختزنة)/(الطاقة المفقودة في الدورة). في RLC على التوالي Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)؛ وفي RLC على التوازي Q = R/(ω0L) = R√(C/L). عرض النطاق بين ترددي نصف القدرة f1 وf2 (حيث تكون القدرة النصف والتيار أو الجهد 1/√2 من ذروته) هو BW = f2 − f1 = f0/Q، ويساوي R/(2πL) على التوالي و1/(2πRC) على التوازي. تردد الرنين هو الوسط الهندسي f0 = √(f1f2)، وf1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). تجعل الفواقد التذبذب يتضاءل أيضًا: في RLC على التوالي تتناقص السعة كـ e−Rt/(2L).
تردد الرنين
f0 = √(2000·2100) = 2049 Hz
عرض النطاق
BW = 2100 − 2000 = 100 Hz
معامل الجودة
Q = 2049/100 = 20,49
الإجابة
Q = 20,49
9.القدرة ثلاثية الطور
الإجابة: P = 7,591 kW
النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، VL = √3·Vph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، IL = √3·Iph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
القدرة الظاهرية
S = √3·VL·IL = √3·415·12 = 8,626 kVA
القدرة الفعلية
P = S·cos φ = 8,626·0,88 = 7,591 kW
الإجابة
P = 7,591 kW
10.القدرة ثلاثية الطور
الإجابة: Cph = 2508 µF
النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، VL = √3·Vph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، IL = √3·Iph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. تحسين معامل القدرة: تقدّم المكثّفات القدرة غير الفعّالة محليًا، QC = P·(tan φ1 − tan φ2). يقدّم كل مكثّف من المكثّفات الثلاثة QC/3 = V²·ω·C، حيث V الجهد على ذلك المكثّف: VL في مجموعة Δ، و VL/√3 في مجموعة Y.
القدرة غير الفعّالة قبل وبعد
القدرة الفعّالة لا تتغيّر، لذا يحدّد كل معامل قدرة القدرة غير الفعّالة: Q = P·tan φ.
الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.
الثابت الزمني والتيار النهائي
بعد إغلاق المفتاح بوقت طويل يتصرّف الملف كقصر، لذا يحدّد R وحده التيار النهائي.
الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.
القيمة الابتدائية، القيمة النهائية، الثابت الزمني
قبل t = 0 يتجاوز المفتاح المغلق R₂؛ وبعدها يكون R₁ و R₂ كلاهما في الحلقة.
i(0) = 9/15 = 0,6 A
i(∞) = 9/(15 + 33) = 0,1875 A
τ = L/R = 33/48 = 0,6875 ms
i(t) = 0,1875 + (0,6 − 0,1875)·e−t/τ
حلّ لإيجاد الزمن
e−t/τ = (0,435 − 0,1875)/(0,6 − 0,1875) = 0,6
t = 0,6875·ln(1,667) = 0,3512 ms
الإجابة
t = 0,3512 ms
13.ثيفنن ونورتن
الإجابة: IL = 0,2081 A
نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد Vth على التوالي مع مقاومة Rth. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار IN = Vth/Rth على التوازي مع Rth.
أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر
استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.
R1 ∥ R2 = 4·3/(4+3) = 1,714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,714 + 20 = 21,71 Ω
أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة
عندما يكون a–b مفتوحًا لا يمرّ تيار في R₃، فلا هبوط عليه و V_b = V_A. يشكّل R₁ و R₂ مقسّم جهد.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 12·3/(4+3) = 5,143 V
صِل الحِمل بمكافئ ثيفنن
يتصرّف مصدر ثيفنن و R_th على التوالي عند a–b تمامًا كالدائرة الأصلية، فيرى الحِمل حلقة توالٍ بسيطة.
IL = Vth/(Rth + RL) = 5,143/(21,71 + 3) = 0,2081 A
14.ثيفنن ونورتن
الإجابة: IL = 1,758 A
نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد Vth على التوالي مع مقاومة Rth. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار IN = Vth/Rth على التوازي مع Rth.
أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر
استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.
R1 ∥ R2 = 8·30/(8+30) = 6,316 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6,316 + 5 = 11,32 Ω
أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة
عندما يكون a–b مفتوحًا، المسار الوحيد لـ Iₛ هو عبر R₃ إلى العقدة A. أوجد V_A بتراكب V₁ و Iₛ، ثم أضف الهبوط على R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 4,737 + 6·6,316 = 42,63 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 42,63 + 6·5 = 72,63 V
صِل الحِمل بمكافئ ثيفنن
يتصرّف مصدر ثيفنن و R_th على التوالي عند a–b تمامًا كالدائرة الأصلية، فيرى الحِمل حلقة توالٍ بسيطة.
IL = Vth/(Rth + RL) = 72,63/(11,32 + 30) = 1,758 A
15.مخططات بودي والهوامش
الإجابة: ∠G(jω) = −102,5 °
الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ωc = 1/(RC) أو R/L، وfc = ωc/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) وφ = −atan(ω/ωc). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jωc). تردد تقاطع الطور ω180: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.
الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ωc = 1/(RC) أو R/L، وfc = ωc/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) وφ = −atan(ω/ωc). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jωc). تردد تقاطع الطور ω180: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.