تحليل الدوائر الكهربائية 2: دوائر التيار المتردد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الأعداد المركبة

الصيغة الديكارتية
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
الطويلة والسعة
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
الصيغتان القطبية والأسية
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
القسمة
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
حاصل الضرب وناتج القسمة
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
دي موافر
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
الجذور النونية
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
معادلة تربيعية مع p² < 4q
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

الطريقة

  1. قرّر أي صيغة تناسب العملية: الصيغة الديكارتية a + jb للجمع والطرح، والقطبية r∠θ للضرب والقسمة والقوى والجذور.
  2. اضرب بالفك مع j² = −1؛ واقسم بضرب البسط والمقام في مرافق المقام.
  3. حوّل بـ r = √(a² + b²) و θ من رسم للنقطة (a, b) (تحقق من الربع)، وعد بـ a = r cos θ، b = r sin θ.
  4. للقوى استخدم دي موافر، (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ؛ ولـ zⁿ = R∠φ اسرد كل الجذور الـ n: R1/n∠((φ + 360°k)/n).

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
التردد الزاوي
ω = 2πf
المقدار والزاوية
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات
V = I·Z

الطريقة

  1. حوّل التردد: ω = 2πf.
  2. أوجد كل ممانعة مفاعلة: XL = ωL و XC = 1/(ωC).
  3. اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
  4. أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

القدرة الفعلية
P = V·I·cos φ
القدرة غير الفعّالة
Q = V·I·sin φ
القدرة الظاهرية
S = V·I = √(P² + Q²)
معامل القدرة
pf = cos φ = P/S
مكثّف التصحيح
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

التردد الطبيعي
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
الطاقة
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
تيار الذروة
Imax = V0√(C/L)
معامل الجودة
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
RLC على التوالي
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
RLC على التوازي
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
عرض النطاق
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
ترددات نصف القدرة
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
دائرة رنين ذات مقاومة ملف r
RD = L/(C·r) = Q²·r
تضاؤل السعة
e−Rt/(2L)

الطريقة

  1. أوجد تردد الرنين أولًا: ω₀ = 1/√(LC) وf₀ = ω₀/(2π).
  2. حدد هل الدائرة على التوالي أم على التوازي: على التوالي Q = (1/R)√(L/C)، وعلى التوازي Q = R√(C/L).
  3. استخدم BW = f₀/Q لعرض النطاق، أو الصيغتين المختصرتين R/(2πL) (توالٍ) و1/(2πRC) (توازٍ).
  4. في أسئلة الطاقة، استخدم أن الطاقة الكلية ½CV₀² تبقى ثابتة في دائرة LC المثالية وتتنقل بين C وL كل ربع دورة.

القدرة ثلاثية الطور

توصيل نجمة (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
توصيل دلتا (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
القدرة الفعّالة الكلية
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
القدرة الظاهرية والقدرة غير الفعّالة
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
مكثّفات التصحيح
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
الجهد على كل مكثّف
Δ: VL Y: VL/√3
قدرة دخل المحرّك
Pin = Pout/η

الحالات العابرة RC و RL

الثابت الزمني
τ = RC | τ = L/R
الاستجابة
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
المكثّف في التيار المستمر
دائرة مفتوحة؛ لا يمكن أن يقفز vC
الملف في التيار المستمر
قصر؛ لا يمكن أن يقفز iL
الحالة المستقرة
t ≈ 5τ

الطريقة

  1. أوجد القيمة الابتدائية مباشرة بعد التبديل: جهد المكثّف وتيار الملف لا يقفزان.
  2. أوجد القيمة النهائية بعد التبديل بزمن طويل: يتصرّف المكثّف كدائرة مفتوحة، والملف كقصر.
  3. أوجد الثابت الزمني: τ = RC أو τ = L/R، باستخدام المقاومة التي يراها المكثّف أو الملف.
  4. استخدم x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

ثيفنن ونورتن

جهد ثيفنن
Vth = Vopen circuit
مقاومة ثيفنن
Rth: كل المصادر مُطفأة، منظورًا إليها من a–b
تيار نورتن
IN = Vth/Rth
تيار الحِمل
IL = Vth/(Rth + RL)
أقصى نقل للقدرة
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

الطريقة

  1. أزل الحِمل وعلّم الطرفين a و b.
  2. أوجد جهد الدائرة المفتوحة بين a و b: هذا هو Vth.
  3. أطفئ كل المصادر المستقلة وأوجد المقاومة المرئية من a–b: هذه هي Rth.
  4. أعد الحِمل إلى الدائرة المكافئة: Vth على التوالي مع Rth.
  5. لمكافئ نورتن، حوّل: IN = Vth/Rth، مع RN = Rth على التوازي.

2مسائل تدريبية

1.الأعداد المركبةمتوسطة
ReIm55−5−5θz

جد السعة θ للعدد z = −8 − j8 بالدرجات، كقيمة رئيسية بين −180° و180°.

z = −8 − j8
θ = °
2.الأعداد المركبةصعبة
ReIm22−2−244−4−4z₁z₂

أحد جذور z³ − 3z² − 15z + 125 = 0 هو z₁ = 4 + j3. المعاملات حقيقية. جد الجذر الحقيقي r.

z₁ = 4 + j3
r =
3.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة
100 V1000 HzR = 25 ΩL = 20 mHC = 2,2 µF

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 100 V (فعّال)، 1000 Hz. أوجد زاوية الطور φ للمعاوقة بالدرجات (موجبة عندما يتأخّر التيار عن الجهد).

V = 100 V (rms)f = 1000 HzR = 25 ΩL = 20 mHC = 2,2 µF
φ = °
4.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة
50 V1000 HzR = 60 ΩL = 50 mHC = 4,7 µF

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 50 V (فعّال)، 1000 Hz. أوجد تردّد الرنين f0 للدائرة.

V = 50 V (rms)f = 1000 HzR = 60 ΩL = 50 mHC = 4,7 µF
f0 = Hz
5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةمتوسطة
240 V13 kW, 0,723 kW, 0,95I = ?

حِملان موصولان على التوازي بمصدر أحادي الطور 240 V: حِمل 3 kW بمعامل قدرة 0,7 متأخّر وحِمل 3 kW بمعامل قدرة 0,95 متأخّر. أوجد التيار الكلي I المسحوب من المصدر.

V = 240 VP1 = 3 kW, pf1 = 0,7 متأخرP2 = 3 kW, pf2 = 0,95 متأخر
I = A
6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةصعبة
P = 5 kWQ1​S1​φ1​QC​

يستهلك حِمل أحادي الطور 5 kW بمعامل قدرة 0,6 متأخّر من مصدر 240 V، 60 Hz. يرفع مكثّف موصول على التوازي معامل القدرة إلى 0,92. أوجد السعة C اللازمة.

P = 5 kWpf1 = 0,6pf2 = 0,92V = 240 Vf = 60 Hz
C = µF
7.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقمتوسطة
V4,7 kΩ1 mH10 nF

لدائرة RLC على التوازي R = 4,7 kΩ وL = 1 mH وC = 10 nF. أوجد معامل جودتها Q.

R = 4,7 kΩL = 1 mHC = 10 nF
Q =
8.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقصعبة
V22 Ω1 mH470 pF100 mA

تعمل دائرة RLC على التوالي (R = 22 Ω، L = 1 mH، C = 470 pF) عند الرنين بسعة تيار 100 mA. أوجد الطاقة Ecycle المبددة في R خلال دورة واحدة، بوحدة nJ.

R = 22 ΩL = 1 mHC = 470 pFIm = 100 mA
Ecycle = nJ
9.القدرة ثلاثية الطورمتوسطة
ABCVL​ = 690 VIL​ = 40 Acos φ = 0,82متأخر

حمل ثلاثي الطور متوازن يسحب تيار خط مقداره 40 A من مصدر جهد خطه 690 V. معامل القدرة 0,82 متأخر. أوجد القدرة الفعّالة الكلية P التي يسحبها الحمل بالـ kW.

VL = 690 VIL = 40 Acos φ = 0,82
P = kW
10.القدرة ثلاثية الطورصعبة
P = 100 kWφ1​S1​Q2​QC​

حمل ثلاثي الطور متوازن يأخذ 100 kW عند معامل قدرة 0,8 متأخر من مصدر 690 V (جهد خط) و 50 Hz. يجب أن ترفع مجموعة مكثّفات ثلاثية الطور موصولة على التوازي مع الحمل معامل القدرة الكلي إلى 0,9 متأخر. تبقى القدرة الفعّالة كما هي. المكثّفات موصولة نجمة (Y). أوجد السعة Cph لكل مكثّف بالـ µF.

P = 100 kWpf1 = 0,8pf2 = 0,9VL = 690 Vf = 50 Hz
Cph = µF
11.الحالات العابرة RC و RLمتوسطة
R = 10 Ωt = 0L10 mHi(t)

يحمل الملف تيارًا مستقرًا 2 A. عند t = 0 يغلق المفتاح الحلقة عبر R ويُزال المصدر، فيتناقص تيار الملف عبر R. أوجد التيار i عند t = 1 ms.

i(0) = 2 AR = 10 ΩL = 10 mHt = 1 ms
i = A
12.الحالات العابرة RC و RLصعبة
+−Vs​15 Vt = 0R = 6,8 kΩC22 µF+−vC​vC​(0) = 12 V

قبل إغلاق المفتاح عند t = 0 مباشرة، يكون جهد المكثّف 12 V بالقطبية الموضّحة. كم يستغرق vC ليبلغ 12,9 V؟ أوجد t.

Vs = 15 VR = 6,8 kΩC = 22 µFvC(0) = 12 V
t = ms
13.ثيفنن ونورتنمتوسطة
R1​ = 8 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​30 VR2​2 ΩAab

أوجد جهد ثيفنن Vth المرئي من الطرفين a–b.

V1 = 30 VR1 = 8 ΩR2 = 2 ΩR3 = 2 Ω
Vth = V
14.ثيفنن ونورتنصعبة
R1​ = 3 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​15 VR2​6 ΩAIs​1 ABRL​8 ΩIL​

وُصل حِمل RL = 8 Ω بين a–b. استبدل بقية الدائرة بمكافئ ثيفنن وأوجد تيار الحِمل IL.

V1 = 15 VIs = 1 AR1 = 3 ΩR2 = 6 ΩR3 = 4 ΩRL = 8 Ω
IL = A
15.مخططات بودي والهوامشمتوسطة
|H| (dB)0,1110100−40−2002040ω (rad/s)ω = 2

أوجد المقدار الدقيق |G(jω)| لـ G(s) = 432/((s + 4)(s + 6)) عند ω = 2 rad/s، بوحدة dB.

G(s) = 432/((s + 4)(s + 6))ω = 2 rad/s
|G(jω)| = dB
16.مخططات بودي والهوامشصعبة
|H| (dB)0,010,010,10,1111010−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ωc​

حلقة تغذية عكسية وحدوية دالة نقلها المفتوحة L(s) = 1/(s(s + 1)). أوجد هامش الطور PM بالدرجات.

L(s) = 1/(s(s + 1))
PM = °

3المحاليل

1.الأعداد المركبة

الإجابة: θ = −135 °

الصيغة القطبية: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ، حيث r = |z| و θ = arg z. والعودة إلى الصيغة الديكارتية: a = r cos θ، b = r sin θ. تحتاج السعة إلى الربع: θ = atan(b/a) فقط عندما a > 0؛ وعندما a < 0 أضف 180° أو اطرحها. في الصيغة القطبية الضرب سهل: اضرب الطويلتين واجمع السعتين؛ وللقسمة اقسم الطويلتين واطرح السعتين.

الربع

a = −8, b = −8 → III

الزاوية المرجعية

α = atan(8/8) = 45°

السعة

θ = −(180° − α) = −135°

الإجابة

θ = −135°

بالصيغة القطبية z = 11,31∠−135°.

2.الأعداد المركبة

الإجابة: r = −5

دي موافر والجذور: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. للمعادلة zⁿ = R∠φ بالضبط n جذرًا، كلها بطويلة R1/n، عند السعات (φ + 360°·k)/n لـ k = 0, 1, …, n − 1: تقع متباعدة بانتظام على دائرة، بفارق 360°/n. للمعادلة التربيعية z² + pz + q = 0 مع p² < 4q جذران مركبان z = −p/2 ± j√(q − p²/4)؛ وكثير الحدود ذو المعاملات الحقيقية تأتي جذوره المركبة دائمًا في أزواج مترافقة a ± jb.

زوج مترافق

z₂ = 4 − j3
(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·4·z + (4² + 3²) = z² − 8z + 25

حلّل العامل التربيعي

z³ − 3z² − 15z + 125 = (z² − 8z + 25)(z + 5)

الجذر الحقيقي

r = −5

الإجابة

r = −5

تحقق بمجموع الجذور: z₁ + z₂ + r = 8 + (−5) = 3 = −(−3).

3.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: φ = 64,88 °

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

المفاعلات

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0,02 = 125,7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·2,2·10⁻⁶) = 72,34 Ω

المعاوقة

على التوالي تُجمع المعاوقات كأعداد مركّبة: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(25² + (53,32)²) = 58,89 Ω

زاوية الطور

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(53,32/25) = 64,88°

الإجابة

φ = 64,88°
4.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: f0 = 328,3 Hz

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

الرنين

عند الرنين تُلغي المفاعلتان الحثية والسعوية بعضهما: ωL = 1/(ωC). تردّد المصدر لا يهم.

f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,05·4,7·10⁻⁶)) = 328,3 Hz

الإجابة

f0 = 328,3 Hz
5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: I = 30,15 A

قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.

القدرة غير الفعّالة لكل حِمل

الحِمل المتأخّر يأخذ قدرة غير فعّالة (Q > 0)؛ والحِمل المتقدّم يزوّدها (Q < 0).

Q1 = 3·tan(arccos 0,7) = 3,061 kvar
Q2 = 3·tan(arccos 0,95) = 0,9861 kvar

المجاميع

P = 3 + 3 = 6 kW
Q = 3,061 + 0,9861 = 4,047 kvar
S = √(6² + 4,047²) = 7,237 kVA

التيار الكلي

I = S/V = 7237/240 = 30,15 A

الإجابة

I = 30,15 A
6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: C = 208,9 µF

قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

لا تتغيّر القدرة الفعلية P؛ تتغيّر فقط القدرة غير الفعّالة المسحوبة من الشبكة.

Q1 = P·tan φ1 = 5·tan(53,13°) = 6,667 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 5·tan(23,07°) = 2,13 kvar
QC = Q1 − Q2 = 4,537 kvar

السعة

المكثّف الموصول على المصدر يزوّد Q = V²·ωC.

C = QC/(2πf·V²) = 4537/(2π·60·240²) = 208,9 µF

الإجابة

C = 208,9 µF
7.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

الإجابة: Q = 14,86

معامل الجودة وعرض النطاق: في الدائرة الرنانة Q = 2π·(الطاقة المختزنة)/(الطاقة المفقودة في الدورة). في RLC على التوالي Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)؛ وفي RLC على التوازي Q = R/(ω0L) = R√(C/L). عرض النطاق بين ترددي نصف القدرة f1 وf2 (حيث تكون القدرة النصف والتيار أو الجهد 1/√2 من ذروته) هو BW = f2 − f1 = f0/Q، ويساوي R/(2πL) على التوالي و1/(2πRC) على التوازي. تردد الرنين هو الوسط الهندسي f0 = √(f1f2)، وf1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). تجعل الفواقد التذبذب يتضاءل أيضًا: في RLC على التوالي تتناقص السعة كـ e−Rt/(2L).

تردد الرنين

ω₀ = 1/√(LC) = 316228 rad/s

معامل الجودة

Q = R/(ω₀L) = 4700/(316228·0,001) = 14,86

الإجابة

Q = 14,86

عرض النطاق هو 1/(2πRC) = 3,386 kHz.

8.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

الإجابة: Ecycle = 473,8 nJ

معامل الجودة وعرض النطاق: في الدائرة الرنانة Q = 2π·(الطاقة المختزنة)/(الطاقة المفقودة في الدورة). في RLC على التوالي Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)؛ وفي RLC على التوازي Q = R/(ω0L) = R√(C/L). عرض النطاق بين ترددي نصف القدرة f1 وf2 (حيث تكون القدرة النصف والتيار أو الجهد 1/√2 من ذروته) هو BW = f2 − f1 = f0/Q، ويساوي R/(2πL) على التوالي و1/(2πRC) على التوازي. تردد الرنين هو الوسط الهندسي f0 = √(f1f2)، وf1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). تجعل الفواقد التذبذب يتضاءل أيضًا: في RLC على التوالي تتناقص السعة كـ e−Rt/(2L).

الطاقة المخزّنة

W = ½·0,001·0,1² = 5 × 10⁻⁶ J

معامل الجودة

Q = (1/22)·√(0,001/4,7 × 10⁻¹⁰) = 66,3

الطاقة المفقودة في الدورة

Ecycle = 2π·W/Q = 2π·5 × 10⁻⁶/66,3 = 4,738 × 10⁻⁷ J = 473,8 nJ
تحقّق: ½·0,1²·22/232151 = 4,738 × 10⁻⁷ J

الإجابة

Ecycle = 473,8 nJ
9.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: P = 39,2 kW

النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، VL = √3·Vph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، IL = √3·Iph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

القدرة الظاهرية

S = √3·VL·IL = √3·690·40 = 47,8 kVA

القدرة الفعلية

P = S·cos φ = 47,8·0,82 = 39,2 kW

الإجابة

P = 39,2 kW
10.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: Cph = 177,6 µF

النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، VL = √3·Vph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، IL = √3·Iph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. تحسين معامل القدرة: تقدّم المكثّفات القدرة غير الفعّالة محليًا، QC = P·(tan φ1 − tan φ2). يقدّم كل مكثّف من المكثّفات الثلاثة QC/3 = V²·ω·C، حيث V الجهد على ذلك المكثّف: VL في مجموعة Δ، و VL/√3 في مجموعة Y.

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

القدرة الفعّالة لا تتغيّر، لذا يحدّد كل معامل قدرة القدرة غير الفعّالة: Q = P·tan φ.

Q1 = 100·tan(acos 0,8) = 100·0,75 = 75 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0,9) = 100·0,4843 = 48,43 kvar

القدرة غير الفعّالة من المكثّفات

QC = Q1 − Q2 = 26,57 kvar

السعة لكل طور

في مجموعة Y يوصل كل مكثّف بين خط ونقطة النجمة.

V = 690/√3 = 398,4 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 8856/(314,2·398,4²) = 177,6 µF

الإجابة

Cph = 177,6 µF
11.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: i = 0,7358 A

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

الثابت الزمني

τ = L/R = 10 mH / 10 Ω = 1 ms

تناقص التيار

i(t) = 2·e−1/1 = 0,7358 A

الإجابة

i = 0,7358 A
12.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: t = 53,36 ms

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

القيمة الابتدائية، القيمة النهائية، الثابت الزمني

لا يمكن لجهد المكثّف أن يقفز، لذا يبدأ من قيمته المخزّنة ويتّجه نحو جهد المصدر.

vC(0) = 12 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 6,8 kΩ · 22 µF = 149,6 ms
vC(t) = 15 + (12 − 15)·e−t/τ

حلّ لإيجاد الزمن

12,9 = 15 + (−3)·e−t/τ → e−t/τ = (12,9 − 15)/(12 − 15) = 0,7
t = τ·ln((12 − 15)/(12,9 − 15)) = 149,6·ln(1,429) = 53,36 ms

الإجابة

t = 53,36 ms
13.ثيفنن ونورتن

الإجابة: Vth = 6 V

نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد Vth على التوالي مع مقاومة Rth. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار IN = Vth/Rth على التوازي مع Rth.

R1​ = 8 ΩR3​ = 2 ΩقصرR2​2 ΩAabRth​

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R1 ∥ R2 = 8·2/(8+2) = 1,6 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,6 + 2 = 3,6 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​30 VR2​2 ΩAab+−Vth​

أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة

عندما يكون a–b مفتوحًا لا يمرّ تيار في R₃، فلا هبوط عليه و V_b = V_A. يشكّل R₁ و R₂ مقسّم جهد.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 30·2/(8+2) = 6 V
14.ثيفنن ونورتن

الإجابة: IL = 1,143 A

نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد Vth على التوالي مع مقاومة Rth. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار IN = Vth/Rth على التوازي مع Rth.

R1​ = 3 ΩR3​ = 4 ΩقصرR2​6 ΩAمفتوحBabRth​

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R1 ∥ R2 = 3·6/(3+6) = 2 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2 + 4 = 6 Ω
R1​ = 3 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​15 VR2​6 ΩAIs​1 ABab+−Vth​

أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة

عندما يكون a–b مفتوحًا، المسار الوحيد لـ Iₛ هو عبر R₃ إلى العقدة A. أوجد V_A بتراكب V₁ و Iₛ، ثم أضف الهبوط على R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 10 + 1·2 = 12 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 12 + 1·4 = 16 V
Rth​ = 6 Ω+−Vth​16 VRL​8 ΩIL​

صِل الحِمل بمكافئ ثيفنن

يتصرّف مصدر ثيفنن و R_th على التوالي عند a–b تمامًا كالدائرة الأصلية، فيرى الحِمل حلقة توالٍ بسيطة.

IL = Vth/(Rth + RL) = 16/(6 + 8) = 1,143 A
15.مخططات بودي والهوامش

الإجابة: |G(jω)| = 23,68 dB

الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ωc = 1/(RC) أو R/L، وfc = ωc/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) وφ = −atan(ω/ωc). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jωc). تردد تقاطع الطور ω180: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.

اضرب المقادير

|G(j2)| = 432/(√(2² + 4²)·√(2² + 6²)) = 432/(4,472·6,325) = 15,27

النتيجة

20·log₁₀(15,27) = 23,68 dB

الإجابة

|G(jω)| = 23,68 dB
16.مخططات بودي والهوامش

الإجابة: PM = 51,83 °

الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ωc = 1/(RC) أو R/L، وfc = ωc/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) وφ = −atan(ω/ωc). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jωc). تردد تقاطع الطور ω180: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.

تقاطع الكسب

ω⁴ + 1ω² − 1 = 0
ω² = (−1 + √(1 + 4·1))/2 = 0,618
ωc = 0,7862 rad/s

هامش الطور

∠L(jωc) = −90° − atan(0,7862/1) = −128,2°
PM = 180° + ∠L = 51,83°

الإجابة

PM = 51,83°

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2