حدد هل الدائرة على التوالي أم على التوازي: على التوالي Q = (1/R)√(L/C)، وعلى التوازي Q = R√(C/L).
استخدم BW = f₀/Q لعرض النطاق، أو الصيغتين المختصرتين R/(2πL) (توالٍ) و1/(2πRC) (توازٍ).
في أسئلة الطاقة، استخدم أن الطاقة الكلية ½CV₀² تبقى ثابتة في دائرة LC المثالية وتتنقل بين C وL كل ربع دورة.
القدرة ثلاثية الطور
توصيل نجمة (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
توصيل دلتا (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
القدرة الفعّالة الكلية
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
القدرة الظاهرية والقدرة غير الفعّالة
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
مكثّفات التصحيح
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
الجهد على كل مكثّف
Δ: VL Y: VL/√3
قدرة دخل المحرّك
Pin = Pout/η
الحالات العابرة RC و RL
الثابت الزمني
τ = RC | τ = L/R
الاستجابة
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
المكثّف في التيار المستمر
دائرة مفتوحة؛ لا يمكن أن يقفز vC
الملف في التيار المستمر
قصر؛ لا يمكن أن يقفز iL
الحالة المستقرة
t ≈ 5τ
الطريقة
أوجد القيمة الابتدائية مباشرة بعد التبديل: جهد المكثّف وتيار الملف لا يقفزان.
أوجد القيمة النهائية بعد التبديل بزمن طويل: يتصرّف المكثّف كدائرة مفتوحة، والملف كقصر.
أوجد الثابت الزمني: τ = RC أو τ = L/R، باستخدام المقاومة التي يراها المكثّف أو الملف.
استخدم x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
ثيفنن ونورتن
جهد ثيفنن
Vth = Vopen circuit
مقاومة ثيفنن
Rth: كل المصادر مُطفأة، منظورًا إليها من a–b
تيار نورتن
IN = Vth/Rth
تيار الحِمل
IL = Vth/(Rth + RL)
أقصى نقل للقدرة
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
الطريقة
أزل الحِمل وعلّم الطرفين a و b.
أوجد جهد الدائرة المفتوحة بين a و b: هذا هو Vth.
أطفئ كل المصادر المستقلة وأوجد المقاومة المرئية من a–b: هذه هي Rth.
أعد الحِمل إلى الدائرة المكافئة: Vth على التوالي مع Rth.
لمكافئ نورتن، حوّل: IN = Vth/Rth، مع RN = Rth على التوازي.
2مسائل تدريبية
1.الأعداد المركبةمتوسطة
لديك z₁ = 1,5∠150° و z₂ = 2∠80°، جد سعة θ للعدد w = z₁/z₂ بالدرجات، بين −180° و180°.
z₁ = 1,5∠150°z₂ = 2∠80°
θ = °
2.الأعداد المركبةصعبة
جذور zⁿ = w مع n = 3 و w = 27∠90° هي zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n)، k = 0, 1, 2. جد الجزء التخيلي لـ z₂.
w = 27∠90°n = 3k = 2
Im(z₂) =
3.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة
دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 10 V (فعّال)، 200 Hz. أوجد التيار الفعّال I.
V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 1 µF
I = A
4.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة
دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 50 V (فعّال)، 60 Hz. أوجد تردّد الرنين f0 للدائرة.
V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 10 ΩL = 250 mHC = 10 µF
f0 = Hz
5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةمتوسطة
حِملان موصولان على التوازي بمصدر أحادي الطور 230 V: حِمل 17 kW بمعامل قدرة 0,85 متأخّر وحِمل 7 kW بمعامل قدرة 0,8 متأخّر. أوجد التيار الكلي I المسحوب من المصدر.
يأخذ حِمل أحادي الطور 15 kW بمعامل قدرة 0,7 متأخّر من مصدر 240 V، 60 Hz. يُوصل مكثّف سعته 330 µF على التوازي مع الحِمل. أوجد تيار الخط الجديد I.
P = 15 kWpf1 = 0,7V = 240 Vf = 60 HzC = 330 µF
I = A
7.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقمتوسطة
لدائرة RLC على التوالي R = 22 Ω وL = 100 mH وC = 220 nF. أوجد عرض نطاقها BW بوحدة Hz.
R = 22 ΩL = 100 mHC = 220 nF
BW = Hz
8.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقصعبة
يتفرغ مكثف 2,2 nF مشحون عبر ملف 2,2 mH بمقاومة توالٍ كلية 5 Ω، فيتلاشى التذبذب ببطء. تتناقص سعته كـ e−Rt/(2L). كم دورة تذبذب n تمر قبل أن تنتصف السعة؟ (الفواقد صغيرة، فالتردد هو f₀.)
L = 2,2 mHC = 2,2 nFR = 5 Ω
n =
9.القدرة ثلاثية الطورمتوسطة
محرّك حثّي ثلاثي الطور يعطي قدرة خرج ميكانيكية مقدارها 75 kW عند الحمل الكامل. عند هذا الحمل تكون كفاءته 93% ومعامل قدرته 0,9 متأخرًا. جهد خط المصدر 415 V. أوجد تيار الخط IL.
Pout = 75 kWη = 93%cos φ = 0,9VL = 415 V
IL = A
10.القدرة ثلاثية الطورصعبة
حمل ثلاثي الطور متوازن يأخذ 200 kW عند معامل قدرة 0,65 متأخر من مصدر 415 V (جهد خط) و 50 Hz. يجب أن ترفع مجموعة مكثّفات ثلاثية الطور موصولة على التوازي مع الحمل معامل القدرة الكلي إلى 0,95 متأخر. تبقى القدرة الفعّالة كما هي. المكثّفات موصولة دلتا (Δ). أوجد السعة Cph لكل مكثّف بالـ µF.
P = 200 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,95VL = 415 Vf = 50 Hz
Cph = µF
11.الحالات العابرة RC و RLمتوسطة
يشحن المصدر Vₛ المكثّف عبر R₁، و R₂ موصول على التوازي مع C. المكثّف غير مشحون عندما يُغلق المفتاح عند t = 0. أوجد الثابت الزمني τ للدائرة بعد إغلاق المفتاح.
Vs = 20 VR1 = 1 kΩR2 = 2,2 kΩC = 68 µF
τ = ms
12.الحالات العابرة RC و RLصعبة
المفتاح الموصول على طرفي R2 مفتوح منذ وقت طويل، لذا تيار الملف مستقر. عند t = 0 يُغلق المفتاح ويقصر R2. أوجد تيار الملف i عند t = 25 ms.
Vs = 9 VR1 = 5 ΩR2 = 47 ΩL = 68 mHt = 25 ms
i = A
13.ثيفنن ونورتنمتوسطة
أوجد تيار نورتن IN: التيار الذي يسري من a إلى b إذا قُصر الطرفان.
V1 = 24 VR1 = 4 ΩR2 = 2 ΩR3 = 8 Ω
IN = A
14.ثيفنن ونورتنصعبة
أوجد جهد ثيفنن Vth المرئي من الطرفين a–b.
V1 = 18 VIs = 2 AR1 = 8 ΩR2 = 25 ΩR3 = 5 Ω
Vth = V
15.مخططات بودي والهوامشمتوسطة
أوجد المقدار الدقيق |G(jω)| لـ G(s) = 154/((s + 2)(s + 7)) عند ω = 0,5 rad/s، بوحدة dB.
G(s) = 154/((s + 2)(s + 7))ω = 0,5 rad/s
|G(jω)| = dB
16.مخططات بودي والهوامشصعبة
حلقة تغذية عكسية وحدوية دالة نقلها المفتوحة L(s) = K/(s(s + 6)(s + 10)). أوجد الكسب K الذي يعطي هامش كسب قدره 10 dB.
L(s) = K/(s(s + 6)(s + 10))GM = 10 dB
K =
3المحاليل
1.الأعداد المركبة
الإجابة: θ = 70 °
الصيغة القطبية: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ، حيث r = |z| و θ = arg z. والعودة إلى الصيغة الديكارتية: a = r cos θ، b = r sin θ. تحتاج السعة إلى الربع: θ = atan(b/a) فقط عندما a > 0؛ وعندما a < 0 أضف 180° أو اطرحها. في الصيغة القطبية الضرب سهل: اضرب الطويلتين واجمع السعتين؛ وللقسمة اقسم الطويلتين واطرح السعتين.
طويلة w وسعتها
|w| = 1,5 / 2 = 0,75
θ = 150° − 80° = 70°
السعة
θ = 70°
الإجابة
θ = 70°
2.الأعداد المركبة
الإجابة: Im(z₂) = −3
دي موافر والجذور: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. للمعادلة zⁿ = R∠φ بالضبط n جذرًا، كلها بطويلة R1/n، عند السعات (φ + 360°·k)/n لـ k = 0, 1, …, n − 1: تقع متباعدة بانتظام على دائرة، بفارق 360°/n. للمعادلة التربيعية z² + pz + q = 0 مع p² < 4q جذران مركبان z = −p/2 ± j√(q − p²/4)؛ وكثير الحدود ذو المعاملات الحقيقية تأتي جذوره المركبة دائمًا في أزواج مترافقة a ± jb.
طويلة الجذور
271/3 = 3
سعة الجذر
θ₂ = (90° + 360°·2)/3 = 270° → −90°
الصيغة الديكارتية
z₂ = 3·(cos −90° + j sin −90°) = −j3
Im(z₂) = −3
الإجابة
Im(z₂) = −3
تقع الجذور الـ 3 على دائرة نصف قطرها 3، تفصل بين كل جذرين زاوية 120°.
3.معاوقة التيار المتردد والطوريات
الإجابة: I = 0,01486 A
دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.
المفاعلات
ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0,1 = 125,7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·1·10⁻⁶) = 795,8 Ω
المعاوقة
على التوالي تُجمع المعاوقات كأعداد مركّبة: Z = R + j(XL − XC).
يمرّ التيار نفسه في كل عنصر من عناصر دائرة التوالي.
I = V/|Z| = 10/672,8 = 0,01486 A
الإجابة
I = 0,01486 A
4.معاوقة التيار المتردد والطوريات
الإجابة: f0 = 100,7 Hz
دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.
الرنين
عند الرنين تُلغي المفاعلتان الحثية والسعوية بعضهما: ωL = 1/(ωC). تردّد المصدر لا يهم.
قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.
القدرة غير الفعّالة لكل حِمل
الحِمل المتأخّر يأخذ قدرة غير فعّالة (Q > 0)؛ والحِمل المتقدّم يزوّدها (Q < 0).
Q1 = 17·tan(arccos 0,85) = 10,54 kvar
Q2 = 7·tan(arccos 0,8) = 5,25 kvar
المجاميع
P = 17 + 7 = 24 kW
Q = 10,54 + 5,25 = 15,79 kvar
S = √(24² + 15,79²) = 28,73 kVA
التيار الكلي
I = S/V = 28726/230 = 124,9 A
الإجابة
I = 124,9 A
6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة
الإجابة: I = 71,1 A
قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.
القدرة غير الفعّالة قبل وبعد
لا تتغيّر القدرة الفعلية P؛ تتغيّر فقط القدرة غير الفعّالة المسحوبة من الشبكة.
Q1 = 15·tan(arccos 0,7) = 15,3 kvar
QC = V²·2πf·C = 240²·2π·60·330·10⁻⁶ = 7166 var = 7,166 kvar
Q2 = 15,3 − 7,166 = 8,137 kvar
القدرة الظاهرية الجديدة
S2 = √(15² + 8,137²) = 17,07 kVA
تيار الخط الجديد
I = S2/V = 17065/240 = 71,1 A
الإجابة
I = 71,1 A
7.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق
الإجابة: BW = 35,01 Hz
معامل الجودة وعرض النطاق: في الدائرة الرنانة Q = 2π·(الطاقة المختزنة)/(الطاقة المفقودة في الدورة). في RLC على التوالي Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)؛ وفي RLC على التوازي Q = R/(ω0L) = R√(C/L). عرض النطاق بين ترددي نصف القدرة f1 وf2 (حيث تكون القدرة النصف والتيار أو الجهد 1/√2 من ذروته) هو BW = f2 − f1 = f0/Q، ويساوي R/(2πL) على التوالي و1/(2πRC) على التوازي. تردد الرنين هو الوسط الهندسي f0 = √(f1f2)، وf1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). تجعل الفواقد التذبذب يتضاءل أيضًا: في RLC على التوالي تتناقص السعة كـ e−Rt/(2L).
عرض النطاق بوحدة rad/s
R/L = 22/0,1 = 220 rad/s
عرض النطاق بوحدة Hz
BW = 220/(2π) = 35,01 Hz = 35,01 Hz
الإجابة
BW = 35,01 Hz
مع f₀ = 1,073 kHz يعطي ذلك Q = 30,65.
8.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق
الإجابة: n = 44,13
معامل الجودة وعرض النطاق: في الدائرة الرنانة Q = 2π·(الطاقة المختزنة)/(الطاقة المفقودة في الدورة). في RLC على التوالي Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)؛ وفي RLC على التوازي Q = R/(ω0L) = R√(C/L). عرض النطاق بين ترددي نصف القدرة f1 وf2 (حيث تكون القدرة النصف والتيار أو الجهد 1/√2 من ذروته) هو BW = f2 − f1 = f0/Q، ويساوي R/(2πL) على التوالي و1/(2πRC) على التوازي. تردد الرنين هو الوسط الهندسي f0 = √(f1f2)، وf1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). تجعل الفواقد التذبذب يتضاءل أيضًا: في RLC على التوالي تتناقص السعة كـ e−Rt/(2L).
نصف عمر السعة
t = 2·0,0022·ln 2/5 = 0,00061 s
عدد الدورات
n = t·f0 = 0,00061·72343 = 44,13
الإجابة
n = 44,13
اختصار: n = Q·ln 2/π مع Q = 200.
9.القدرة ثلاثية الطور
الإجابة: IL = 124,7 A
النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، VL = √3·Vph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، IL = √3·Iph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
القدرة الكهربائية الداخلة
Pin = Pout/η = 75/0,93 = 80,65 kW
تيار الخط
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 80645/(√3·415·0,9) = 124,7 A
الإجابة
IL = 124,7 A
10.القدرة ثلاثية الطور
الإجابة: Cph = 1036 µF
النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، VL = √3·Vph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، IL = √3·Iph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. تحسين معامل القدرة: تقدّم المكثّفات القدرة غير الفعّالة محليًا، QC = P·(tan φ1 − tan φ2). يقدّم كل مكثّف من المكثّفات الثلاثة QC/3 = V²·ω·C، حيث V الجهد على ذلك المكثّف: VL في مجموعة Δ، و VL/√3 في مجموعة Y.
القدرة غير الفعّالة قبل وبعد
القدرة الفعّالة لا تتغيّر، لذا يحدّد كل معامل قدرة القدرة غير الفعّالة: Q = P·tan φ.
الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.
مكافئ ثيفينين كما يراه المكثّف
اقصر المصدر لإيجاد Rth؛ وافتح المكثّف لإيجاد الجهد الذي سيستقر عنده.
Rth = R1 ∥ R2 = 1·2,2/(1 + 2,2) = 0,6875 kΩ
vC(∞) = 20·2,2/(1 + 2,2) = 13,75 V
الثابت الزمني
τ = Rth·C = 0,6875·68 = 46,75 ms
الإجابة
τ = 46,75 ms
12.الحالات العابرة RC و RL
الإجابة: i = 1,541 A
الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.
القيمة الابتدائية، القيمة النهائية، الثابت الزمني
قبل t = 0 تكون المقاومتان كلتاهما في الحلقة؛ وبعدها يتجاوز المفتاح المغلق R₂.
i(0) = 9/(5 + 47) = 0,1731 A
i(∞) = 9/5 = 1,8 A
τ = L/R = 68/5 = 13,6 ms
i(t) = 1,8 + (0,1731 − 1,8)·e−t/τ
التيار في اللحظة المعطاة
i(25) = 1,8 + (−1,627)·e−25/13,6 = 1,541 A
الإجابة
i = 1,541 A
13.ثيفنن ونورتن
الإجابة: IN = 0,8571 A
نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد Vth على التوالي مع مقاومة Rth. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار IN = Vth/Rth على التوازي مع Rth.
أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر
استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.
R1 ∥ R2 = 4·2/(4+2) = 1,333 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,333 + 8 = 9,333 Ω
أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة
عندما يكون a–b مفتوحًا لا يمرّ تيار في R₃، فلا هبوط عليه و V_b = V_A. يشكّل R₁ و R₂ مقسّم جهد.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 24·2/(4+2) = 8 V
مكافئ نورتن
مصدر نورتن هو الدائرة نفسها منظورًا إليها كمصدر تيار على التوازي مع R_th. تياره هو تيار القصر بين a–b.
IN = Vth/Rth = 8/9,333 = 0,8571 A
14.ثيفنن ونورتن
الإجابة: Vth = −8,485 V
نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد Vth على التوالي مع مقاومة Rth. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار IN = Vth/Rth على التوازي مع Rth.
أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر
استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.
R1 ∥ R2 = 8·25/(8+25) = 6,061 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6,061 + 5 = 11,06 Ω
أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة
عندما يكون a–b مفتوحًا، المسار الوحيد لـ Iₛ هو عبر R₃ إلى العقدة A. أوجد V_A بتراكب V₁ و Iₛ، ثم أضف الهبوط على R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 13,64 + (−2)·6,061 = 1,515 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 1,515 + (−2)·5 = −8,485 V
15.مخططات بودي والهوامش
الإجابة: |G(jω)| = 20,54 dB
الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ωc = 1/(RC) أو R/L، وfc = ωc/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) وφ = −atan(ω/ωc). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jωc). تردد تقاطع الطور ω180: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.
الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ωc = 1/(RC) أو R/L، وfc = ωc/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) وφ = −atan(ω/ωc). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jωc). تردد تقاطع الطور ω180: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.