تحليل الدوائر الكهربائية 2: دوائر التيار المتردد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الأعداد المركبة

الصيغة الديكارتية: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
الطويلة والسعة: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
الصيغتان القطبية والأسية: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
القسمة: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
حاصل الضرب وناتج القسمة: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
دي موافر: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
الجذور النونية: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
معادلة تربيعية مع p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

الطريقة

قرّر أي صيغة تناسب العملية: الصيغة الديكارتية a + jb للجمع والطرح، والقطبية r∠θ للضرب والقسمة والقوى والجذور.
اضرب بالفك مع j² = −1؛ واقسم بضرب البسط والمقام في مرافق المقام.
حوّل بـ r = √(a² + b²) و θ من رسم للنقطة (a, b) (تحقق من الربع)، وعد بـ a = r cos θ، b = r sin θ.
للقوى استخدم دي موافر، (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ؛ ولـ zⁿ = R∠φ اسرد كل الجذور الـ n: R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
التردد الزاوي: ω = 2πf
المقدار والزاوية: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات: V = I·Z

الطريقة

حوّل التردد: ω = 2πf.
أوجد كل ممانعة مفاعلة: X_L = ωL و X_C = 1/(ωC).
اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

القدرة الفعلية: P = V·I·cos φ
القدرة غير الفعّالة: Q = V·I·sin φ
القدرة الظاهرية: S = V·I = √(P² + Q²)
معامل القدرة: pf = cos φ = P/S
مكثّف التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

التردد الطبيعي: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
الطاقة: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
تيار الذروة: I_max = V₀√(C/L)
معامل الجودة: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
RLC على التوالي: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
RLC على التوازي: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
عرض النطاق: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
ترددات نصف القدرة: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
دائرة رنين ذات مقاومة ملف r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
تضاؤل السعة: e^−Rt/(2L)

الطريقة

أوجد تردد الرنين أولًا: ω₀ = 1/√(LC) وf₀ = ω₀/(2π).
حدد هل الدائرة على التوالي أم على التوازي: على التوالي Q = (1/R)√(L/C)، وعلى التوازي Q = R√(C/L).
استخدم BW = f₀/Q لعرض النطاق، أو الصيغتين المختصرتين R/(2πL) (توالٍ) و1/(2πRC) (توازٍ).
في أسئلة الطاقة، استخدم أن الطاقة الكلية ½CV₀² تبقى ثابتة في دائرة LC المثالية وتتنقل بين C وL كل ربع دورة.

القدرة ثلاثية الطور

توصيل نجمة (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
توصيل دلتا (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
القدرة الفعّالة الكلية: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
القدرة الظاهرية والقدرة غير الفعّالة: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
مكثّفات التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
الجهد على كل مكثّف: Δ: V_L Y: V_L/√3
قدرة دخل المحرّك: P_in = P_out/η

الحالات العابرة RC و RL

الثابت الزمني: τ = RC | τ = L/R
الاستجابة: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
المكثّف في التيار المستمر: دائرة مفتوحة؛ لا يمكن أن يقفز v_C
الملف في التيار المستمر: قصر؛ لا يمكن أن يقفز i_L
الحالة المستقرة: t ≈ 5τ

الطريقة

أوجد القيمة الابتدائية مباشرة بعد التبديل: جهد المكثّف وتيار الملف لا يقفزان.
أوجد القيمة النهائية بعد التبديل بزمن طويل: يتصرّف المكثّف كدائرة مفتوحة، والملف كقصر.
أوجد الثابت الزمني: τ = RC أو τ = L/R، باستخدام المقاومة التي يراها المكثّف أو الملف.
استخدم x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

ثيفنن ونورتن

جهد ثيفنن: V_th = V_{open circuit}
مقاومة ثيفنن: R_th: كل المصادر مُطفأة، منظورًا إليها من a–b
تيار نورتن: I_N = V_th/R_th
تيار الحِمل: I_L = V_th/(R_th + R_L)
أقصى نقل للقدرة: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

الطريقة

أزل الحِمل وعلّم الطرفين a و b.
أوجد جهد الدائرة المفتوحة بين a و b: هذا هو V_th.
أطفئ كل المصادر المستقلة وأوجد المقاومة المرئية من a–b: هذه هي R_th.
أعد الحِمل إلى الدائرة المكافئة: V_th على التوالي مع R_th.
لمكافئ نورتن، حوّل: I_N = V_th/R_th، مع R_N = R_th على التوازي.

2مسائل تدريبية

1.الأعداد المركبةمتوسطة

للعدد z = 3·e^j1,2 زاوية بالراديان. جد جزءه التخيلي b.

r = 3θ = 1,2 rad

b =

2.الأعداد المركبةصعبة

أحد جذور z³ + 6z² + 18z + 40 = 0 هو z₁ = −1 + j3. المعاملات حقيقية. جد الجذر الحقيقي r.

z₁ = −1 + j3

r =

3.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة

مقاومة وملف موصولان على التوازي على مصدر 100 V (فعّال)، 100 Hz. أوجد زاوية الطور φ للمعاوقة بالدرجات (موجبة عندما يتأخّر التيار عن الجهد).

V = 100 V (rms)f = 100 HzR = 80 ΩL = 100 mH

φ = °

4.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة

دائرة RLC على التوالي لها R = 15 Ω و L = 50 mH و C = 0,022 µF. أوجد عرض النطاق B لها (عرض النطاق بين تردّدَي نصف القدرة)، بوحدة Hz.

R = 15 ΩL = 50 mHC = 0,022 µF

B = Hz

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةمتوسطة

يستهلك محرّك أحادي الطور 15 kW بمعامل قدرة 0,65 متأخّر من مصدر 240 V. أوجد القدرة غير الفعّالة Q التي يسحبها.

P = 15 kWpf = 0,65V = 240 V

Q = kvar

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةصعبة

يأخذ حِمل أحادي الطور 9 kW بمعامل قدرة 0,7 متأخّر من مصدر 240 V، 60 Hz. يُوصل مكثّف سعته 150 µF على التوازي مع الحِمل. أوجد معامل القدرة الجديد cos φ الذي يراه المصدر.

P = 9 kWpf₁ = 0,7V = 240 Vf = 60 HzC = 150 µF

cos φ =

7.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقمتوسطة

لدائرة RLC على التوالي R = 47 Ω وL = 470 µH وC = 2,2 nF. أوجد معامل جودتها Q.

R = 47 ΩL = 470 µHC = 2,2 nF

Q =

8.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقصعبة

تتكون دائرة رنين متوازية من مكثف 100 nF وملف 1 mH بمقاومة لفّ 20 Ω. عند الرنين تتصرف كمقاومة، ومقاومتها الديناميكية R_D = L/(C·r). أوجد R_D بوحدة kΩ.

L = 1 mHC = 100 nFr = 20 Ω

R_D = kΩ

9.القدرة ثلاثية الطورمتوسطة

حمل ثلاثي الطور متوازن يسحب تيار خط مقداره 75 A من مصدر جهد خطه 208 V. معامل القدرة 0,8 متأخر. أوجد القدرة الفعّالة الكلية P التي يسحبها الحمل بالـ kW.

V_L = 208 VI_L = 75 Acos φ = 0,8

P = kW

10.القدرة ثلاثية الطورصعبة

حمل ثلاثي الطور متوازن يأخذ 150 kW عند معامل قدرة 0,65 متأخر من مصدر 480 V (جهد خط) و 60 Hz. يجب أن ترفع مجموعة مكثّفات ثلاثية الطور موصولة على التوازي مع الحمل معامل القدرة الكلي إلى 0,9 متأخر. تبقى القدرة الفعّالة كما هي. المكثّفات موصولة دلتا (Δ). أوجد السعة C_ph لكل مكثّف بالـ µF.

P = 150 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,9V_L = 480 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.الحالات العابرة RC و RLمتوسطة

لا يمرّ تيار في الملف قبل أن يُغلق المفتاح عند t = 0. أوجد الجهد v_L على الملف عند t = 5 ms.

V_s = 15 VR = 33 ΩL = 220 mHt = 5 ms

v_L = V

12.الحالات العابرة RC و RLصعبة

المفتاح الموصول على طرفي R₂ مفتوح منذ وقت طويل، لذا تيار الملف مستقر. عند t = 0 يُغلق المفتاح ويقصر R₂. بعد كم من t = 0 يبلغ تيار الملف 0,773 A؟ أوجد t.

V_s = 20 VR₁ = 22 ΩR₂ = 22 ΩL = 33 mH

t = ms

13.ثيفنن ونورتنمتوسطة

أوجد تيار نورتن I_N: التيار الذي يسري من a إلى b إذا قُصر الطرفان.

V₁ = 15 VR₁ = 15 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 20 Ω

I_N = A

14.ثيفنن ونورتنصعبة

وُصل حِمل R_L = 5 Ω بين a–b. استبدل بقية الدائرة بمكافئ ثيفنن وأوجد تيار الحِمل I_L.

V₁ = 30 VI_s = 0,5 AR₁ = 8 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 12 ΩR_L = 5 Ω

I_L = A

15.مخططات بودي والهوامشمتوسطة

لـ مرشح RC لتمرير الترددات العالية الموضح R = 47 kΩ, C = 4,7 nF. يُطبَّق دخل جيبي مقداره 1,4 kHz. أوجد إزاحة الطور φ للجهد v_out بالنسبة إلى v_in، بالدرجات.

R = 47 kΩC = 4,7 nFf = 1,4 kHz

φ = °

16.مخططات بودي والهوامشصعبة

حلقة تغذية عكسية وحدوية دالة نقلها المفتوحة L(s) = 1,4/(s(s + 1)). أوجد هامش الطور PM بالدرجات.

L(s) = 1,4/(s(s + 1))

PM = °

3المحاليل

1.الأعداد المركبة

الإجابة: b = 2,796

الصيغة القطبية: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ، حيث r = |z| و θ = arg z. والعودة إلى الصيغة الديكارتية: a = r cos θ، b = r sin θ. تحتاج السعة إلى الربع: θ = atan(b/a) فقط عندما a > 0؛ وعندما a < 0 أضف 180° أو اطرحها. في الصيغة القطبية الضرب سهل: اضرب الطويلتين واجمع السعتين؛ وللقسمة اقسم الطويلتين واطرح السعتين.

صيغة أويلر

z = 3·(cos 1,2 + j sin 1,2)

المركّبات (بالراديان)

a = 3·cos 1,2 = 1,087

b = 3·sin 1,2 = 2,796

b = 2,796

الإجابة

b = 2,796

2.الأعداد المركبة

الإجابة: r = −4

دي موافر والجذور: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. للمعادلة zⁿ = R∠φ بالضبط n جذرًا، كلها بطويلة R^1/n، عند السعات (φ + 360°·k)/n لـ k = 0, 1, …, n − 1: تقع متباعدة بانتظام على دائرة، بفارق 360°/n. للمعادلة التربيعية z² + pz + q = 0 مع p² < 4q جذران مركبان z = −p/2 ± j√(q − p²/4)؛ وكثير الحدود ذو المعاملات الحقيقية تأتي جذوره المركبة دائمًا في أزواج مترافقة a ± jb.

زوج مترافق

z₂ = −1 − j3

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·(−1)·z + ((−1)² + 3²) = z² + 2z + 10

حلّل العامل التربيعي

z³ + 6z² + 18z + 40 = (z² + 2z + 10)(z + 4)

الجذر الحقيقي

r = −4

الإجابة

r = −4

تحقق بمجموع الجذور: z₁ + z₂ + r = −2 + (−4) = −6 = −(6).

3.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: φ = 51,85 °

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

المفاعلة

X_L = ωL = 2π·100·0,1 = 62,83 Ω

تيارات الفروع

الفرعان موصولان مباشرةً على طرفي المصدر، لذا يرى كل منهما الجهد الكامل V.

I_R = V/R = 100/80 = 1,25 A

I_X = V/X_L = 100/62,83 = 1,592 A

التيار الكلي

تيار المقاومة متّفق في الطور مع V والتيار المفاعل مُزاح بـ 90°، لذا يُجمعان كضلعي مثلث قائم.

I = √(I_R² + I_X²) = √(1,25² + 1,592²) = 2,024 A

زاوية الطور

تيار الملف يتأخّر عن V، لذا يتأخّر التيار الكلي وتكون الزاوية موجبة.

φ = arctan(I_X/I_R) = arctan(1,592/1,25) = 51,85°

الإجابة

φ = 51,85°

4.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: B = 47,75 Hz

تردد الرنين

f₀ = 1/(2π·√(0,05·0,022·10⁻⁶)) = 4799 Hz

معامل الجودة

Q يقارن المفاعلة عند الرنين بالمقاومة: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/15)·√(0,05/(0,022·10⁻⁶)) = 100,5

عرض النطاق

B = f₀/Q = 4799/100,5 = 47,75 Hz

الإجابة

B = 47,75 Hz

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: Q = 17,54 kvar

قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.

الزاوية

φ = arccos(0,65) = 49,46°, tan φ = 1,169

القدرة غير الفعّالة

Q = P·tan φ = 15·1,169 = 17,54 kvar

الإجابة

Q = 17,54 kvar

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: cos φ = 0,8353

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

لا تتغيّر القدرة الفعلية P؛ تتغيّر فقط القدرة غير الفعّالة المسحوبة من الشبكة.

Q₁ = 9·tan(arccos 0,7) = 9,182 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 240²·2π·60·150·10⁻⁶ = 3257 var = 3,257 kvar

Q₂ = 9,182 − 3,257 = 5,925 kvar

القدرة الظاهرية الجديدة

S₂ = √(9² + 5,925²) = 10,78 kVA

معامل القدرة الجديد

cos φ = P/S₂ = 9/10,78 = 0,8353

الإجابة

cos φ = 0,8353

7.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

الإجابة: Q = 9,834

معامل الجودة وعرض النطاق: في الدائرة الرنانة Q = 2π·(الطاقة المختزنة)/(الطاقة المفقودة في الدورة). في RLC على التوالي Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C)؛ وفي RLC على التوازي Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). عرض النطاق بين ترددي نصف القدرة f₁ وf₂ (حيث تكون القدرة النصف والتيار أو الجهد 1/√2 من ذروته) هو BW = f₂ − f₁ = f₀/Q، ويساوي R/(2πL) على التوالي و1/(2πRC) على التوازي. تردد الرنين هو الوسط الهندسي f₀ = √(f₁f₂)، وf_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). تجعل الفواقد التذبذب يتضاءل أيضًا: في RLC على التوالي تتناقص السعة كـ e^−Rt/(2L).

المعاوقة المميِّزة

√(L/C) = √(0,00047/2,2 × 10⁻⁹) = 462,2 Ω

معامل الجودة

Q = 462,2/47 = 9,834

الإجابة

Q = 9,834

تردد الرنين هو 156,5 kHz، إذن BW = f₀/Q = 15,92 kHz.

8.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

الإجابة: R_D = 0,5 kΩ

المقاومة الديناميكية

R_D = 0,001/(1 × 10⁻⁷·20) = 500 Ω = 0,5 kΩ

تحقق باستخدام Q

Q = (1/r)·√(L/C) = 5, Q²·r = 500 Ω

الإجابة

R_D = 0,5 kΩ

9.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: P = 21,62 kW

القدرة الظاهرية

S = √3·V_L·I_L = √3·208·75 = 27,02 kVA

القدرة الفعلية

P = S·cos φ = 27,02·0,8 = 21,62 kW

الإجابة

P = 21,62 kW

10.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: C_ph = 394,2 µF

النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، V_L = √3·V_ph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، I_L = √3·I_ph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. تحسين معامل القدرة: تقدّم المكثّفات القدرة غير الفعّالة محليًا، Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). يقدّم كل مكثّف من المكثّفات الثلاثة Q_C/3 = V²·ω·C، حيث V الجهد على ذلك المكثّف: V_L في مجموعة Δ، و V_L/√3 في مجموعة Y.

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

القدرة الفعّالة لا تتغيّر، لذا يحدّد كل معامل قدرة القدرة غير الفعّالة: Q = P·tan φ.

Q₁ = 150·tan(acos 0,65) = 150·1,169 = 175,4 kvar

Q₂ = 150·tan(acos 0,9) = 150·0,4843 = 72,65 kvar

القدرة غير الفعّالة من المكثّفات

Q_C = Q₁ − Q₂ = 102,7 kvar

السعة لكل طور

في مجموعة Δ يوصل كل مكثّف بين خطين.

V = 480 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 34240/(377·480²) = 394,2 µF

الإجابة

C_ph = 394,2 µF

11.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: v_L = 7,085 V

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

الثابت الزمني والتيار النهائي

بعد إغلاق المفتاح بوقت طويل يتصرّف الملف كقصر، لذا يحدّد R وحده التيار النهائي.

τ = L/R = 220 mH / 33 Ω = 6,667 ms

i(∞) = V_s/R = 15/33 = 0,4545 A

جهد الملف

عند t = 0 يظهر كامل جهد المصدر على الملف؛ ثم يضمحل إلى الصفر.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 15·e^−5/6,667 = 7,085 V

الإجابة

v_L = 7,085 V

12.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: t = 1,809 ms

القيمة الابتدائية، القيمة النهائية، الثابت الزمني

قبل t = 0 تكون المقاومتان كلتاهما في الحلقة؛ وبعدها يتجاوز المفتاح المغلق R₂.

i(0) = 20/(22 + 22) = 0,4545 A

i(∞) = 20/22 = 0,9091 A

τ = L/R = 33/22 = 1,5 ms

i(t) = 0,9091 + (0,4545 − 0,9091)·e^−t/τ

حلّ لإيجاد الزمن

e^−t/τ = (0,773 − 0,9091)/(0,4545 − 0,9091) = 0,2994

t = 1,5·ln(3,34) = 1,809 ms

الإجابة

t = 1,809 ms

13.ثيفنن ونورتن

الإجابة: I_N = 0,1765 A

نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد V_th على التوالي مع مقاومة R_th. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار I_N = V_th/R_th على التوازي مع R_th.

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R₁ ∥ R₂ = 15·6/(15+6) = 4,286 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4,286 + 20 = 24,29 Ω

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة

عندما يكون a–b مفتوحًا لا يمرّ تيار في R₃، فلا هبوط عليه و V_b = V_A. يشكّل R₁ و R₂ مقسّم جهد.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 15·6/(15+6) = 4,286 V

مكافئ نورتن

مصدر نورتن هو الدائرة نفسها منظورًا إليها كمصدر تيار على التوازي مع R_th. تياره هو تيار القصر بين a–b.

I_N = V_th/R_th = 4,286/24,29 = 0,1765 A

14.ثيفنن ونورتن

الإجابة: I_L = 1,211 A

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R₁ ∥ R₂ = 8·12/(8+12) = 4,8 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4,8 + 12 = 16,8 Ω

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة

عندما يكون a–b مفتوحًا، المسار الوحيد لـ Iₛ هو عبر R₃ إلى العقدة A. أوجد V_A بتراكب V₁ و Iₛ، ثم أضف الهبوط على R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 18 + 0,5·4,8 = 20,4 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 20,4 + 0,5·12 = 26,4 V

صِل الحِمل بمكافئ ثيفنن

يتصرّف مصدر ثيفنن و R_th على التوالي عند a–b تمامًا كالدائرة الأصلية، فيرى الحِمل حلقة توالٍ بسيطة.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 26,4/(16,8 + 5) = 1,211 A

15.مخططات بودي والهوامش

الإجابة: φ = 27,23 °

الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ω_c = 1/(RC) أو R/L، وf_c = ω_c/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) وφ = −atan(ω/ω_c). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jω_c). تردد تقاطع الطور ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.

تردد الركن

ω_c = 1/(RC) = 1/(47000·4,7 × 10⁻⁹) = 4527 rad/s

f_c = 720,5 Hz → f/f_c = 1400/720,5 = 1,943

الطور

φ = 90° − atan(1,943) = 27,23°

الإجابة

φ = 27,23°

16.مخططات بودي والهوامش

الإجابة: PM = 45,19 °

تقاطع الكسب

ω⁴ + 1ω² − 1,96 = 0

ω² = (−1 + √(1 + 4·1,96))/2 = 0,9866

ω_c = 0,9933 rad/s

هامش الطور

∠L(jω_c) = −90° − atan(0,9933/1) = −134,8°

PM = 180° + ∠L = 45,19°

الإجابة

PM = 45,19°

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

تحليل الدوائر الكهربائية 2: دوائر التيار المتردد: حزمة المراجعة المكثفة

1القوانين وطرق الحل

الأعداد المركبة

الطريقة

معاوقة التيار المتردد والطوريات

الطريقة

قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

الطريقة

القدرة ثلاثية الطور

الحالات العابرة RC و RL

الطريقة

ثيفنن ونورتن

الطريقة

2مسائل تدريبية

3المحاليل

صيغة أويلر

المركّبات (بالراديان)

الإجابة

زوج مترافق

حلّل العامل التربيعي

الجذر الحقيقي

الإجابة

المفاعلة

تيارات الفروع

التيار الكلي

زاوية الطور

الإجابة

تردد الرنين

معامل الجودة

عرض النطاق

الإجابة

الزاوية

القدرة غير الفعّالة

الإجابة

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

القدرة الظاهرية الجديدة

معامل القدرة الجديد

الإجابة

المعاوقة المميِّزة

معامل الجودة

الإجابة

المقاومة الديناميكية

تحقق باستخدام Q

الإجابة

القدرة الظاهرية

القدرة الفعلية

الإجابة

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

القدرة غير الفعّالة من المكثّفات

السعة لكل طور

الإجابة

الثابت الزمني والتيار النهائي

جهد الملف

الإجابة

القيمة الابتدائية، القيمة النهائية، الثابت الزمني

حلّ لإيجاد الزمن

الإجابة

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة

مكافئ نورتن

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة

صِل الحِمل بمكافئ ثيفنن

تردد الركن

الطور

الإجابة

تقاطع الكسب

هامش الطور

الإجابة

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة