حدد هل الدائرة على التوالي أم على التوازي: على التوالي Q = (1/R)√(L/C)، وعلى التوازي Q = R√(C/L).
استخدم BW = f₀/Q لعرض النطاق، أو الصيغتين المختصرتين R/(2πL) (توالٍ) و1/(2πRC) (توازٍ).
في أسئلة الطاقة، استخدم أن الطاقة الكلية ½CV₀² تبقى ثابتة في دائرة LC المثالية وتتنقل بين C وL كل ربع دورة.
القدرة ثلاثية الطور
توصيل نجمة (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
توصيل دلتا (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
القدرة الفعّالة الكلية
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
القدرة الظاهرية والقدرة غير الفعّالة
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
مكثّفات التصحيح
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
الجهد على كل مكثّف
Δ: VL Y: VL/√3
قدرة دخل المحرّك
Pin = Pout/η
الحالات العابرة RC و RL
الثابت الزمني
τ = RC | τ = L/R
الاستجابة
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
المكثّف في التيار المستمر
دائرة مفتوحة؛ لا يمكن أن يقفز vC
الملف في التيار المستمر
قصر؛ لا يمكن أن يقفز iL
الحالة المستقرة
t ≈ 5τ
الطريقة
أوجد القيمة الابتدائية مباشرة بعد التبديل: جهد المكثّف وتيار الملف لا يقفزان.
أوجد القيمة النهائية بعد التبديل بزمن طويل: يتصرّف المكثّف كدائرة مفتوحة، والملف كقصر.
أوجد الثابت الزمني: τ = RC أو τ = L/R، باستخدام المقاومة التي يراها المكثّف أو الملف.
استخدم x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
ثيفنن ونورتن
جهد ثيفنن
Vth = Vopen circuit
مقاومة ثيفنن
Rth: كل المصادر مُطفأة، منظورًا إليها من a–b
تيار نورتن
IN = Vth/Rth
تيار الحِمل
IL = Vth/(Rth + RL)
أقصى نقل للقدرة
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
الطريقة
أزل الحِمل وعلّم الطرفين a و b.
أوجد جهد الدائرة المفتوحة بين a و b: هذا هو Vth.
أطفئ كل المصادر المستقلة وأوجد المقاومة المرئية من a–b: هذه هي Rth.
أعد الحِمل إلى الدائرة المكافئة: Vth على التوالي مع Rth.
لمكافئ نورتن، حوّل: IN = Vth/Rth، مع RN = Rth على التوازي.
2مسائل تدريبية
1.الأعداد المركبةمتوسطة
اكتب z = 1 + j4 بالصيغة الأسية r·ejθ. أعطِ θ بالراديان، بين −π و π.
z = 1 + j4
θ = rad
2.الأعداد المركبةصعبة
استخدم مبرهنة دي موافر لإيجاد الجزء الحقيقي لـ z⁶ حيث z = 1 − j√3.
z = 1 − j√3n = 6
Re(z⁶) =
3.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة
دائرة RLC على التوالي مع C = 22 µF يجب أن ترنّ عند 100 Hz. أوجد المحاثة L المطلوبة.
f0 = 100 HzC = 22 µF
L = mH
4.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة
دائرة RLC على التوالي لها R = 20 Ω و L = 50 mH و C = 1 µF. أوجد عرض النطاق B لها (عرض النطاق بين تردّدَي نصف القدرة)، بوحدة Hz.
R = 20 ΩL = 50 mHC = 1 µF
B = Hz
5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةمتوسطة
يأخذ حِمل حثي 4,5 A و 540 W من مصدر أحادي الطور 240 V (فعّال). مثّله بمقاومة R على التوالي مع مفاعلة X. أوجد X.
V = 240 VI = 4,5 AP = 540 W
X = Ω
6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةصعبة
مصدر 120 V (فعّال)، 1000 Hz له معاوقة داخلية Zs = 8 + j30 Ω. يمكن اختيار معاوقة الحِمل ZL بحرية. الحِمل المناسب لأقصى قدرة مكوّن من مقاومة على التوالي مع مكثّف. أوجد السعة C.
Vs = 120 V (rms)f = 1000 HzZs = 8 + j30 Ω
C = µF
7.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقمتوسطة
لدائرة RLC على التوازي R = 1 kΩ وL = 2,2 mH وC = 47 nF. أوجد معامل جودتها Q.
R = 1 kΩL = 2,2 mHC = 47 nF
Q =
8.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقصعبة
تعمل دائرة RLC على التوالي (R = 1 Ω، L = 2,2 mH، C = 2,2 µF) عند الرنين بسعة تيار 100 mA. أوجد الطاقة Ecycle المبددة في R خلال دورة واحدة، بوحدة µJ.
R = 1 ΩL = 2,2 mHC = 2,2 µFIm = 100 mA
Ecycle = µJ
9.القدرة ثلاثية الطورمتوسطة
حمل متوازن موصول Y ممانعته 12 + j5 Ω لكل طور موصول بمصدر ثلاثي الطور متوازن جهد خطه 480 V. أوجد القدرة الفعّالة الكلية P التي يمتصّها الحمل بالـ kW.
VL = 480 VZ = 12 + j5 Ω لكل طور
P = kW
10.القدرة ثلاثية الطورصعبة
حمل ثلاثي الطور متوازن يأخذ 300 kW عند معامل قدرة 0,72 متأخر من مصدر 400 V (جهد خط) و 60 Hz. يجب أن ترفع مجموعة مكثّفات ثلاثية الطور موصولة على التوازي مع الحمل معامل القدرة الكلي إلى 0,95 متأخر. تبقى القدرة الفعّالة كما هي. المكثّفات موصولة نجمة (Y). أوجد السعة Cph لكل مكثّف بالـ µF.
P = 300 kWpf1 = 0,72pf2 = 0,95VL = 400 Vf = 60 Hz
Cph = µF
11.الحالات العابرة RC و RLمتوسطة
لا يمرّ تيار في الملف قبل أن يُغلق المفتاح عند t = 0. أوجد الطاقة W(∞) المخزّنة في الملف بعد استقرار الدائرة، بوحدة mJ.
Vs = 9 VR = 22 ΩL = 150 mH
W(∞) = mJ
12.الحالات العابرة RC و RLصعبة
المفتاح مغلق منذ وقت طويل، لذا الدائرة في حالة مستقرة. عند t = 0 يُفتح المفتاح. أوجد جهد المكثّف vC عند t = 150 ms.
Vs = 12 VR1 = 10 kΩR2 = 6,8 kΩC = 68 µFt = 150 ms
vC = V
13.ثيفنن ونورتنمتوسطة
وُصل حِمل RL = 8 Ω بين a–b. استبدل بقية الدائرة بمكافئ ثيفنن وأوجد تيار الحِمل IL.
V1 = 18 VR1 = 4 ΩR2 = 3 ΩR3 = 2 ΩRL = 8 Ω
IL = A
14.ثيفنن ونورتنصعبة
أوجد تيار نورتن IN: التيار الذي يسري من a إلى b إذا قُصر الطرفان.
V1 = 6 VIs = 1 AR1 = 20 ΩR2 = 15 ΩR3 = 5 Ω
IN = A
15.مخططات بودي والهوامشمتوسطة
أوجد المقدار الدقيق |G(jω)| لـ G(s) = 900/((s + 5)(s + 15)) عند ω = 0,5 rad/s، بوحدة dB.
G(s) = 900/((s + 5)(s + 15))ω = 0,5 rad/s
|G(jω)| = dB
16.مخططات بودي والهوامشصعبة
حلقة تغذية عكسية وحدوية دالة نقلها المفتوحة L(s) = K/(s(s + 2)(s + 5)). أوجد الكسب K الذي يعطي هامش كسب قدره 6 dB.
L(s) = K/(s(s + 2)(s + 5))GM = 6 dB
K =
3المحاليل
1.الأعداد المركبة
الإجابة: θ = 1,326 rad
الصيغة القطبية: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ، حيث r = |z| و θ = arg z. والعودة إلى الصيغة الديكارتية: a = r cos θ، b = r sin θ. تحتاج السعة إلى الربع: θ = atan(b/a) فقط عندما a > 0؛ وعندما a < 0 أضف 180° أو اطرحها. في الصيغة القطبية الضرب سهل: اضرب الطويلتين واجمع السعتين؛ وللقسمة اقسم الطويلتين واطرح السعتين.
الطويلة
r = √(1 + 16) = 4,123
السعة بالراديان
θ = 75,96° = 75,96·π/180 = 1,326 rad
الصيغة الأسية
z = 4,123·ej1,326
الإجابة
θ = 1,326 rad
2.الأعداد المركبة
الإجابة: Re(z⁶) = 64
دي موافر والجذور: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. للمعادلة zⁿ = R∠φ بالضبط n جذرًا، كلها بطويلة R1/n، عند السعات (φ + 360°·k)/n لـ k = 0, 1, …, n − 1: تقع متباعدة بانتظام على دائرة، بفارق 360°/n. للمعادلة التربيعية z² + pz + q = 0 مع p² < 4q جذران مركبان z = −p/2 ± j√(q − p²/4)؛ وكثير الحدود ذو المعاملات الحقيقية تأتي جذوره المركبة دائمًا في أزواج مترافقة a ± jb.
الصيغة القطبية
z = 1 − j√3 = 2∠−60°
دي موافر
z⁶ = (2)⁶∠−360° = 64∠0°
الصيغة الديكارتية
z⁶ = 64·(cos 0° + j sin 0°) = 64
Re(z⁶) = 64
الإجابة
Re(z⁶) = 64
3.معاوقة التيار المتردد والطوريات
الإجابة: L = 115,1 mH
دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.
شرط الرنين
عند الرنين تُلغي المفاعلتان الحثية والسعوية بعضهما: ωL = 1/(ωC).
ω₀ = 2π·100 = 628,3 rad/s
L = 1/(ω₀²·C) = 1/(628,3²·22·10⁻⁶) = 115,1 mH
الإجابة
L = 115,1 mH
4.معاوقة التيار المتردد والطوريات
الإجابة: B = 63,66 Hz
دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.
قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.
المقاومة من القدرة الفعلية
R = P/I² = 540/4,5² = 26,67 Ω
المفاعلة من المعاوقة
|Z| = V/I = 240/4,5 = 53,33 Ω
X = √(|Z|² − R²) = √(53,33² − 26,67²) = 46,19 Ω
الإجابة
X = 46,19 Ω
6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة
الإجابة: C = 5,305 µF
قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.
المواءمة المرافقة
مفاعلة الحِمل تلغي مفاعلة المصدر، ومقاومة الحِمل تساوي مقاومة المصدر.
ZL = Zs* = 8 − j30 Ω
السعة
XC = 30 Ω → C = 1/(2π·1000·30) = 5,305 µF
الإجابة
C = 5,305 µF
7.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق
الإجابة: Q = 4,622
معامل الجودة وعرض النطاق: في الدائرة الرنانة Q = 2π·(الطاقة المختزنة)/(الطاقة المفقودة في الدورة). في RLC على التوالي Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)؛ وفي RLC على التوازي Q = R/(ω0L) = R√(C/L). عرض النطاق بين ترددي نصف القدرة f1 وf2 (حيث تكون القدرة النصف والتيار أو الجهد 1/√2 من ذروته) هو BW = f2 − f1 = f0/Q، ويساوي R/(2πL) على التوالي و1/(2πRC) على التوازي. تردد الرنين هو الوسط الهندسي f0 = √(f1f2)، وf1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). تجعل الفواقد التذبذب يتضاءل أيضًا: في RLC على التوالي تتناقص السعة كـ e−Rt/(2L).
تردد الرنين
ω₀ = 1/√(LC) = 98342 rad/s
معامل الجودة
Q = R/(ω₀L) = 1000/(98342·0,0022) = 4,622
الإجابة
Q = 4,622
عرض النطاق هو 1/(2πRC) = 3,386 kHz.
8.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق
الإجابة: Ecycle = 2,186 µJ
معامل الجودة وعرض النطاق: في الدائرة الرنانة Q = 2π·(الطاقة المختزنة)/(الطاقة المفقودة في الدورة). في RLC على التوالي Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)؛ وفي RLC على التوازي Q = R/(ω0L) = R√(C/L). عرض النطاق بين ترددي نصف القدرة f1 وf2 (حيث تكون القدرة النصف والتيار أو الجهد 1/√2 من ذروته) هو BW = f2 − f1 = f0/Q، ويساوي R/(2πL) على التوالي و1/(2πRC) على التوازي. تردد الرنين هو الوسط الهندسي f0 = √(f1f2)، وf1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). تجعل الفواقد التذبذب يتضاءل أيضًا: في RLC على التوالي تتناقص السعة كـ e−Rt/(2L).
النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، VL = √3·Vph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، IL = √3·Iph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
جهد الطور
Vph = 480/√3 = 277,1 V
تيار الطور
|Z| = √(12² + 5²) = 13 Ω
Iph = 277,1/13 = 21,32 A
القدرة الفعّالة الكلية
الجزء المقاومي فقط من كل ممانعة يمتصّ القدرة الفعّالة.
P = 3·Iph²·R = 3·21,32²·12 = 16,36 kW
الإجابة
P = 16,36 kW
تحقّق: cos φ = R/|Z| = 0,9231، و √3·VL·IL·cos φ يعطي القدرة نفسها.
10.القدرة ثلاثية الطور
الإجابة: Cph = 3159 µF
النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، VL = √3·Vph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، IL = √3·Iph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. تحسين معامل القدرة: تقدّم المكثّفات القدرة غير الفعّالة محليًا، QC = P·(tan φ1 − tan φ2). يقدّم كل مكثّف من المكثّفات الثلاثة QC/3 = V²·ω·C، حيث V الجهد على ذلك المكثّف: VL في مجموعة Δ، و VL/√3 في مجموعة Y.
القدرة غير الفعّالة قبل وبعد
القدرة الفعّالة لا تتغيّر، لذا يحدّد كل معامل قدرة القدرة غير الفعّالة: Q = P·tan φ.
الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.
الثابت الزمني والتيار النهائي
بعد إغلاق المفتاح بوقت طويل يتصرّف الملف كقصر، لذا يحدّد R وحده التيار النهائي.
τ = L/R = 150 mH / 22 Ω = 6,818 ms
i(∞) = Vs/R = 9/22 = 0,4091 A
الطاقة المخزّنة
W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·150·0,4091² = 12,55 mJ
الإجابة
W(∞) = 12,55 mJ
12.الحالات العابرة RC و RL
الإجابة: vC = 3,512 V
الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.
جهد المكثّف الابتدائي
في الحالة المستقرة يكون المكثّف دائرة مفتوحة، لذا يشكّل R₁ و R₂ مقسّم جهد. لا يمكن لجهد المكثّف أن يقفز عند فتح المفتاح.
vC(0) = 12·6,8/(10 + 6,8) = 4,857 V
الثابت الزمني بعد فتح المفتاح
τ = R2·C = 6,8·68 = 462,4 ms
التفريغ
vC(t) = 4,857·e−150/462,4 = 3,512 V
الإجابة
vC = 3,512 V
13.ثيفنن ونورتن
الإجابة: IL = 0,6585 A
نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد Vth على التوالي مع مقاومة Rth. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار IN = Vth/Rth على التوازي مع Rth.
أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر
استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.
R1 ∥ R2 = 4·3/(4+3) = 1,714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,714 + 2 = 3,714 Ω
أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة
عندما يكون a–b مفتوحًا لا يمرّ تيار في R₃، فلا هبوط عليه و V_b = V_A. يشكّل R₁ و R₂ مقسّم جهد.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 18·3/(4+3) = 7,714 V
صِل الحِمل بمكافئ ثيفنن
يتصرّف مصدر ثيفنن و R_th على التوالي عند a–b تمامًا كالدائرة الأصلية، فيرى الحِمل حلقة توالٍ بسيطة.
IL = Vth/(Rth + RL) = 7,714/(3,714 + 8) = 0,6585 A
14.ثيفنن ونورتن
الإجابة: IN = −0,8105 A
نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد Vth على التوالي مع مقاومة Rth. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار IN = Vth/Rth على التوازي مع Rth.
أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر
استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.
R1 ∥ R2 = 20·15/(20+15) = 8,571 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 8,571 + 5 = 13,57 Ω
أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة
عندما يكون a–b مفتوحًا، المسار الوحيد لـ Iₛ هو عبر R₃ إلى العقدة A. أوجد V_A بتراكب V₁ و Iₛ، ثم أضف الهبوط على R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 2,571 + (−1)·8,571 = −6 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −6 + (−1)·5 = −11 V
مكافئ نورتن
مصدر نورتن هو الدائرة نفسها منظورًا إليها كمصدر تيار على التوازي مع R_th. تياره هو تيار القصر بين a–b.
IN = Vth/Rth = −11/13,57 = −0,8105 A
15.مخططات بودي والهوامش
الإجابة: |G(jω)| = 21,54 dB
الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ωc = 1/(RC) أو R/L، وfc = ωc/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) وφ = −atan(ω/ωc). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jωc). تردد تقاطع الطور ω180: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.
الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ωc = 1/(RC) أو R/L، وfc = ωc/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) وφ = −atan(ω/ωc). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jωc). تردد تقاطع الطور ω180: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.