تحليل الدوائر الكهربائية 2: دوائر التيار المتردد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الأعداد المركبة

الصيغة الديكارتية: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
الطويلة والسعة: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
الصيغتان القطبية والأسية: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
القسمة: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
حاصل الضرب وناتج القسمة: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
دي موافر: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
الجذور النونية: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
معادلة تربيعية مع p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

الطريقة

قرّر أي صيغة تناسب العملية: الصيغة الديكارتية a + jb للجمع والطرح، والقطبية r∠θ للضرب والقسمة والقوى والجذور.
اضرب بالفك مع j² = −1؛ واقسم بضرب البسط والمقام في مرافق المقام.
حوّل بـ r = √(a² + b²) و θ من رسم للنقطة (a, b) (تحقق من الربع)، وعد بـ a = r cos θ، b = r sin θ.
للقوى استخدم دي موافر، (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ؛ ولـ zⁿ = R∠φ اسرد كل الجذور الـ n: R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
التردد الزاوي: ω = 2πf
المقدار والزاوية: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات: V = I·Z

الطريقة

حوّل التردد: ω = 2πf.
أوجد كل ممانعة مفاعلة: X_L = ωL و X_C = 1/(ωC).
اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

القدرة الفعلية: P = V·I·cos φ
القدرة غير الفعّالة: Q = V·I·sin φ
القدرة الظاهرية: S = V·I = √(P² + Q²)
معامل القدرة: pf = cos φ = P/S
مكثّف التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

التردد الطبيعي: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
الطاقة: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
تيار الذروة: I_max = V₀√(C/L)
معامل الجودة: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
RLC على التوالي: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
RLC على التوازي: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
عرض النطاق: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
ترددات نصف القدرة: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
دائرة رنين ذات مقاومة ملف r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
تضاؤل السعة: e^−Rt/(2L)

الطريقة

أوجد تردد الرنين أولًا: ω₀ = 1/√(LC) وf₀ = ω₀/(2π).
حدد هل الدائرة على التوالي أم على التوازي: على التوالي Q = (1/R)√(L/C)، وعلى التوازي Q = R√(C/L).
استخدم BW = f₀/Q لعرض النطاق، أو الصيغتين المختصرتين R/(2πL) (توالٍ) و1/(2πRC) (توازٍ).
في أسئلة الطاقة، استخدم أن الطاقة الكلية ½CV₀² تبقى ثابتة في دائرة LC المثالية وتتنقل بين C وL كل ربع دورة.

القدرة ثلاثية الطور

توصيل نجمة (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
توصيل دلتا (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
القدرة الفعّالة الكلية: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
القدرة الظاهرية والقدرة غير الفعّالة: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
مكثّفات التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
الجهد على كل مكثّف: Δ: V_L Y: V_L/√3
قدرة دخل المحرّك: P_in = P_out/η

الحالات العابرة RC و RL

الثابت الزمني: τ = RC | τ = L/R
الاستجابة: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
المكثّف في التيار المستمر: دائرة مفتوحة؛ لا يمكن أن يقفز v_C
الملف في التيار المستمر: قصر؛ لا يمكن أن يقفز i_L
الحالة المستقرة: t ≈ 5τ

الطريقة

أوجد القيمة الابتدائية مباشرة بعد التبديل: جهد المكثّف وتيار الملف لا يقفزان.
أوجد القيمة النهائية بعد التبديل بزمن طويل: يتصرّف المكثّف كدائرة مفتوحة، والملف كقصر.
أوجد الثابت الزمني: τ = RC أو τ = L/R، باستخدام المقاومة التي يراها المكثّف أو الملف.
استخدم x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

ثيفنن ونورتن

جهد ثيفنن: V_th = V_{open circuit}
مقاومة ثيفنن: R_th: كل المصادر مُطفأة، منظورًا إليها من a–b
تيار نورتن: I_N = V_th/R_th
تيار الحِمل: I_L = V_th/(R_th + R_L)
أقصى نقل للقدرة: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

الطريقة

أزل الحِمل وعلّم الطرفين a و b.
أوجد جهد الدائرة المفتوحة بين a و b: هذا هو V_th.
أطفئ كل المصادر المستقلة وأوجد المقاومة المرئية من a–b: هذه هي R_th.
أعد الحِمل إلى الدائرة المكافئة: V_th على التوالي مع R_th.
لمكافئ نورتن، حوّل: I_N = V_th/R_th، مع R_N = R_th على التوازي.

2مسائل تدريبية

1.الأعداد المركبةمتوسطة

اكتب z = 2,5∠160° بالصيغة الديكارتية a + jb وأعطِ الجزء الحقيقي a.

r = 2,5θ = 160°

a =

2.الأعداد المركبةصعبة

جذور zⁿ = w مع n = 5 و w = 243∠135° هي z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n)، k = 0, 1, …, 4. جد الجزء التخيلي لـ z₂.

w = 243∠135°n = 5k = 2

Im(z₂) =

3.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 12 V (فعّال)، 500 Hz. أوجد التيار الفعّال I.

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩL = 200 mHC = 1 µF

I = A

4.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة

دائرة RLC على التوالي لها R = 2 Ω و L = 1 mH و C = 0,047 µF. أوجد معامل الجودة Q لها عند الرنين.

R = 2 ΩL = 1 mHC = 0,047 µF

Q =

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةمتوسطة

يستهلك محرّك أحادي الطور 25 kW بمعامل قدرة 0,85 متأخّر من مصدر 240 V. أوجد القدرة غير الفعّالة Q التي يسحبها.

P = 25 kWpf = 0,85V = 240 V

Q = kvar

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةصعبة

يأخذ حِمل أحادي الطور 26 kW بمعامل قدرة 0,6 متأخّر من مصدر 400 V، 60 Hz. يُوصل مكثّف سعته 220 µF على التوازي مع الحِمل. أوجد تيار الخط الجديد I.

P = 26 kWpf₁ = 0,6V = 400 Vf = 60 HzC = 220 µF

I = A

7.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقمتوسطة

لدائرة RLC على التوالي R = 100 Ω وL = 47 mH وC = 220 pF. أوجد عرض نطاقها BW بوحدة Hz.

R = 100 ΩL = 47 mHC = 220 pF

BW = Hz

8.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقصعبة

تتكون دائرة رنين متوازية من مكثف 2,2 nF وملف 2,2 mH بمقاومة لفّ 5 Ω. عند الرنين تتصرف كمقاومة، ومقاومتها الديناميكية R_D = L/(C·r). أوجد R_D بوحدة kΩ.

L = 2,2 mHC = 2,2 nFr = 5 Ω

R_D = kΩ

9.القدرة ثلاثية الطورمتوسطة

حمل متوازن موصول Y ممانعته 18 + j24 Ω لكل طور موصول بمصدر ثلاثي الطور متوازن جهد خطه 480 V. أوجد القدرة الفعّالة الكلية P التي يمتصّها الحمل بالـ kW.

V_L = 480 VZ = 18 + j24 Ω لكل طور

P = kW

10.القدرة ثلاثية الطورصعبة

حمل ثلاثي الطور متوازن يأخذ 50 kW عند معامل قدرة 0,72 متأخر من مصدر 690 V (جهد خط) و 60 Hz. يجب أن ترفع مجموعة مكثّفات ثلاثية الطور موصولة على التوازي مع الحمل معامل القدرة الكلي إلى 0,95 متأخر. تبقى القدرة الفعّالة كما هي. المكثّفات موصولة دلتا (Δ). أوجد السعة C_ph لكل مكثّف بالـ µF.

P = 50 kWpf₁ = 0,72pf₂ = 0,95V_L = 690 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.الحالات العابرة RC و RLمتوسطة

لا يمرّ تيار في الملف قبل أن يُغلق المفتاح عند t = 0. أوجد التيار i عند t = 20 ms.

V_s = 15 VR = 20 ΩL = 220 mHt = 20 ms

i = A

12.الحالات العابرة RC و RLصعبة

قبل إغلاق المفتاح عند t = 0 مباشرة، يكون جهد المكثّف 5 V بالقطبية الموضّحة. أوجد جهد المكثّف v_C عند t = 5 ms.

V_s = 9 VR = 1 kΩC = 10 µFv_C(0) = 5 Vt = 5 ms

v_C = V

13.ثيفنن ونورتنمتوسطة

أوجد مقاومة ثيفنن R_th المرئية من الطرفين a–b.

V₁ = 24 VR₁ = 6 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 6 Ω

R_th = Ω

14.ثيفنن ونورتنصعبة

وُصل حِمل R_L = 4 Ω بين a–b. استبدل بقية الدائرة بمكافئ ثيفنن وأوجد تيار الحِمل I_L.

V₁ = 12 VI_s = 3 AR₁ = 12 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 25 ΩR_L = 4 Ω

I_L = A

15.مخططات بودي والهوامشمتوسطة

في مرشح تمرير النطاق RLC على التسلسل الموضح، يؤخذ الخرج على R = 20 Ω، مع L = 20 mH وC = 10 µF. أوجد معامل الجودة Q.

R = 20 ΩL = 20 mHC = 10 µF

Q =

16.مخططات بودي والهوامشصعبة

حلقة تغذية عكسية وحدوية دالة نقلها المفتوحة L(s) = K/(s(s + 1)(s + 6)). أوجد الكسب K الذي يعطي هامش كسب قدره 12 dB.

L(s) = K/(s(s + 1)(s + 6))GM = 12 dB

K =

3المحاليل

1.الأعداد المركبة

الإجابة: a = −2,349

الصيغة القطبية: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ، حيث r = |z| و θ = arg z. والعودة إلى الصيغة الديكارتية: a = r cos θ، b = r sin θ. تحتاج السعة إلى الربع: θ = atan(b/a) فقط عندما a > 0؛ وعندما a < 0 أضف 180° أو اطرحها. في الصيغة القطبية الضرب سهل: اضرب الطويلتين واجمع السعتين؛ وللقسمة اقسم الطويلتين واطرح السعتين.

المركّبات

a = 2,5·cos(160°) = −2,349

b = 2,5·sin(160°) = 0,8551

الصيغة الديكارتية

z = −2,349 + j0,8551

a = −2,349

الإجابة

a = −2,349

2.الأعداد المركبة

الإجابة: Im(z₂) = 0,4693

دي موافر والجذور: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. للمعادلة zⁿ = R∠φ بالضبط n جذرًا، كلها بطويلة R^1/n، عند السعات (φ + 360°·k)/n لـ k = 0, 1, …, n − 1: تقع متباعدة بانتظام على دائرة، بفارق 360°/n. للمعادلة التربيعية z² + pz + q = 0 مع p² < 4q جذران مركبان z = −p/2 ± j√(q − p²/4)؛ وكثير الحدود ذو المعاملات الحقيقية تأتي جذوره المركبة دائمًا في أزواج مترافقة a ± jb.

طويلة الجذور

243^1/5 = 3

سعة الجذر

θ₂ = (135° + 360°·2)/5 = 171°

الصيغة الديكارتية

z₂ = 3·(cos 171° + j sin 171°) = −2,963 + j0,4693

Im(z₂) = 0,4693

الإجابة

Im(z₂) = 0,4693

تقع الجذور الـ 5 على دائرة نصف قطرها 3، تفصل بين كل جذرين زاوية 72°.

3.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: I = 0,03821 A

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

المفاعلات

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,2 = 628,3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·1·10⁻⁶) = 318,3 Ω

المعاوقة

على التوالي تُجمع المعاوقات كأعداد مركّبة: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (310)²) = 314 Ω

التيار

يمرّ التيار نفسه في كل عنصر من عناصر دائرة التوالي.

I = V/|Z| = 12/314 = 0,03821 A

الإجابة

I = 0,03821 A

4.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: Q = 72,93

تردد الرنين

f₀ = 1/(2π·√(0,001·0,047·10⁻⁶)) = 23215 Hz

معامل الجودة

Q يقارن المفاعلة عند الرنين بالمقاومة: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/2)·√(0,001/(0,047·10⁻⁶)) = 72,93

الإجابة

Q = 72,93

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: Q = 15,49 kvar

قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.

الزاوية

φ = arccos(0,85) = 31,79°, tan φ = 0,6197

القدرة غير الفعّالة

Q = P·tan φ = 25·0,6197 = 15,49 kvar

الإجابة

Q = 15,49 kvar

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: I = 84,18 A

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

لا تتغيّر القدرة الفعلية P؛ تتغيّر فقط القدرة غير الفعّالة المسحوبة من الشبكة.

Q₁ = 26·tan(arccos 0,6) = 34,67 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 400²·2π·60·220·10⁻⁶ = 13270 var = 13,27 kvar

Q₂ = 34,67 − 13,27 = 21,4 kvar

القدرة الظاهرية الجديدة

S₂ = √(26² + 21,4²) = 33,67 kVA

تيار الخط الجديد

I = S₂/V = 33672/400 = 84,18 A

الإجابة

I = 84,18 A

7.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

الإجابة: BW = 338,6 Hz

معامل الجودة وعرض النطاق: في الدائرة الرنانة Q = 2π·(الطاقة المختزنة)/(الطاقة المفقودة في الدورة). في RLC على التوالي Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C)؛ وفي RLC على التوازي Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). عرض النطاق بين ترددي نصف القدرة f₁ وf₂ (حيث تكون القدرة النصف والتيار أو الجهد 1/√2 من ذروته) هو BW = f₂ − f₁ = f₀/Q، ويساوي R/(2πL) على التوالي و1/(2πRC) على التوازي. تردد الرنين هو الوسط الهندسي f₀ = √(f₁f₂)، وf_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). تجعل الفواقد التذبذب يتضاءل أيضًا: في RLC على التوالي تتناقص السعة كـ e^−Rt/(2L).

عرض النطاق بوحدة rad/s

R/L = 100/0,047 = 2128 rad/s

عرض النطاق بوحدة Hz

BW = 2128/(2π) = 338,6 Hz = 338,6 Hz

الإجابة

BW = 338,6 Hz

مع f₀ = 49,49 kHz يعطي ذلك Q = 146,2.

8.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

الإجابة: R_D = 200 kΩ

المقاومة الديناميكية

R_D = 0,0022/(2,2 × 10⁻⁹·5) = 200000 Ω = 200 kΩ

تحقق باستخدام Q

Q = (1/r)·√(L/C) = 200, Q²·r = 200000 Ω

الإجابة

R_D = 200 kΩ

9.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: P = 4,608 kW

جهد الطور

V_ph = 480/√3 = 277,1 V

تيار الطور

|Z| = √(18² + 24²) = 30 Ω

I_ph = 277,1/30 = 9,238 A

القدرة الفعّالة الكلية

الجزء المقاومي فقط من كل ممانعة يمتصّ القدرة الفعّالة.

P = 3·I_ph²·R = 3·9,238²·18 = 4,608 kW

الإجابة

P = 4,608 kW

تحقّق: cos φ = R/|Z| = 0,6، و √3·V_L·I_L·cos φ يعطي القدرة نفسها.

10.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: C_ph = 58,98 µF

النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، V_L = √3·V_ph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، I_L = √3·I_ph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. تحسين معامل القدرة: تقدّم المكثّفات القدرة غير الفعّالة محليًا، Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). يقدّم كل مكثّف من المكثّفات الثلاثة Q_C/3 = V²·ω·C، حيث V الجهد على ذلك المكثّف: V_L في مجموعة Δ، و V_L/√3 في مجموعة Y.

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

القدرة الفعّالة لا تتغيّر، لذا يحدّد كل معامل قدرة القدرة غير الفعّالة: Q = P·tan φ.

Q₁ = 50·tan(acos 0,72) = 50·0,9639 = 48,19 kvar

Q₂ = 50·tan(acos 0,95) = 50·0,3287 = 16,43 kvar

القدرة غير الفعّالة من المكثّفات

Q_C = Q₁ − Q₂ = 31,76 kvar

السعة لكل طور

في مجموعة Δ يوصل كل مكثّف بين خطين.

V = 690 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 10586/(377·690²) = 58,98 µF

الإجابة

C_ph = 58,98 µF

11.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: i = 0,6283 A

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

الثابت الزمني والتيار النهائي

بعد إغلاق المفتاح بوقت طويل يتصرّف الملف كقصر، لذا يحدّد R وحده التيار النهائي.

τ = L/R = 220 mH / 20 Ω = 11 ms

i(∞) = V_s/R = 15/20 = 0,75 A

التيار في اللحظة المعطاة

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,75·(1 − e^−20/11) = 0,6283 A

الإجابة

i = 0,6283 A

12.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: v_C = 6,574 V

القيمة الابتدائية، القيمة النهائية، الثابت الزمني

لا يمكن لجهد المكثّف أن يقفز، لذا يبدأ من قيمته المخزّنة ويتّجه نحو جهد المصدر.

v_C(0) = 5 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 1 kΩ · 10 µF = 10 ms

v_C(t) = 9 + (5 − 9)·e^−t/τ

الجهد في اللحظة المعطاة

v_C(5) = 9 + (−4)·e^−5/10 = 6,574 V

الإجابة

v_C = 6,574 V

13.ثيفنن ونورتن

الإجابة: R_th = 8,4 Ω

نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد V_th على التوالي مع مقاومة R_th. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار I_N = V_th/R_th على التوازي مع R_th.

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R₁ ∥ R₂ = 6·4/(6+4) = 2,4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,4 + 6 = 8,4 Ω

14.ثيفنن ونورتن

الإجابة: I_L = 2,719 A

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R₁ ∥ R₂ = 12·4/(12+4) = 3 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3 + 25 = 28 Ω

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة

عندما يكون a–b مفتوحًا، المسار الوحيد لـ Iₛ هو عبر R₃ إلى العقدة A. أوجد V_A بتراكب V₁ و Iₛ، ثم أضف الهبوط على R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 3 + 3·3 = 12 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 12 + 3·25 = 87 V

صِل الحِمل بمكافئ ثيفنن

يتصرّف مصدر ثيفنن و R_th على التوالي عند a–b تمامًا كالدائرة الأصلية، فيرى الحِمل حلقة توالٍ بسيطة.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 87/(28 + 4) = 2,719 A

15.مخططات بودي والهوامش

الإجابة: Q = 2,236

الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ω_c = 1/(RC) أو R/L، وf_c = ω_c/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) وφ = −atan(ω/ω_c). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jω_c). تردد تقاطع الطور ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.

تردد الرنين

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,02·1 × 10⁻⁵) = 2236 rad/s

f₀ = ω₀/(2π) = 355,9 Hz

معامل الجودة

BW = R/L = 20/0,02 = 1000 rad/s = 159,2 Hz

Q = ω₀/BW = 2236/1000 = 2,236

الإجابة

Q = 2,236

16.مخططات بودي والهوامش

الإجابة: K = 10,55

تقاطع الطور

(ω/1)·(ω/6) = 1 → ω₁₈₀ = √(1·6) = 2,449 rad/s

المقدار عند تقاطع الطور

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 1)·√(ω² + 36)) = K/(1·6·(1 + 6)) = K/42

الكسب المطلوب

42/K = 10^12/20 = 3,981

K = 42/3,981 = 10,55

الإجابة

K = 10,55

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

تحليل الدوائر الكهربائية 2: دوائر التيار المتردد: حزمة المراجعة المكثفة

1القوانين وطرق الحل

الأعداد المركبة

الطريقة

معاوقة التيار المتردد والطوريات

الطريقة

قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

الطريقة

القدرة ثلاثية الطور

الحالات العابرة RC و RL

الطريقة

ثيفنن ونورتن

الطريقة

2مسائل تدريبية

3المحاليل

المركّبات

الصيغة الديكارتية

الإجابة

طويلة الجذور

سعة الجذر

الصيغة الديكارتية

الإجابة

المفاعلات

المعاوقة

التيار

الإجابة

تردد الرنين

معامل الجودة

الإجابة

الزاوية

القدرة غير الفعّالة

الإجابة

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

القدرة الظاهرية الجديدة

تيار الخط الجديد

الإجابة

عرض النطاق بوحدة rad/s

عرض النطاق بوحدة Hz

الإجابة

المقاومة الديناميكية

تحقق باستخدام Q

الإجابة

جهد الطور

تيار الطور

القدرة الفعّالة الكلية

الإجابة

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

القدرة غير الفعّالة من المكثّفات

السعة لكل طور

الإجابة

الثابت الزمني والتيار النهائي

التيار في اللحظة المعطاة

الإجابة

القيمة الابتدائية، القيمة النهائية، الثابت الزمني

الجهد في اللحظة المعطاة

الإجابة

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة

صِل الحِمل بمكافئ ثيفنن

تردد الرنين

معامل الجودة

الإجابة

تقاطع الطور

المقدار عند تقاطع الطور

الكسب المطلوب

الإجابة

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة