تحليل الدوائر الكهربائية 2: دوائر التيار المتردد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الأعداد المركبة

الصيغة الديكارتية: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
الطويلة والسعة: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
الصيغتان القطبية والأسية: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
القسمة: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
حاصل الضرب وناتج القسمة: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
دي موافر: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
الجذور النونية: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
معادلة تربيعية مع p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

الطريقة

قرّر أي صيغة تناسب العملية: الصيغة الديكارتية a + jb للجمع والطرح، والقطبية r∠θ للضرب والقسمة والقوى والجذور.
اضرب بالفك مع j² = −1؛ واقسم بضرب البسط والمقام في مرافق المقام.
حوّل بـ r = √(a² + b²) و θ من رسم للنقطة (a, b) (تحقق من الربع)، وعد بـ a = r cos θ، b = r sin θ.
للقوى استخدم دي موافر، (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ؛ ولـ zⁿ = R∠φ اسرد كل الجذور الـ n: R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
التردد الزاوي: ω = 2πf
المقدار والزاوية: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات: V = I·Z

الطريقة

حوّل التردد: ω = 2πf.
أوجد كل ممانعة مفاعلة: X_L = ωL و X_C = 1/(ωC).
اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

القدرة الفعلية: P = V·I·cos φ
القدرة غير الفعّالة: Q = V·I·sin φ
القدرة الظاهرية: S = V·I = √(P² + Q²)
معامل القدرة: pf = cos φ = P/S
مكثّف التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

التردد الطبيعي: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
الطاقة: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
تيار الذروة: I_max = V₀√(C/L)
معامل الجودة: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
RLC على التوالي: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
RLC على التوازي: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
عرض النطاق: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
ترددات نصف القدرة: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
دائرة رنين ذات مقاومة ملف r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
تضاؤل السعة: e^−Rt/(2L)

الطريقة

أوجد تردد الرنين أولًا: ω₀ = 1/√(LC) وf₀ = ω₀/(2π).
حدد هل الدائرة على التوالي أم على التوازي: على التوالي Q = (1/R)√(L/C)، وعلى التوازي Q = R√(C/L).
استخدم BW = f₀/Q لعرض النطاق، أو الصيغتين المختصرتين R/(2πL) (توالٍ) و1/(2πRC) (توازٍ).
في أسئلة الطاقة، استخدم أن الطاقة الكلية ½CV₀² تبقى ثابتة في دائرة LC المثالية وتتنقل بين C وL كل ربع دورة.

القدرة ثلاثية الطور

توصيل نجمة (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
توصيل دلتا (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
القدرة الفعّالة الكلية: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
القدرة الظاهرية والقدرة غير الفعّالة: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
مكثّفات التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
الجهد على كل مكثّف: Δ: V_L Y: V_L/√3
قدرة دخل المحرّك: P_in = P_out/η

الحالات العابرة RC و RL

الثابت الزمني: τ = RC | τ = L/R
الاستجابة: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
المكثّف في التيار المستمر: دائرة مفتوحة؛ لا يمكن أن يقفز v_C
الملف في التيار المستمر: قصر؛ لا يمكن أن يقفز i_L
الحالة المستقرة: t ≈ 5τ

الطريقة

أوجد القيمة الابتدائية مباشرة بعد التبديل: جهد المكثّف وتيار الملف لا يقفزان.
أوجد القيمة النهائية بعد التبديل بزمن طويل: يتصرّف المكثّف كدائرة مفتوحة، والملف كقصر.
أوجد الثابت الزمني: τ = RC أو τ = L/R، باستخدام المقاومة التي يراها المكثّف أو الملف.
استخدم x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

ثيفنن ونورتن

جهد ثيفنن: V_th = V_{open circuit}
مقاومة ثيفنن: R_th: كل المصادر مُطفأة، منظورًا إليها من a–b
تيار نورتن: I_N = V_th/R_th
تيار الحِمل: I_L = V_th/(R_th + R_L)
أقصى نقل للقدرة: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

الطريقة

أزل الحِمل وعلّم الطرفين a و b.
أوجد جهد الدائرة المفتوحة بين a و b: هذا هو V_th.
أطفئ كل المصادر المستقلة وأوجد المقاومة المرئية من a–b: هذه هي R_th.
أعد الحِمل إلى الدائرة المكافئة: V_th على التوالي مع R_th.
لمكافئ نورتن، حوّل: I_N = V_th/R_th، مع R_N = R_th على التوازي.

2مسائل تدريبية

1.الأعداد المركبةمتوسطة

اكتب z = 3∠−155° بالصيغة الديكارتية a + jb وأعطِ الجزء التخيلي b.

r = 3θ = −155°

b =

2.الأعداد المركبةصعبة

جد الجزء الحقيقي لـ (1 − j3)³.

z = 1 − j3n = 3

Re(z³) =

3.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 50 V (فعّال)، 200 Hz. أوجد معامل القدرة cos φ للدائرة.

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 25 ΩL = 20 mHC = 100 µF

cos φ =

4.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 50 V (فعّال)، 1000 Hz. أوجد الجهد الفعّال V_C على المكثّف.

V = 50 V (rms)f = 1000 HzR = 30 ΩL = 20 mHC = 10 µF

V_C = V

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةمتوسطة

يستهلك محرّك أحادي الطور 8 kW بمعامل قدرة 0,6 متأخّر من مصدر 400 V. أوجد تيار الخط I.

P = 8 kWpf = 0,6V = 400 V

I = A

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةصعبة

يأخذ حِمل أحادي الطور 19 kW بمعامل قدرة 0,6 متأخّر من مصدر 240 V، 60 Hz. يُوصل مكثّف سعته 470 µF على التوازي مع الحِمل. أوجد معامل القدرة الجديد cos φ الذي يراه المصدر.

P = 19 kWpf₁ = 0,6V = 240 Vf = 60 HzC = 470 µF

cos φ =

7.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقمتوسطة

يتذبذب مكثف 2,2 nF مشحون إلى 20 V مع ملف حثّي مثالي 22 µH. أوجد الطاقة W_L المختزنة في الملف لحظة يكون جهد المكثف 15 V، بوحدة nJ.

C = 2,2 nFV₀ = 20 Vv_C = 15 V

W_L = nJ

8.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقصعبة

تستخدم دائرة رنين على التوالي ملفًا حثّيًا 100 µH. أي مقاومة توالٍ كلية R تعطي عرض نطاق 10 kHz؟

L = 100 µHBW = 10 kHz

R = Ω

9.القدرة ثلاثية الطورمتوسطة

محرّك حثّي ثلاثي الطور يعطي قدرة خرج ميكانيكية مقدارها 45 kW عند الحمل الكامل. عند هذا الحمل تكون كفاءته 93% ومعامل قدرته 0,82 متأخرًا. جهد خط المصدر 690 V. أوجد تيار الخط I_L.

P_out = 45 kWη = 93%cos φ = 0,82V_L = 690 V

I_L = A

10.القدرة ثلاثية الطورصعبة

حمل ثلاثي الطور متوازن يأخذ 100 kW عند معامل قدرة 0,78 متأخر من مصدر 690 V (جهد خط) و 50 Hz. يجب أن ترفع مجموعة مكثّفات ثلاثية الطور موصولة على التوازي مع الحمل معامل القدرة الكلي إلى 0,98 متأخر. تبقى القدرة الفعّالة كما هي. أوجد القدرة غير الفعّالة الكلية Q_C التي يجب أن تقدّمها مجموعة المكثّفات، بالـ kvar.

P = 100 kWpf₁ = 0,78pf₂ = 0,98V_L = 690 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

11.الحالات العابرة RC و RLمتوسطة

لا يمرّ تيار في الملف قبل أن يُغلق المفتاح عند t = 0. أوجد التيار i عند t = 1 ms.

V_s = 10 VR = 33 ΩL = 10 mHt = 1 ms

i = A

12.الحالات العابرة RC و RLصعبة

قبل إغلاق المفتاح عند t = 0 مباشرة، يكون جهد المكثّف 20 V بالقطبية الموضّحة. أوجد جهد المكثّف v_C عند t = 40 ms.

V_s = 10 VR = 3,3 kΩC = 33 µFv_C(0) = 20 Vt = 40 ms

v_C = V

13.ثيفنن ونورتنمتوسطة

أوجد جهد ثيفنن V_th المرئي من الطرفين a–b.

V₁ = 30 VR₁ = 4 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 5 Ω

V_th = V

14.ثيفنن ونورتنصعبة

أوجد تيار نورتن I_N: التيار الذي يسري من a إلى b إذا قُصر الطرفان.

V₁ = 15 VI_s = 3 AR₁ = 15 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 20 Ω

I_N = A

15.مخططات بودي والهوامشمتوسطة

أوجد المقدار الدقيق |G(jω)| لـ G(s) = 2200/((s + 10)(s + 20)) عند ω = 20 rad/s، بوحدة dB.

G(s) = 2200/((s + 10)(s + 20))ω = 20 rad/s

|G(jω)| = dB

16.مخططات بودي والهوامشصعبة

حلقة تغذية عكسية وحدوية دالة نقلها المفتوحة L(s) = 322/(s(s + 6)(s + 9)). أوجد هامش الكسب GM بوحدة dB.

L(s) = 322/(s(s + 6)(s + 9))

GM = dB

3المحاليل

1.الأعداد المركبة

الإجابة: b = −1,268

الصيغة القطبية: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ، حيث r = |z| و θ = arg z. والعودة إلى الصيغة الديكارتية: a = r cos θ، b = r sin θ. تحتاج السعة إلى الربع: θ = atan(b/a) فقط عندما a > 0؛ وعندما a < 0 أضف 180° أو اطرحها. في الصيغة القطبية الضرب سهل: اضرب الطويلتين واجمع السعتين؛ وللقسمة اقسم الطويلتين واطرح السعتين.

المركّبات

a = 3·cos(−155°) = −2,719

b = 3·sin(−155°) = −1,268

الصيغة الديكارتية

z = −2,719 − j1,268

b = −1,268

الإجابة

b = −1,268

2.الأعداد المركبة

الإجابة: Re(z³) = −26

دي موافر والجذور: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. للمعادلة zⁿ = R∠φ بالضبط n جذرًا، كلها بطويلة R^1/n، عند السعات (φ + 360°·k)/n لـ k = 0, 1, …, n − 1: تقع متباعدة بانتظام على دائرة، بفارق 360°/n. للمعادلة التربيعية z² + pz + q = 0 مع p² < 4q جذران مركبان z = −p/2 ± j√(q − p²/4)؛ وكثير الحدود ذو المعاملات الحقيقية تأتي جذوره المركبة دائمًا في أزواج مترافقة a ± jb.

القوى خطوة خطوة

z² = (1 − j3)(1 − j3) = −8 − j6

z³ = (−8 − j6)(1 − j3) = −26 + j18

تحقق بدي موافر

z = 3,162∠−71,57° → z³ = 31,62∠145,3°

Re(z³) = −26

الإجابة

Re(z³) = −26

3.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: cos φ = 0,8242

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

المفاعلات

X_L = 25,13 Ω, X_C = 7,958 Ω

المعاوقة

|Z| = √(25² + (17,17)²) = 30,33 Ω

معامل القدرة

cos φ = R/|Z| = 25/30,33 = 0,8242

الدائرة حثية، لذا معامل القدرة متأخّر.

الإجابة

cos φ = 0,8242

4.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: V_C = 6,994 V

المفاعلات

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,02 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·10·10⁻⁶) = 15,92 Ω

المعاوقة

على التوالي تُجمع المعاوقات كأعداد مركّبة: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (109,7)²) = 113,8 Ω

التيار

يمرّ التيار نفسه في كل عنصر من عناصر دائرة التوالي.

I = V/|Z| = 50/113,8 = 0,4395 A

الجهد على المكثّف

V_C = I·X_C = 0,4395·15,92 = 6,994 V

الإجابة

V_C = 6,994 V

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: I = 33,33 A

قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.

تيار الخط

الجزء الفعلي من القدرة فقط يؤدّي الشغل، لذا اقسم على معامل القدرة.

I = P/(V·cos φ) = 8000/(400·0,6) = 33,33 A

الإجابة

I = 33,33 A

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: cos φ = 0,7823

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

لا تتغيّر القدرة الفعلية P؛ تتغيّر فقط القدرة غير الفعّالة المسحوبة من الشبكة.

Q₁ = 19·tan(arccos 0,6) = 25,33 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 240²·2π·60·470·10⁻⁶ = 10206 var = 10,21 kvar

Q₂ = 25,33 − 10,21 = 15,13 kvar

القدرة الظاهرية الجديدة

S₂ = √(19² + 15,13²) = 24,29 kVA

معامل القدرة الجديد

cos φ = P/S₂ = 19/24,29 = 0,7823

الإجابة

cos φ = 0,7823

7.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

الإجابة: W_L = 192,5 nJ

رنين LC: المكثف المشحون الموصول بملف حثّي يدفع تيارًا يشحنه في الاتجاه المعاكس: تتأرجح الطاقة بين المجال الكهربائي للمكثف C (½Cv²) والمجال المغناطيسي للملف L (½Li²) عند التردد الطبيعي f₀ = 1/(2π√(LC)). وبدون مقاومة تبقى الطاقة الكلية ½CV₀² ثابتة، فيكون التيار الأقصى I_max = V₀√(C/L). الدورة الواحدة T = 1/f₀؛ وتنتقل الطاقة من C إلى L في ربعها.

الطاقة الكلية

½·2,2 × 10⁻⁹·20² = 4,4 × 10⁻⁷ J

الطاقة المتبقية في المكثف

½·2,2 × 10⁻⁹·15² = 2,475 × 10⁻⁷ J

الطاقة في الملف

W_L = 1,925 × 10⁻⁷ J = 192,5 nJ

الإجابة

W_L = 192,5 nJ

8.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

الإجابة: R = 6,283 Ω

معامل الجودة وعرض النطاق: في الدائرة الرنانة Q = 2π·(الطاقة المختزنة)/(الطاقة المفقودة في الدورة). في RLC على التوالي Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C)؛ وفي RLC على التوازي Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). عرض النطاق بين ترددي نصف القدرة f₁ وf₂ (حيث تكون القدرة النصف والتيار أو الجهد 1/√2 من ذروته) هو BW = f₂ − f₁ = f₀/Q، ويساوي R/(2πL) على التوالي و1/(2πRC) على التوازي. تردد الرنين هو الوسط الهندسي f₀ = √(f₁f₂)، وf_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). تجعل الفواقد التذبذب يتضاءل أيضًا: في RLC على التوالي تتناقص السعة كـ e^−Rt/(2L).

عرض النطاق على التوالي

BW = R/(2πL)

المقاومة

R = 2π·1 × 10⁻⁴·10000 = 6,283 Ω

الإجابة

R = 6,283 Ω

9.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: I_L = 49,37 A

القدرة الكهربائية الداخلة

P_in = P_out/η = 45/0,93 = 48,39 kW

تيار الخط

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 48387/(√3·690·0,82) = 49,37 A

الإجابة

I_L = 49,37 A

10.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: Q_C = 59,92 kvar

النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، V_L = √3·V_ph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، I_L = √3·I_ph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. تحسين معامل القدرة: تقدّم المكثّفات القدرة غير الفعّالة محليًا، Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). يقدّم كل مكثّف من المكثّفات الثلاثة Q_C/3 = V²·ω·C، حيث V الجهد على ذلك المكثّف: V_L في مجموعة Δ، و V_L/√3 في مجموعة Y.

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

القدرة الفعّالة لا تتغيّر، لذا يحدّد كل معامل قدرة القدرة غير الفعّالة: Q = P·tan φ.

Q₁ = 100·tan(acos 0,78) = 100·0,8023 = 80,23 kvar

Q₂ = 100·tan(acos 0,98) = 100·0,2031 = 20,31 kvar

القدرة غير الفعّالة من المكثّفات

Q_C = Q₁ − Q₂ = 59,92 kvar

الإجابة

Q_C = 59,92 kvar

11.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: i = 0,2919 A

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

الثابت الزمني والتيار النهائي

بعد إغلاق المفتاح بوقت طويل يتصرّف الملف كقصر، لذا يحدّد R وحده التيار النهائي.

τ = L/R = 10 mH / 33 Ω = 0,303 ms

i(∞) = V_s/R = 10/33 = 0,303 A

التيار في اللحظة المعطاة

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,303·(1 − e^−1/0,303) = 0,2919 A

الإجابة

i = 0,2919 A

12.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: v_C = 16,93 V

القيمة الابتدائية، القيمة النهائية، الثابت الزمني

لا يمكن لجهد المكثّف أن يقفز، لذا يبدأ من قيمته المخزّنة ويتّجه نحو جهد المصدر.

v_C(0) = 20 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 3,3 kΩ · 33 µF = 108,9 ms

v_C(t) = 10 + (20 − 10)·e^−t/τ

الجهد في اللحظة المعطاة

v_C(40) = 10 + (10)·e^−40/108,9 = 16,93 V

الإجابة

v_C = 16,93 V

13.ثيفنن ونورتن

الإجابة: V_th = 12,86 V

نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد V_th على التوالي مع مقاومة R_th. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار I_N = V_th/R_th على التوازي مع R_th.

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R₁ ∥ R₂ = 4·3/(4+3) = 1,714 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,714 + 5 = 6,714 Ω

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة

عندما يكون a–b مفتوحًا لا يمرّ تيار في R₃، فلا هبوط عليه و V_b = V_A. يشكّل R₁ و R₂ مقسّم جهد.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 30·3/(4+3) = 12,86 V

14.ثيفنن ونورتن

الإجابة: I_N = 3,231 A

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R₁ ∥ R₂ = 15·10/(15+10) = 6 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 6 + 20 = 26 Ω

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة

عندما يكون a–b مفتوحًا، المسار الوحيد لـ Iₛ هو عبر R₃ إلى العقدة A. أوجد V_A بتراكب V₁ و Iₛ، ثم أضف الهبوط على R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 6 + 3·6 = 24 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 24 + 3·20 = 84 V

مكافئ نورتن

مصدر نورتن هو الدائرة نفسها منظورًا إليها كمصدر تيار على التوازي مع R_th. تياره هو تيار القصر بين a–b.

I_N = V_th/R_th = 84/26 = 3,231 A

15.مخططات بودي والهوامش

الإجابة: |G(jω)| = 10,83 dB

الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ω_c = 1/(RC) أو R/L، وf_c = ω_c/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) وφ = −atan(ω/ω_c). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jω_c). تردد تقاطع الطور ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.

اضرب المقادير

|G(j20)| = 2200/(√(20² + 10²)·√(20² + 20²)) = 2200/(22,36·28,28) = 3,479

النتيجة

20·log₁₀(3,479) = 10,83 dB

الإجابة

|G(jω)| = 10,83 dB

16.مخططات بودي والهوامش

الإجابة: GM = 8,013 dB

تقاطع الطور

(ω/6)·(ω/9) = 1 → ω₁₈₀ = √(6·9) = 7,348 rad/s

المقدار عند تقاطع الطور

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 36)·√(ω² + 81)) = K/(6·9·(6 + 9)) = K/810

هامش الكسب

GM = 20·log₁₀(810/322) = 8,013 dB

الإجابة

GM = 8,013 dB

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

تحليل الدوائر الكهربائية 2: دوائر التيار المتردد: حزمة المراجعة المكثفة

1القوانين وطرق الحل

الأعداد المركبة

الطريقة

معاوقة التيار المتردد والطوريات

الطريقة

قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

الطريقة

القدرة ثلاثية الطور

الحالات العابرة RC و RL

الطريقة

ثيفنن ونورتن

الطريقة

2مسائل تدريبية

3المحاليل

المركّبات

الصيغة الديكارتية

الإجابة

القوى خطوة خطوة

تحقق بدي موافر

الإجابة

المفاعلات

المعاوقة

معامل القدرة

الإجابة

المفاعلات

المعاوقة

التيار

الجهد على المكثّف

الإجابة

تيار الخط

الإجابة

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

القدرة الظاهرية الجديدة

معامل القدرة الجديد

الإجابة

الطاقة الكلية

الطاقة المتبقية في المكثف

الطاقة في الملف

الإجابة

عرض النطاق على التوالي

المقاومة

الإجابة

القدرة الكهربائية الداخلة

تيار الخط

الإجابة

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

القدرة غير الفعّالة من المكثّفات

الإجابة

الثابت الزمني والتيار النهائي

التيار في اللحظة المعطاة

الإجابة

القيمة الابتدائية، القيمة النهائية، الثابت الزمني

الجهد في اللحظة المعطاة

الإجابة

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة

مكافئ نورتن

اضرب المقادير

النتيجة

الإجابة

تقاطع الطور

المقدار عند تقاطع الطور

هامش الكسب

الإجابة

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة