حدد هل الدائرة على التوالي أم على التوازي: على التوالي Q = (1/R)√(L/C)، وعلى التوازي Q = R√(C/L).
استخدم BW = f₀/Q لعرض النطاق، أو الصيغتين المختصرتين R/(2πL) (توالٍ) و1/(2πRC) (توازٍ).
في أسئلة الطاقة، استخدم أن الطاقة الكلية ½CV₀² تبقى ثابتة في دائرة LC المثالية وتتنقل بين C وL كل ربع دورة.
القدرة ثلاثية الطور
توصيل نجمة (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
توصيل دلتا (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
القدرة الفعّالة الكلية
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
القدرة الظاهرية والقدرة غير الفعّالة
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
مكثّفات التصحيح
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
الجهد على كل مكثّف
Δ: VL Y: VL/√3
قدرة دخل المحرّك
Pin = Pout/η
الحالات العابرة RC و RL
الثابت الزمني
τ = RC | τ = L/R
الاستجابة
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
المكثّف في التيار المستمر
دائرة مفتوحة؛ لا يمكن أن يقفز vC
الملف في التيار المستمر
قصر؛ لا يمكن أن يقفز iL
الحالة المستقرة
t ≈ 5τ
الطريقة
أوجد القيمة الابتدائية مباشرة بعد التبديل: جهد المكثّف وتيار الملف لا يقفزان.
أوجد القيمة النهائية بعد التبديل بزمن طويل: يتصرّف المكثّف كدائرة مفتوحة، والملف كقصر.
أوجد الثابت الزمني: τ = RC أو τ = L/R، باستخدام المقاومة التي يراها المكثّف أو الملف.
استخدم x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
ثيفنن ونورتن
جهد ثيفنن
Vth = Vopen circuit
مقاومة ثيفنن
Rth: كل المصادر مُطفأة، منظورًا إليها من a–b
تيار نورتن
IN = Vth/Rth
تيار الحِمل
IL = Vth/(Rth + RL)
أقصى نقل للقدرة
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
الطريقة
أزل الحِمل وعلّم الطرفين a و b.
أوجد جهد الدائرة المفتوحة بين a و b: هذا هو Vth.
أطفئ كل المصادر المستقلة وأوجد المقاومة المرئية من a–b: هذه هي Rth.
أعد الحِمل إلى الدائرة المكافئة: Vth على التوالي مع Rth.
لمكافئ نورتن، حوّل: IN = Vth/Rth، مع RN = Rth على التوازي.
2مسائل تدريبية
1.الأعداد المركبةمتوسطة
اكتب z = 10∠−20° بالصيغة الديكارتية a + jb وأعطِ الجزء الحقيقي a.
r = 10θ = −20°
a =
2.الأعداد المركبةصعبة
جذور zⁿ = w مع n = 5 و w = 32∠45° هي zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n)، k = 0, 1, …, 4. جد الجزء التخيلي لـ z₄.
w = 32∠45°n = 5k = 4
Im(z₄) =
3.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة
دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 230 V (فعّال)، 500 Hz. أوجد زاوية الطور φ للمعاوقة بالدرجات (موجبة عندما يتأخّر التيار عن الجهد).
V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 20 mHC = 2,2 µF
φ = °
4.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة
دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 24 V (فعّال)، 1000 Hz. أوجد تردّد الرنين f0 للدائرة.
V = 24 V (rms)f = 1000 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 1 µF
f0 = Hz
5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةمتوسطة
يستهلك محرّك أحادي الطور 30 kW بمعامل قدرة 0,9 متأخّر من مصدر 240 V. أوجد تيار الخط I.
P = 30 kWpf = 0,9V = 240 V
I = A
6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةصعبة
محوّل أحادي الطور قدرته 10 kVA يغذّي حِملًا 3 kW بمعامل قدرة 0,6 متأخّر. ما مقدار القدرة الفعلية الإضافية ΔP التي يمكن إضافتها كحِمل مقاومي (معامل قدرة واحد) قبل أن يبلغ المحوّل قدرته الاسمية بوحدة kVA؟
Smax = 10 kVAP1 = 3 kWpf1 = 0,6
ΔP = kW
7.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقمتوسطة
لدائرة RLC على التوالي R = 2 Ω وL = 1 mH وC = 2,2 µF. أوجد معامل جودتها Q.
R = 2 ΩL = 1 mHC = 2,2 µF
Q =
8.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقصعبة
تتكون دائرة رنين متوازية من مكثف 22 nF وملف 10 µH بمقاومة لفّ 0,5 Ω. عند الرنين تتصرف كمقاومة، ومقاومتها الديناميكية RD = L/(C·r). أوجد RD بوحدة kΩ.
L = 10 µHC = 22 nFr = 0,5 Ω
RD = kΩ
9.القدرة ثلاثية الطورمتوسطة
حمل ثلاثي الطور متوازن يسحب تيار خط مقداره 50 A من مصدر جهد خطه 690 V. معامل القدرة 0,95 متأخر. أوجد القدرة الفعّالة الكلية P التي يسحبها الحمل بالـ kW.
VL = 690 VIL = 50 Acos φ = 0,95
P = kW
10.القدرة ثلاثية الطورصعبة
حمل ثلاثي الطور متوازن يأخذ 250 kW عند معامل قدرة 0,72 متأخر من مصدر 415 V (جهد خط) و 50 Hz. يجب أن ترفع مجموعة مكثّفات ثلاثية الطور موصولة على التوازي مع الحمل معامل القدرة الكلي إلى 0,92 متأخر. تبقى القدرة الفعّالة كما هي. المكثّفات موصولة دلتا (Δ). أوجد السعة Cph لكل مكثّف بالـ µF.
P = 250 kWpf1 = 0,72pf2 = 0,92VL = 415 Vf = 50 Hz
Cph = µF
11.الحالات العابرة RC و RLمتوسطة
يحمل الملف تيارًا مستقرًا 1,5 A. عند t = 0 يغلق المفتاح الحلقة عبر R ويُزال المصدر، فيتناقص تيار الملف عبر R. كم يستغرق التيار لينخفض إلى 0,15 A؟ أوجد t.
i(0) = 1,5 AR = 100 ΩL = 68 mH
t = ms
12.الحالات العابرة RC و RLصعبة
قبل إغلاق المفتاح عند t = 0 مباشرة، يكون جهد المكثّف 24 V بالقطبية الموضّحة. كم يستغرق vC ليبلغ 12 V؟ أوجد t.
Vs = 9 VR = 4,7 kΩC = 22 µFvC(0) = 24 V
t = ms
13.ثيفنن ونورتنمتوسطة
وُصل حِمل RL = 3 Ω بين a–b. استبدل بقية الدائرة بمكافئ ثيفنن وأوجد تيار الحِمل IL.
V1 = 6 VR1 = 4 ΩR2 = 10 ΩR3 = 12 ΩRL = 3 Ω
IL = A
14.ثيفنن ونورتنصعبة
وُصل حِمل RL = 4 Ω بين a–b. استبدل بقية الدائرة بمكافئ ثيفنن وأوجد تيار الحِمل IL.
الصيغة القطبية: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ، حيث r = |z| و θ = arg z. والعودة إلى الصيغة الديكارتية: a = r cos θ، b = r sin θ. تحتاج السعة إلى الربع: θ = atan(b/a) فقط عندما a > 0؛ وعندما a < 0 أضف 180° أو اطرحها. في الصيغة القطبية الضرب سهل: اضرب الطويلتين واجمع السعتين؛ وللقسمة اقسم الطويلتين واطرح السعتين.
المركّبات
a = 10·cos(−20°) = 9,397
b = 10·sin(−20°) = −3,42
الصيغة الديكارتية
z = 9,397 − j3,42
a = 9,397
الإجابة
a = 9,397
2.الأعداد المركبة
الإجابة: Im(z₄) = −1,782
دي موافر والجذور: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. للمعادلة zⁿ = R∠φ بالضبط n جذرًا، كلها بطويلة R1/n، عند السعات (φ + 360°·k)/n لـ k = 0, 1, …, n − 1: تقع متباعدة بانتظام على دائرة، بفارق 360°/n. للمعادلة التربيعية z² + pz + q = 0 مع p² < 4q جذران مركبان z = −p/2 ± j√(q − p²/4)؛ وكثير الحدود ذو المعاملات الحقيقية تأتي جذوره المركبة دائمًا في أزواج مترافقة a ± jb.
طويلة الجذور
321/5 = 2
سعة الجذر
θ₄ = (45° + 360°·4)/5 = 297° → −63°
الصيغة الديكارتية
z₄ = 2·(cos −63° + j sin −63°) = 0,908 − j1,782
Im(z₄) = −1,782
الإجابة
Im(z₄) = −1,782
تقع الجذور الـ 5 على دائرة نصف قطرها 2، تفصل بين كل جذرين زاوية 72°.
3.معاوقة التيار المتردد والطوريات
الإجابة: φ = −53,76 °
دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.
المفاعلات
ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0,02 = 62,83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·2,2·10⁻⁶) = 144,7 Ω
المعاوقة
على التوالي تُجمع المعاوقات كأعداد مركّبة: Z = R + j(XL − XC).
دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.
الرنين
عند الرنين تُلغي المفاعلتان الحثية والسعوية بعضهما: ωL = 1/(ωC). تردّد المصدر لا يهم.
قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.
تيار الخط
الجزء الفعلي من القدرة فقط يؤدّي الشغل، لذا اقسم على معامل القدرة.
I = P/(V·cos φ) = 30000/(240·0,9) = 138,9 A
الإجابة
I = 138,9 A
6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة
الإجابة: ΔP = 6,165 kW
قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.
القدرة غير الفعّالة للحِمل الموجود
Q1 = 3·tan(arccos 0,6) = 4 kvar
أكبر قدرة فعلية كلية
عند القدرة الاسمية الكاملة S = Smax، و Q لا يتغيّر بالحِمل المقاومي.
P = √(Smax² − Q1²) = √(10² − 4²) = 9,165 kW
القدرة الفعلية الإضافية
ΔP = 9,165 − 3 = 6,165 kW
الإجابة
ΔP = 6,165 kW
7.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق
الإجابة: Q = 10,66
معامل الجودة وعرض النطاق: في الدائرة الرنانة Q = 2π·(الطاقة المختزنة)/(الطاقة المفقودة في الدورة). في RLC على التوالي Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)؛ وفي RLC على التوازي Q = R/(ω0L) = R√(C/L). عرض النطاق بين ترددي نصف القدرة f1 وf2 (حيث تكون القدرة النصف والتيار أو الجهد 1/√2 من ذروته) هو BW = f2 − f1 = f0/Q، ويساوي R/(2πL) على التوالي و1/(2πRC) على التوازي. تردد الرنين هو الوسط الهندسي f0 = √(f1f2)، وf1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). تجعل الفواقد التذبذب يتضاءل أيضًا: في RLC على التوالي تتناقص السعة كـ e−Rt/(2L).
المعاوقة المميِّزة
√(L/C) = √(0,001/2,2 × 10⁻⁶) = 21,32 Ω
معامل الجودة
Q = 21,32/2 = 10,66
الإجابة
Q = 10,66
تردد الرنين هو 3,393 kHz، إذن BW = f₀/Q = 318,3 Hz.
8.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق
الإجابة: RD = 0,9091 kΩ
معامل الجودة وعرض النطاق: في الدائرة الرنانة Q = 2π·(الطاقة المختزنة)/(الطاقة المفقودة في الدورة). في RLC على التوالي Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)؛ وفي RLC على التوازي Q = R/(ω0L) = R√(C/L). عرض النطاق بين ترددي نصف القدرة f1 وf2 (حيث تكون القدرة النصف والتيار أو الجهد 1/√2 من ذروته) هو BW = f2 − f1 = f0/Q، ويساوي R/(2πL) على التوالي و1/(2πRC) على التوازي. تردد الرنين هو الوسط الهندسي f0 = √(f1f2)، وf1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). تجعل الفواقد التذبذب يتضاءل أيضًا: في RLC على التوالي تتناقص السعة كـ e−Rt/(2L).
النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، VL = √3·Vph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، IL = √3·Iph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
القدرة الظاهرية
S = √3·VL·IL = √3·690·50 = 59,76 kVA
القدرة الفعلية
P = S·cos φ = 59,76·0,95 = 56,77 kW
الإجابة
P = 56,77 kW
10.القدرة ثلاثية الطور
الإجابة: Cph = 828,4 µF
النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، VL = √3·Vph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، IL = √3·Iph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. تحسين معامل القدرة: تقدّم المكثّفات القدرة غير الفعّالة محليًا، QC = P·(tan φ1 − tan φ2). يقدّم كل مكثّف من المكثّفات الثلاثة QC/3 = V²·ω·C، حيث V الجهد على ذلك المكثّف: VL في مجموعة Δ، و VL/√3 في مجموعة Y.
القدرة غير الفعّالة قبل وبعد
القدرة الفعّالة لا تتغيّر، لذا يحدّد كل معامل قدرة القدرة غير الفعّالة: Q = P·tan φ.
الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.
الثابت الزمني
τ = L/R = 68 mH / 100 Ω = 0,68 ms
حلّ لإيجاد الزمن
0,15 = 1,5·e−t/τ → t = τ·ln(1,5/0,15)
t = 0,68·ln(10) = 1,566 ms
الإجابة
t = 1,566 ms
12.الحالات العابرة RC و RL
الإجابة: t = 166,4 ms
الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.
القيمة الابتدائية، القيمة النهائية، الثابت الزمني
لا يمكن لجهد المكثّف أن يقفز، لذا يبدأ من قيمته المخزّنة ويتّجه نحو جهد المصدر.
t = τ·ln((24 − 9)/(12 − 9)) = 103,4·ln(5) = 166,4 ms
الإجابة
t = 166,4 ms
13.ثيفنن ونورتن
الإجابة: IL = 0,24 A
نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد Vth على التوالي مع مقاومة Rth. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار IN = Vth/Rth على التوازي مع Rth.
أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر
استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.
R1 ∥ R2 = 4·10/(4+10) = 2,857 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,857 + 12 = 14,86 Ω
أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة
عندما يكون a–b مفتوحًا لا يمرّ تيار في R₃، فلا هبوط عليه و V_b = V_A. يشكّل R₁ و R₂ مقسّم جهد.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 6·10/(4+10) = 4,286 V
صِل الحِمل بمكافئ ثيفنن
يتصرّف مصدر ثيفنن و R_th على التوالي عند a–b تمامًا كالدائرة الأصلية، فيرى الحِمل حلقة توالٍ بسيطة.
IL = Vth/(Rth + RL) = 4,286/(14,86 + 3) = 0,24 A
14.ثيفنن ونورتن
الإجابة: IL = −2,675 A
نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد Vth على التوالي مع مقاومة Rth. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار IN = Vth/Rth على التوازي مع Rth.
أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر
استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.
R1 ∥ R2 = 20·25/(20+25) = 11,11 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 11,11 + 2 = 13,11 Ω
أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة
عندما يكون a–b مفتوحًا، المسار الوحيد لـ Iₛ هو عبر R₃ إلى العقدة A. أوجد V_A بتراكب V₁ و Iₛ، ثم أضف الهبوط على R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 6,667 + (−4)·11,11 = −37,78 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −37,78 + (−4)·2 = −45,78 V
صِل الحِمل بمكافئ ثيفنن
يتصرّف مصدر ثيفنن و R_th على التوالي عند a–b تمامًا كالدائرة الأصلية، فيرى الحِمل حلقة توالٍ بسيطة.
IL = Vth/(Rth + RL) = −45,78/(13,11 + 4) = −2,675 A
15.مخططات بودي والهوامش
الإجابة: BW = 636,6 Hz
الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ωc = 1/(RC) أو R/L، وfc = ωc/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) وφ = −atan(ω/ωc). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jωc). تردد تقاطع الطور ω180: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.
الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ωc = 1/(RC) أو R/L، وfc = ωc/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) وφ = −atan(ω/ωc). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jωc). تردد تقاطع الطور ω180: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.