تحليل الدوائر الكهربائية 2: دوائر التيار المتردد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الأعداد المركبة

الصيغة الديكارتية
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
الطويلة والسعة
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
الصيغتان القطبية والأسية
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
القسمة
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
حاصل الضرب وناتج القسمة
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
دي موافر
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
الجذور النونية
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
معادلة تربيعية مع p² < 4q
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

الطريقة

  1. قرّر أي صيغة تناسب العملية: الصيغة الديكارتية a + jb للجمع والطرح، والقطبية r∠θ للضرب والقسمة والقوى والجذور.
  2. اضرب بالفك مع j² = −1؛ واقسم بضرب البسط والمقام في مرافق المقام.
  3. حوّل بـ r = √(a² + b²) و θ من رسم للنقطة (a, b) (تحقق من الربع)، وعد بـ a = r cos θ، b = r sin θ.
  4. للقوى استخدم دي موافر، (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ؛ ولـ zⁿ = R∠φ اسرد كل الجذور الـ n: R1/n∠((φ + 360°k)/n).

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
التردد الزاوي
ω = 2πf
المقدار والزاوية
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات
V = I·Z

الطريقة

  1. حوّل التردد: ω = 2πf.
  2. أوجد كل ممانعة مفاعلة: XL = ωL و XC = 1/(ωC).
  3. اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
  4. أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

القدرة الفعلية
P = V·I·cos φ
القدرة غير الفعّالة
Q = V·I·sin φ
القدرة الظاهرية
S = V·I = √(P² + Q²)
معامل القدرة
pf = cos φ = P/S
مكثّف التصحيح
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

التردد الطبيعي
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
الطاقة
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
تيار الذروة
Imax = V0√(C/L)
معامل الجودة
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
RLC على التوالي
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
RLC على التوازي
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
عرض النطاق
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
ترددات نصف القدرة
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
دائرة رنين ذات مقاومة ملف r
RD = L/(C·r) = Q²·r
تضاؤل السعة
e−Rt/(2L)

الطريقة

  1. أوجد تردد الرنين أولًا: ω₀ = 1/√(LC) وf₀ = ω₀/(2π).
  2. حدد هل الدائرة على التوالي أم على التوازي: على التوالي Q = (1/R)√(L/C)، وعلى التوازي Q = R√(C/L).
  3. استخدم BW = f₀/Q لعرض النطاق، أو الصيغتين المختصرتين R/(2πL) (توالٍ) و1/(2πRC) (توازٍ).
  4. في أسئلة الطاقة، استخدم أن الطاقة الكلية ½CV₀² تبقى ثابتة في دائرة LC المثالية وتتنقل بين C وL كل ربع دورة.

القدرة ثلاثية الطور

توصيل نجمة (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
توصيل دلتا (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
القدرة الفعّالة الكلية
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
القدرة الظاهرية والقدرة غير الفعّالة
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
مكثّفات التصحيح
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
الجهد على كل مكثّف
Δ: VL Y: VL/√3
قدرة دخل المحرّك
Pin = Pout/η

الحالات العابرة RC و RL

الثابت الزمني
τ = RC | τ = L/R
الاستجابة
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
المكثّف في التيار المستمر
دائرة مفتوحة؛ لا يمكن أن يقفز vC
الملف في التيار المستمر
قصر؛ لا يمكن أن يقفز iL
الحالة المستقرة
t ≈ 5τ

الطريقة

  1. أوجد القيمة الابتدائية مباشرة بعد التبديل: جهد المكثّف وتيار الملف لا يقفزان.
  2. أوجد القيمة النهائية بعد التبديل بزمن طويل: يتصرّف المكثّف كدائرة مفتوحة، والملف كقصر.
  3. أوجد الثابت الزمني: τ = RC أو τ = L/R، باستخدام المقاومة التي يراها المكثّف أو الملف.
  4. استخدم x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

ثيفنن ونورتن

جهد ثيفنن
Vth = Vopen circuit
مقاومة ثيفنن
Rth: كل المصادر مُطفأة، منظورًا إليها من a–b
تيار نورتن
IN = Vth/Rth
تيار الحِمل
IL = Vth/(Rth + RL)
أقصى نقل للقدرة
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

الطريقة

  1. أزل الحِمل وعلّم الطرفين a و b.
  2. أوجد جهد الدائرة المفتوحة بين a و b: هذا هو Vth.
  3. أطفئ كل المصادر المستقلة وأوجد المقاومة المرئية من a–b: هذه هي Rth.
  4. أعد الحِمل إلى الدائرة المكافئة: Vth على التوالي مع Rth.
  5. لمكافئ نورتن، حوّل: IN = Vth/Rth، مع RN = Rth على التوازي.

2مسائل تدريبية

1.الأعداد المركبةمتوسطة
ReIm11−1−122−2−2z₁z₂w

لديك z₁ = 2,5∠125° و z₂ = 2∠−25°، جد الجزء الحقيقي لـ w = z₁/z₂.

z₁ = 2,5∠125°z₂ = 2∠−25°
Re(w) =
2.الأعداد المركبةصعبة
ReIm11−1−122−2−2θz

استخدم مبرهنة دي موافر لإيجاد الجزء الحقيقي لـ z⁴ حيث z = 2 + j2.

z = 2 + j2n = 4
Re(z⁴) =
3.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة
12 V500 HzR = 50 ΩL = 150 mHC = 4,7 µF

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 12 V (فعّال)، 500 Hz. أوجد زاوية الطور φ للمعاوقة بالدرجات (موجبة عندما يتأخّر التيار عن الجهد).

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩL = 150 mHC = 4,7 µF
φ = °
4.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة
230 V60 HzR1​ = 20 ΩR2​ = 40 ΩC = 100 µF

مقاومة R1 موصولة على التوالي مع توصيلة توازي من R2 ومكثّف C، على مصدر 230 V (فعّال)، 60 Hz. أوجد مقدار المعاوقة |Z|.

V = 230 V (rms)f = 60 HzR1 = 20 ΩR2 = 40 ΩC = 100 µF
|Z| = Ω
5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةمتوسطة
P = 37 kWQ = ?Sφ

يستهلك محرّك أحادي الطور 37 kW بمعامل قدرة 0,9 متأخّر من مصدر 240 V. أوجد القدرة غير الفعّالة Q التي يسحبها.

P = 37 kWpf = 0,9V = 240 V
Q = kvar
6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةصعبة
P1​ = 29 kWQ1​S1​φ

محوّل أحادي الطور قدرته 50 kVA يغذّي حِملًا 29 kW بمعامل قدرة 0,8 متأخّر. ما مقدار القدرة الفعلية الإضافية ΔP التي يمكن إضافتها كحِمل مقاومي (معامل قدرة واحد) قبل أن يبلغ المحوّل قدرته الاسمية بوحدة kVA؟

Smax = 50 kVAP1 = 29 kWpf1 = 0,8
ΔP = kW
7.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقمتوسطة
tvC​iL​T/4 = ?T/2TL = 220 µHC = 10 nF

في دائرة LC مثالية فيها L = 220 µH وC = 10 nF، يكون المكثف مشحونًا بالكامل عند t = 0. كم يمضي من الزمن حتى تصبح كل الطاقة في الملف؟ أعط t بوحدة µs.

L = 220 µHC = 10 nF
t = µs
8.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقصعبة
VR = ?22 mHC

تستخدم دائرة رنين على التوالي ملفًا حثّيًا 22 mH. أي مقاومة توالٍ كلية R تعطي عرض نطاق 5 kHz؟

L = 22 mHBW = 5 kHz
R = Ω
9.القدرة ثلاثية الطورمتوسطة
ABCVL​ = 400 VIL​ = ?M18,5 kW, η = 92%cos φ = 0,84

محرّك حثّي ثلاثي الطور يعطي قدرة خرج ميكانيكية مقدارها 18,5 kW عند الحمل الكامل. عند هذا الحمل تكون كفاءته 92% ومعامل قدرته 0,84 متأخرًا. جهد خط المصدر 400 V. أوجد تيار الخط IL.

Pout = 18,5 kWη = 92%cos φ = 0,84VL = 400 V
IL = A
10.القدرة ثلاثية الطورصعبة
P = 120 kWφ1​S1​Q2​QC​

حمل ثلاثي الطور متوازن يأخذ 120 kW عند معامل قدرة 0,78 متأخر من مصدر 415 V (جهد خط) و 60 Hz. يجب أن ترفع مجموعة مكثّفات ثلاثية الطور موصولة على التوازي مع الحمل معامل القدرة الكلي إلى 0,98 متأخر. تبقى القدرة الفعّالة كما هي. المكثّفات موصولة دلتا (Δ). أوجد السعة Cph لكل مكثّف بالـ µF.

P = 120 kWpf1 = 0,78pf2 = 0,98VL = 415 Vf = 60 Hz
Cph = µF
11.الحالات العابرة RC و RLمتوسطة
+−Vs​24 Vt = 0R = 15 ΩL100 mHi(t)

لا يمرّ تيار في الملف قبل أن يُغلق المفتاح عند t = 0. بعد كم من الوقت من إغلاق المفتاح يبلغ التيار 75% من قيمته النهائية؟ أوجد t.

Vs = 24 VR = 15 ΩL = 100 mH
t = ms
12.الحالات العابرة RC و RLصعبة
+−Vs​20 VR1​ = 5 ΩR2​ = 47 Ωيُغلق عند t = 0L47 mHi(t)

المفتاح الموصول على طرفي R2 مفتوح منذ وقت طويل، لذا تيار الملف مستقر. عند t = 0 يُغلق المفتاح ويقصر R2. بعد كم من t = 0 يبلغ تيار الملف 2,554 A؟ أوجد t.

Vs = 20 VR1 = 5 ΩR2 = 47 ΩL = 47 mH
t = ms
13.ثيفنن ونورتنمتوسطة
R1​ = 10 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​15 VR2​20 ΩAab

أوجد تيار نورتن IN: التيار الذي يسري من a إلى b إذا قُصر الطرفان.

V1 = 15 VR1 = 10 ΩR2 = 20 ΩR3 = 8 Ω
IN = A
14.ثيفنن ونورتنصعبة
R1​ = 20 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​18 VR2​5 ΩAIs​2,5 ABab

أوجد تيار نورتن IN: التيار الذي يسري من a إلى b إذا قُصر الطرفان.

V1 = 18 VIs = 2,5 AR1 = 20 ΩR2 = 5 ΩR3 = 5 Ω
IN = A
15.مخططات بودي والهوامشمتوسطة
|H| (dB)0,010,010,10,1111010100100−200204060ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−90−450ω = 0,5

أوجد الطور ∠G(jω) لـ G(s) = 48(s + 1)/(s(s + 6)) عند ω = 0,5 rad/s، بالدرجات.

G(s) = 48(s + 1)/(s(s + 6))ω = 0,5 rad/s
∠G(jω) = °
16.مخططات بودي والهوامشصعبة
|H| (dB)0,10,1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​

حلقة تغذية عكسية وحدوية دالة نقلها المفتوحة L(s) = 46/(s(s + 4)(s + 5)). أوجد هامش الكسب GM بوحدة dB.

L(s) = 46/(s(s + 4)(s + 5))
GM = dB

3المحاليل

1.الأعداد المركبة

الإجابة: Re(w) = −1,083

الصيغة القطبية: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ، حيث r = |z| و θ = arg z. والعودة إلى الصيغة الديكارتية: a = r cos θ، b = r sin θ. تحتاج السعة إلى الربع: θ = atan(b/a) فقط عندما a > 0؛ وعندما a < 0 أضف 180° أو اطرحها. في الصيغة القطبية الضرب سهل: اضرب الطويلتين واجمع السعتين؛ وللقسمة اقسم الطويلتين واطرح السعتين.

طويلة w وسعتها

|w| = 2,5 / 2 = 1,25
θ = 125° − (−25)° = 150°

الصيغة الديكارتية

Re(w) = 1,25·cos(150°) = −1,083
Im(w) = 1,25·sin(150°) = 0,625
Re(w) = −1,083

الإجابة

Re(w) = −1,083
2.الأعداد المركبة

الإجابة: Re(z⁴) = −64

دي موافر والجذور: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. للمعادلة zⁿ = R∠φ بالضبط n جذرًا، كلها بطويلة R1/n، عند السعات (φ + 360°·k)/n لـ k = 0, 1, …, n − 1: تقع متباعدة بانتظام على دائرة، بفارق 360°/n. للمعادلة التربيعية z² + pz + q = 0 مع p² < 4q جذران مركبان z = −p/2 ± j√(q − p²/4)؛ وكثير الحدود ذو المعاملات الحقيقية تأتي جذوره المركبة دائمًا في أزواج مترافقة a ± jb.

الصيغة القطبية

z = 2 + j2 = 2√2∠45°

دي موافر

z⁴ = (2√2)⁴∠180° = 64∠180°

الصيغة الديكارتية

z⁴ = 64·(cos 180° + j sin 180°) = −64
Re(z⁴) = −64

الإجابة

Re(z⁴) = −64
3.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: φ = 82,94 °

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

المفاعلات

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0,15 = 471,2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·4,7·10⁻⁶) = 67,73 Ω

المعاوقة

على التوالي تُجمع المعاوقات كأعداد مركّبة: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (403,5)²) = 406,6 Ω

زاوية الطور

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(403,5/50) = 82,94°

الإجابة

φ = 82,94°
4.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: |Z| = 37,11 Ω

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

المفاعلة

XC = 1/(2π·60·100·10⁻⁶) = 26,53 Ω

توصيلة التوازي

اضرب البسط والمقام في المرافق المركّب لفصل Zp إلى جزأين حقيقي وتخيّلي.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 12,22 − j18,42 Ω

المعاوقة الكلية

Z = 20 + 12,22 − j18,42 = 32,22 − j18,42 Ω
|Z| = √(32,22² + 18,42²) = 37,11 Ω

الإجابة

|Z| = 37,11 Ω
5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: Q = 17,92 kvar

قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.

الزاوية

φ = arccos(0,9) = 25,84°, tan φ = 0,4843

القدرة غير الفعّالة

Q = P·tan φ = 37·0,4843 = 17,92 kvar

الإجابة

Q = 17,92 kvar
6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: ΔP = 16,02 kW

قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.

القدرة غير الفعّالة للحِمل الموجود

Q1 = 29·tan(arccos 0,8) = 21,75 kvar

أكبر قدرة فعلية كلية

عند القدرة الاسمية الكاملة S = Smax، و Q لا يتغيّر بالحِمل المقاومي.

P = √(Smax² − Q1²) = √(50² − 21,75²) = 45,02 kW

القدرة الفعلية الإضافية

ΔP = 45,02 − 29 = 16,02 kW

الإجابة

ΔP = 16,02 kW
7.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

الإجابة: t = 2,33 µs

رنين LC: المكثف المشحون الموصول بملف حثّي يدفع تيارًا يشحنه في الاتجاه المعاكس: تتأرجح الطاقة بين المجال الكهربائي للمكثف C (½Cv²) والمجال المغناطيسي للملف L (½Li²) عند التردد الطبيعي f0 = 1/(2π√(LC)). وبدون مقاومة تبقى الطاقة الكلية ½CV0² ثابتة، فيكون التيار الأقصى Imax = V0√(C/L). الدورة الواحدة T = 1/f0؛ وتنتقل الطاقة من C إلى L في ربعها.

الزمن الدوري

T = 2π√(0,00022·1 × 10⁻⁸) = 9,319 µs

ربع الدورة

t = T/4 = 2,33 µs

الإجابة

t = 2,33 µs
8.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

الإجابة: R = 691,2 Ω

معامل الجودة وعرض النطاق: في الدائرة الرنانة Q = 2π·(الطاقة المختزنة)/(الطاقة المفقودة في الدورة). في RLC على التوالي Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)؛ وفي RLC على التوازي Q = R/(ω0L) = R√(C/L). عرض النطاق بين ترددي نصف القدرة f1 وf2 (حيث تكون القدرة النصف والتيار أو الجهد 1/√2 من ذروته) هو BW = f2 − f1 = f0/Q، ويساوي R/(2πL) على التوالي و1/(2πRC) على التوازي. تردد الرنين هو الوسط الهندسي f0 = √(f1f2)، وf1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). تجعل الفواقد التذبذب يتضاءل أيضًا: في RLC على التوالي تتناقص السعة كـ e−Rt/(2L).

عرض النطاق على التوالي

BW = R/(2πL)

المقاومة

R = 2π·0,022·5000 = 691,2 Ω

الإجابة

R = 691,2 Ω
9.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: IL = 34,55 A

النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، VL = √3·Vph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، IL = √3·Iph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

القدرة الكهربائية الداخلة

Pin = Pout/η = 18,5/0,92 = 20,11 kW

تيار الخط

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 20109/(√3·400·0,84) = 34,55 A

الإجابة

IL = 34,55 A
10.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: Cph = 369,2 µF

النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، VL = √3·Vph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، IL = √3·Iph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. تحسين معامل القدرة: تقدّم المكثّفات القدرة غير الفعّالة محليًا، QC = P·(tan φ1 − tan φ2). يقدّم كل مكثّف من المكثّفات الثلاثة QC/3 = V²·ω·C، حيث V الجهد على ذلك المكثّف: VL في مجموعة Δ، و VL/√3 في مجموعة Y.

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

القدرة الفعّالة لا تتغيّر، لذا يحدّد كل معامل قدرة القدرة غير الفعّالة: Q = P·tan φ.

Q1 = 120·tan(acos 0,78) = 120·0,8023 = 96,27 kvar
Q2 = 120·tan(acos 0,98) = 120·0,2031 = 24,37 kvar

القدرة غير الفعّالة من المكثّفات

QC = Q1 − Q2 = 71,91 kvar

السعة لكل طور

في مجموعة Δ يوصل كل مكثّف بين خطين.

V = 415 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 23969/(377·415²) = 369,2 µF

الإجابة

Cph = 369,2 µF
11.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: t = 9,242 ms

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

الثابت الزمني والتيار النهائي

بعد إغلاق المفتاح بوقت طويل يتصرّف الملف كقصر، لذا يحدّد R وحده التيار النهائي.

τ = L/R = 100 mH / 15 Ω = 6,667 ms
i(∞) = Vs/R = 24/15 = 1,6 A

حلّ لإيجاد الزمن

0,75 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,75)
t = −6,667·ln(0,25) = 9,242 ms

الإجابة

t = 9,242 ms
12.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: t = 8,614 ms

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

القيمة الابتدائية، القيمة النهائية، الثابت الزمني

قبل t = 0 تكون المقاومتان كلتاهما في الحلقة؛ وبعدها يتجاوز المفتاح المغلق R₂.

i(0) = 20/(5 + 47) = 0,3846 A
i(∞) = 20/5 = 4 A
τ = L/R = 47/5 = 9,4 ms
i(t) = 4 + (0,3846 − 4)·e−t/τ

حلّ لإيجاد الزمن

e−t/τ = (2,554 − 4)/(0,3846 − 4) = 0,4
t = 9,4·ln(2,5) = 8,614 ms

الإجابة

t = 8,614 ms
13.ثيفنن ونورتن

الإجابة: IN = 0,6818 A

نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد Vth على التوالي مع مقاومة Rth. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار IN = Vth/Rth على التوازي مع Rth.

R1​ = 10 ΩR3​ = 8 ΩقصرR2​20 ΩAabRth​

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R1 ∥ R2 = 10·20/(10+20) = 6,667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6,667 + 8 = 14,67 Ω
R1​ = 10 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​15 VR2​20 ΩAab+−Vth​

أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة

عندما يكون a–b مفتوحًا لا يمرّ تيار في R₃، فلا هبوط عليه و V_b = V_A. يشكّل R₁ و R₂ مقسّم جهد.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 15·20/(10+20) = 10 V
IN​0,6818 ARth​14,67 Ωab

مكافئ نورتن

مصدر نورتن هو الدائرة نفسها منظورًا إليها كمصدر تيار على التوازي مع R_th. تياره هو تيار القصر بين a–b.

IN = Vth/Rth = 10/14,67 = 0,6818 A
14.ثيفنن ونورتن

الإجابة: IN = 2,9 A

نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد Vth على التوالي مع مقاومة Rth. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار IN = Vth/Rth على التوازي مع Rth.

R1​ = 20 ΩR3​ = 5 ΩقصرR2​5 ΩAمفتوحBabRth​

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R1 ∥ R2 = 20·5/(20+5) = 4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4 + 5 = 9 Ω
R1​ = 20 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​18 VR2​5 ΩAIs​2,5 ABab+−Vth​

أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة

عندما يكون a–b مفتوحًا، المسار الوحيد لـ Iₛ هو عبر R₃ إلى العقدة A. أوجد V_A بتراكب V₁ و Iₛ، ثم أضف الهبوط على R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 3,6 + 2,5·4 = 13,6 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 13,6 + 2,5·5 = 26,1 V
IN​2,9 ARth​9 Ωab

مكافئ نورتن

مصدر نورتن هو الدائرة نفسها منظورًا إليها كمصدر تيار على التوازي مع R_th. تياره هو تيار القصر بين a–b.

IN = Vth/Rth = 26,1/9 = 2,9 A
15.مخططات بودي والهوامش

الإجابة: ∠G(jω) = −68,2 °

الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ωc = 1/(RC) أو R/L، وfc = ωc/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) وφ = −atan(ω/ωc). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jωc). تردد تقاطع الطور ω180: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.

اجمع الزوايا

∠G = atan(0,5/1) − 90° − atan(0,5/6) = 26,57° − 90° − 4,764°

النتيجة

∠G(j0,5) = −68,2°

الإجابة

∠G(jω) = −68,2°
16.مخططات بودي والهوامش

الإجابة: GM = 11,85 dB

الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ωc = 1/(RC) أو R/L، وfc = ωc/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) وφ = −atan(ω/ωc). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jωc). تردد تقاطع الطور ω180: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.

تقاطع الطور

(ω/4)·(ω/5) = 1 → ω180 = √(4·5) = 4,472 rad/s

المقدار عند تقاطع الطور

|L(jω180)| = K/(ω·√(ω² + 16)·√(ω² + 25)) = K/(4·5·(4 + 5)) = K/180

هامش الكسب

GM = 20·log₁₀(180/46) = 11,85 dB

الإجابة

GM = 11,85 dB

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2