تحليل الدوائر الكهربائية 2: دوائر التيار المتردد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الأعداد المركبة

الصيغة الديكارتية: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
الطويلة والسعة: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
الصيغتان القطبية والأسية: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
القسمة: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
حاصل الضرب وناتج القسمة: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
دي موافر: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
الجذور النونية: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
معادلة تربيعية مع p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

الطريقة

قرّر أي صيغة تناسب العملية: الصيغة الديكارتية a + jb للجمع والطرح، والقطبية r∠θ للضرب والقسمة والقوى والجذور.
اضرب بالفك مع j² = −1؛ واقسم بضرب البسط والمقام في مرافق المقام.
حوّل بـ r = √(a² + b²) و θ من رسم للنقطة (a, b) (تحقق من الربع)، وعد بـ a = r cos θ، b = r sin θ.
للقوى استخدم دي موافر، (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ؛ ولـ zⁿ = R∠φ اسرد كل الجذور الـ n: R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
التردد الزاوي: ω = 2πf
المقدار والزاوية: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات: V = I·Z

الطريقة

حوّل التردد: ω = 2πf.
أوجد كل ممانعة مفاعلة: X_L = ωL و X_C = 1/(ωC).
اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

القدرة الفعلية: P = V·I·cos φ
القدرة غير الفعّالة: Q = V·I·sin φ
القدرة الظاهرية: S = V·I = √(P² + Q²)
معامل القدرة: pf = cos φ = P/S
مكثّف التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

التردد الطبيعي: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
الطاقة: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
تيار الذروة: I_max = V₀√(C/L)
معامل الجودة: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
RLC على التوالي: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
RLC على التوازي: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
عرض النطاق: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
ترددات نصف القدرة: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
دائرة رنين ذات مقاومة ملف r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
تضاؤل السعة: e^−Rt/(2L)

الطريقة

أوجد تردد الرنين أولًا: ω₀ = 1/√(LC) وf₀ = ω₀/(2π).
حدد هل الدائرة على التوالي أم على التوازي: على التوالي Q = (1/R)√(L/C)، وعلى التوازي Q = R√(C/L).
استخدم BW = f₀/Q لعرض النطاق، أو الصيغتين المختصرتين R/(2πL) (توالٍ) و1/(2πRC) (توازٍ).
في أسئلة الطاقة، استخدم أن الطاقة الكلية ½CV₀² تبقى ثابتة في دائرة LC المثالية وتتنقل بين C وL كل ربع دورة.

القدرة ثلاثية الطور

توصيل نجمة (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
توصيل دلتا (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
القدرة الفعّالة الكلية: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
القدرة الظاهرية والقدرة غير الفعّالة: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
مكثّفات التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
الجهد على كل مكثّف: Δ: V_L Y: V_L/√3
قدرة دخل المحرّك: P_in = P_out/η

الحالات العابرة RC و RL

الثابت الزمني: τ = RC | τ = L/R
الاستجابة: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
المكثّف في التيار المستمر: دائرة مفتوحة؛ لا يمكن أن يقفز v_C
الملف في التيار المستمر: قصر؛ لا يمكن أن يقفز i_L
الحالة المستقرة: t ≈ 5τ

الطريقة

أوجد القيمة الابتدائية مباشرة بعد التبديل: جهد المكثّف وتيار الملف لا يقفزان.
أوجد القيمة النهائية بعد التبديل بزمن طويل: يتصرّف المكثّف كدائرة مفتوحة، والملف كقصر.
أوجد الثابت الزمني: τ = RC أو τ = L/R، باستخدام المقاومة التي يراها المكثّف أو الملف.
استخدم x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

ثيفنن ونورتن

جهد ثيفنن: V_th = V_{open circuit}
مقاومة ثيفنن: R_th: كل المصادر مُطفأة، منظورًا إليها من a–b
تيار نورتن: I_N = V_th/R_th
تيار الحِمل: I_L = V_th/(R_th + R_L)
أقصى نقل للقدرة: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

الطريقة

أزل الحِمل وعلّم الطرفين a و b.
أوجد جهد الدائرة المفتوحة بين a و b: هذا هو V_th.
أطفئ كل المصادر المستقلة وأوجد المقاومة المرئية من a–b: هذه هي R_th.
أعد الحِمل إلى الدائرة المكافئة: V_th على التوالي مع R_th.
لمكافئ نورتن، حوّل: I_N = V_th/R_th، مع R_N = R_th على التوازي.

2مسائل تدريبية

1.الأعداد المركبةمتوسطة

لديك z₁ = 2∠30° و z₂ = 4∠45°، جد سعة θ للعدد w = z₁·z₂ بالدرجات، بين −180° و180°.

z₁ = 2∠30°z₂ = 4∠45°

θ = °

2.الأعداد المركبةصعبة

جذور zⁿ = w مع n = 5 و w = 32∠0° هي z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n)، k = 0, 1, …, 4. جد سعة z₄ بالدرجات، بين −180° و180°.

w = 32∠0°n = 5k = 4

θ₄ = °

3.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة

دائرة RLC على التوالي مع C = 22 µF يجب أن ترنّ عند 500 Hz. أوجد المحاثة L المطلوبة.

f₀ = 500 HzC = 22 µF

L = mH

4.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 230 V (فعّال)، 50 Hz. أوجد الجهد الفعّال V_C على المكثّف.

V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 30 ΩL = 200 mHC = 47 µF

V_C = V

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةمتوسطة

يأخذ حِمل حثي 12 A و 2592 W من مصدر أحادي الطور 240 V (فعّال). مثّله بمقاومة R على التوالي مع مفاعلة X. أوجد X.

V = 240 VI = 12 AP = 2592 W

X = Ω

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةصعبة

يستهلك حِمل أحادي الطور 15 kW بمعامل قدرة 0,7 متأخّر من مصدر 400 V، 50 Hz. يرفع مكثّف موصول على التوازي معامل القدرة إلى 0,95. أوجد السعة C اللازمة.

P = 15 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,95V = 400 Vf = 50 Hz

C = µF

7.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقمتوسطة

يتذبذب مكثف 10 nF مشحون إلى 24 V مع ملف حثّي مثالي 470 µH. أوجد الطاقة W_L المختزنة في الملف لحظة يكون جهد المكثف 12 V، بوحدة µJ.

C = 10 nFV₀ = 24 Vv_C = 12 V

W_L = µJ

8.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقصعبة

تعمل دائرة RLC على التوالي (R = 5 Ω، L = 1 mH، C = 470 nF) عند الرنين بسعة تيار 500 mA. أوجد الطاقة E_cycle المبددة في R خلال دورة واحدة، بوحدة µJ.

R = 5 ΩL = 1 mHC = 470 nFI_m = 500 mA

E_cycle = µJ

9.القدرة ثلاثية الطورمتوسطة

حمل ثلاثي الطور متوازن يسحب تيار خط مقداره 50 A من مصدر جهد خطه 400 V. معامل القدرة 0,7 متأخر. أوجد القدرة الفعّالة الكلية P التي يسحبها الحمل بالـ kW.

V_L = 400 VI_L = 50 Acos φ = 0,7

P = kW

10.القدرة ثلاثية الطورصعبة

حمل ثلاثي الطور متوازن يأخذ 80 kW عند معامل قدرة 0,75 متأخر من مصدر 400 V (جهد خط) و 60 Hz. يجب أن ترفع مجموعة مكثّفات ثلاثية الطور موصولة على التوازي مع الحمل معامل القدرة الكلي إلى 0,9 متأخر. تبقى القدرة الفعّالة كما هي. المكثّفات موصولة دلتا (Δ). أوجد السعة C_ph لكل مكثّف بالـ µF.

P = 80 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,9V_L = 400 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.الحالات العابرة RC و RLمتوسطة

لا يمرّ تيار في الملف قبل أن يُغلق المفتاح عند t = 0. بعد كم من الوقت من إغلاق المفتاح يبلغ التيار 80% من قيمته النهائية؟ أوجد t.

V_s = 6 VR = 47 ΩL = 47 mH

t = ms

12.الحالات العابرة RC و RLصعبة

يبدأ مؤقّت بشحن مكثّف غير مشحون عبر مقاومة من مصدر 5 V عند t = 0. يجب أن يُطلق عندما يبلغ جهد المكثّف 3,75 V، بعد 100 ms بالضبط من البداية. مع R = 1 kΩ، أوجد السعة C المطلوبة.

V_s = 5 VV_th = 3,75 VT = 100 msR = 1 kΩ

C = µF

13.ثيفنن ونورتنمتوسطة

أوجد جهد ثيفنن V_th المرئي من الطرفين a–b.

V₁ = 10 VR₁ = 15 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 4 Ω

V_th = V

14.ثيفنن ونورتنصعبة

أوجد تيار نورتن I_N: التيار الذي يسري من a إلى b إذا قُصر الطرفان.

V₁ = 36 VI_s = 1,5 AR₁ = 15 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 12 Ω

I_N = A

15.مخططات بودي والهوامشمتوسطة

لـ مرشح RC لتمرير الترددات العالية الموضح R = 2,2 kΩ, C = 4,7 nF. يُطبَّق دخل جيبي مقداره 3,1 kHz. أوجد الكسب |H| = |v_out/v_in| بوحدة dB.

R = 2,2 kΩC = 4,7 nFf = 3,1 kHz

|H| = dB

16.مخططات بودي والهوامشصعبة

حلقة تغذية عكسية وحدوية دالة نقلها المفتوحة L(s) = 238/(s(s + 5)(s + 10)). أوجد هامش الكسب GM بوحدة dB.

L(s) = 238/(s(s + 5)(s + 10))

GM = dB

3المحاليل

1.الأعداد المركبة

الإجابة: θ = 75 °

الصيغة القطبية: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ، حيث r = |z| و θ = arg z. والعودة إلى الصيغة الديكارتية: a = r cos θ، b = r sin θ. تحتاج السعة إلى الربع: θ = atan(b/a) فقط عندما a > 0؛ وعندما a < 0 أضف 180° أو اطرحها. في الصيغة القطبية الضرب سهل: اضرب الطويلتين واجمع السعتين؛ وللقسمة اقسم الطويلتين واطرح السعتين.

طويلة w وسعتها

|w| = 2 · 4 = 8

θ = 30° + 45° = 75°

السعة

θ = 75°

الإجابة

θ = 75°

2.الأعداد المركبة

الإجابة: θ₄ = −72 °

دي موافر والجذور: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. للمعادلة zⁿ = R∠φ بالضبط n جذرًا، كلها بطويلة R^1/n، عند السعات (φ + 360°·k)/n لـ k = 0, 1, …, n − 1: تقع متباعدة بانتظام على دائرة، بفارق 360°/n. للمعادلة التربيعية z² + pz + q = 0 مع p² < 4q جذران مركبان z = −p/2 ± j√(q − p²/4)؛ وكثير الحدود ذو المعاملات الحقيقية تأتي جذوره المركبة دائمًا في أزواج مترافقة a ± jb.

طويلة الجذور

32^1/5 = 2

سعة الجذر

θ₄ = (0° + 360°·4)/5 = 288° → −72°

السعة

θ₄ = −72°

الإجابة

θ₄ = −72°

تقع الجذور الـ 5 على دائرة نصف قطرها 2، تفصل بين كل جذرين زاوية 72°.

3.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: L = 4,606 mH

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

شرط الرنين

عند الرنين تُلغي المفاعلتان الحثية والسعوية بعضهما: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·500 = 3142 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(3142²·22·10⁻⁶) = 4,606 mH

الإجابة

L = 4,606 mH

4.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: V_C = 512,5 V

المفاعلات

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,2 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·47·10⁻⁶) = 67,73 Ω

المعاوقة

على التوالي تُجمع المعاوقات كأعداد مركّبة: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (−4,894)²) = 30,4 Ω

التيار

يمرّ التيار نفسه في كل عنصر من عناصر دائرة التوالي.

I = V/|Z| = 230/30,4 = 7,567 A

الجهد على المكثّف

V_C = I·X_C = 7,567·67,73 = 512,5 V

الإجابة

V_C = 512,5 V

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: X = 8,718 Ω

قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.

المقاومة من القدرة الفعلية

R = P/I² = 2592/12² = 18 Ω

المفاعلة من المعاوقة

|Z| = V/I = 240/12 = 20 Ω

X = √(|Z|² − R²) = √(20² − 18²) = 8,718 Ω

الإجابة

X = 8,718 Ω

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: C = 206,4 µF

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

لا تتغيّر القدرة الفعلية P؛ تتغيّر فقط القدرة غير الفعّالة المسحوبة من الشبكة.

Q₁ = P·tan φ₁ = 15·tan(45,57°) = 15,3 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 15·tan(18,19°) = 4,93 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 10,37 kvar

السعة

المكثّف الموصول على المصدر يزوّد Q = V²·ωC.

C = Q_C/(2πf·V²) = 10373/(2π·50·400²) = 206,4 µF

الإجابة

C = 206,4 µF

7.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

الإجابة: W_L = 2,16 µJ

رنين LC: المكثف المشحون الموصول بملف حثّي يدفع تيارًا يشحنه في الاتجاه المعاكس: تتأرجح الطاقة بين المجال الكهربائي للمكثف C (½Cv²) والمجال المغناطيسي للملف L (½Li²) عند التردد الطبيعي f₀ = 1/(2π√(LC)). وبدون مقاومة تبقى الطاقة الكلية ½CV₀² ثابتة، فيكون التيار الأقصى I_max = V₀√(C/L). الدورة الواحدة T = 1/f₀؛ وتنتقل الطاقة من C إلى L في ربعها.

الطاقة الكلية

½·1 × 10⁻⁸·24² = 2,88 × 10⁻⁶ J

الطاقة المتبقية في المكثف

½·1 × 10⁻⁸·12² = 7,2 × 10⁻⁷ J

الطاقة في الملف

W_L = 2,16 × 10⁻⁶ J = 2,16 µJ

الإجابة

W_L = 2,16 µJ

8.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

الإجابة: E_cycle = 85,14 µJ

معامل الجودة وعرض النطاق: في الدائرة الرنانة Q = 2π·(الطاقة المختزنة)/(الطاقة المفقودة في الدورة). في RLC على التوالي Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C)؛ وفي RLC على التوازي Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). عرض النطاق بين ترددي نصف القدرة f₁ وf₂ (حيث تكون القدرة النصف والتيار أو الجهد 1/√2 من ذروته) هو BW = f₂ − f₁ = f₀/Q، ويساوي R/(2πL) على التوالي و1/(2πRC) على التوازي. تردد الرنين هو الوسط الهندسي f₀ = √(f₁f₂)، وf_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). تجعل الفواقد التذبذب يتضاءل أيضًا: في RLC على التوالي تتناقص السعة كـ e^−Rt/(2L).

الطاقة المخزّنة

W = ½·0,001·0,5² = 0,000125 J

معامل الجودة

Q = (1/5)·√(0,001/4,7 × 10⁻⁷) = 9,225

الطاقة المفقودة في الدورة

E_cycle = 2π·W/Q = 2π·0,000125/9,225 = 8,514 × 10⁻⁵ J = 85,14 µJ

تحقّق: ½·0,5²·5/7341 = 8,514 × 10⁻⁵ J

الإجابة

E_cycle = 85,14 µJ

9.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: P = 24,25 kW

القدرة الظاهرية

S = √3·V_L·I_L = √3·400·50 = 34,64 kVA

القدرة الفعلية

P = S·cos φ = 34,64·0,7 = 24,25 kW

الإجابة

P = 24,25 kW

10.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: C_ph = 175,8 µF

النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، V_L = √3·V_ph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، I_L = √3·I_ph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. تحسين معامل القدرة: تقدّم المكثّفات القدرة غير الفعّالة محليًا، Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). يقدّم كل مكثّف من المكثّفات الثلاثة Q_C/3 = V²·ω·C، حيث V الجهد على ذلك المكثّف: V_L في مجموعة Δ، و V_L/√3 في مجموعة Y.

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

القدرة الفعّالة لا تتغيّر، لذا يحدّد كل معامل قدرة القدرة غير الفعّالة: Q = P·tan φ.

Q₁ = 80·tan(acos 0,75) = 80·0,8819 = 70,55 kvar

Q₂ = 80·tan(acos 0,9) = 80·0,4843 = 38,75 kvar

القدرة غير الفعّالة من المكثّفات

Q_C = Q₁ − Q₂ = 31,81 kvar

السعة لكل طور

في مجموعة Δ يوصل كل مكثّف بين خطين.

V = 400 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 10603/(377·400²) = 175,8 µF

الإجابة

C_ph = 175,8 µF

11.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: t = 1,609 ms

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

الثابت الزمني والتيار النهائي

بعد إغلاق المفتاح بوقت طويل يتصرّف الملف كقصر، لذا يحدّد R وحده التيار النهائي.

τ = L/R = 47 mH / 47 Ω = 1 ms

i(∞) = V_s/R = 6/47 = 0,1277 A

حلّ لإيجاد الزمن

0,8 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,8)

t = −1·ln(0,2) = 1,609 ms

الإجابة

t = 1,609 ms

12.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: C = 72,13 µF

الثابت الزمني المطلوب

3,75 = 5·(1 − e^−100/τ) → τ = 100/ln(5/(5 − 3,75))

τ = 100/1,386 = 72,13 ms

السعة

kΩ مضروبة في µF تعطي ميلي ثانية.

C = τ/R = 72,13/1 = 72,13 µF

الإجابة

C = 72,13 µF

13.ثيفنن ونورتن

الإجابة: V_th = 2,857 V

نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد V_th على التوالي مع مقاومة R_th. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار I_N = V_th/R_th على التوازي مع R_th.

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R₁ ∥ R₂ = 15·6/(15+6) = 4,286 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4,286 + 4 = 8,286 Ω

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة

عندما يكون a–b مفتوحًا لا يمرّ تيار في R₃، فلا هبوط عليه و V_b = V_A. يشكّل R₁ و R₂ مقسّم جهد.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 10·6/(15+6) = 2,857 V

14.ثيفنن ونورتن

الإجابة: I_N = 1,808 A

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R₁ ∥ R₂ = 15·2/(15+2) = 1,765 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,765 + 12 = 13,76 Ω

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة

عندما يكون a–b مفتوحًا، المسار الوحيد لـ Iₛ هو عبر R₃ إلى العقدة A. أوجد V_A بتراكب V₁ و Iₛ، ثم أضف الهبوط على R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 4,235 + 1,5·1,765 = 6,882 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 6,882 + 1,5·12 = 24,88 V

مكافئ نورتن

مصدر نورتن هو الدائرة نفسها منظورًا إليها كمصدر تيار على التوازي مع R_th. تياره هو تيار القصر بين a–b.

I_N = V_th/R_th = 24,88/13,76 = 1,808 A

15.مخططات بودي والهوامش

الإجابة: |H| = −14,09 dB

الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ω_c = 1/(RC) أو R/L، وf_c = ω_c/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) وφ = −atan(ω/ω_c). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jω_c). تردد تقاطع الطور ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.

تردد الركن

ω_c = 1/(RC) = 1/(2200·4,7 × 10⁻⁹) = 96712 rad/s

f_c = 15392 Hz → f/f_c = 3100/15392 = 0,2014

الكسب

|H| = 0,2014/√(1 + 0,2014²) = 0,1974

20·log₁₀(0,1974) = −14,09 dB

الإجابة

|H| = −14,09 dB

16.مخططات بودي والهوامش

الإجابة: GM = 9,97 dB

تقاطع الطور

(ω/5)·(ω/10) = 1 → ω₁₈₀ = √(5·10) = 7,071 rad/s

المقدار عند تقاطع الطور

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 25)·√(ω² + 100)) = K/(5·10·(5 + 10)) = K/750

هامش الكسب

GM = 20·log₁₀(750/238) = 9,97 dB

الإجابة

GM = 9,97 dB

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

تحليل الدوائر الكهربائية 2: دوائر التيار المتردد: حزمة المراجعة المكثفة

1القوانين وطرق الحل

الأعداد المركبة

الطريقة

معاوقة التيار المتردد والطوريات

الطريقة

قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

الطريقة

القدرة ثلاثية الطور

الحالات العابرة RC و RL

الطريقة

ثيفنن ونورتن

الطريقة

2مسائل تدريبية

3المحاليل

طويلة w وسعتها

السعة

الإجابة

طويلة الجذور

سعة الجذر

السعة

الإجابة

شرط الرنين

الإجابة

المفاعلات

المعاوقة

التيار

الجهد على المكثّف

الإجابة

المقاومة من القدرة الفعلية

المفاعلة من المعاوقة

الإجابة

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

السعة

الإجابة

الطاقة الكلية

الطاقة المتبقية في المكثف

الطاقة في الملف

الإجابة

الطاقة المخزّنة

معامل الجودة

الطاقة المفقودة في الدورة

الإجابة

القدرة الظاهرية

القدرة الفعلية

الإجابة

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

القدرة غير الفعّالة من المكثّفات

السعة لكل طور

الإجابة

الثابت الزمني والتيار النهائي

حلّ لإيجاد الزمن

الإجابة

الثابت الزمني المطلوب

السعة

الإجابة

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة

مكافئ نورتن

تردد الركن

الكسب

الإجابة

تقاطع الطور

المقدار عند تقاطع الطور

هامش الكسب

الإجابة

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة