حدد هل الدائرة على التوالي أم على التوازي: على التوالي Q = (1/R)√(L/C)، وعلى التوازي Q = R√(C/L).
استخدم BW = f₀/Q لعرض النطاق، أو الصيغتين المختصرتين R/(2πL) (توالٍ) و1/(2πRC) (توازٍ).
في أسئلة الطاقة، استخدم أن الطاقة الكلية ½CV₀² تبقى ثابتة في دائرة LC المثالية وتتنقل بين C وL كل ربع دورة.
القدرة ثلاثية الطور
توصيل نجمة (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
توصيل دلتا (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
القدرة الفعّالة الكلية
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
القدرة الظاهرية والقدرة غير الفعّالة
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
مكثّفات التصحيح
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
الجهد على كل مكثّف
Δ: VL Y: VL/√3
قدرة دخل المحرّك
Pin = Pout/η
الحالات العابرة RC و RL
الثابت الزمني
τ = RC | τ = L/R
الاستجابة
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
المكثّف في التيار المستمر
دائرة مفتوحة؛ لا يمكن أن يقفز vC
الملف في التيار المستمر
قصر؛ لا يمكن أن يقفز iL
الحالة المستقرة
t ≈ 5τ
الطريقة
أوجد القيمة الابتدائية مباشرة بعد التبديل: جهد المكثّف وتيار الملف لا يقفزان.
أوجد القيمة النهائية بعد التبديل بزمن طويل: يتصرّف المكثّف كدائرة مفتوحة، والملف كقصر.
أوجد الثابت الزمني: τ = RC أو τ = L/R، باستخدام المقاومة التي يراها المكثّف أو الملف.
استخدم x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
ثيفنن ونورتن
جهد ثيفنن
Vth = Vopen circuit
مقاومة ثيفنن
Rth: كل المصادر مُطفأة، منظورًا إليها من a–b
تيار نورتن
IN = Vth/Rth
تيار الحِمل
IL = Vth/(Rth + RL)
أقصى نقل للقدرة
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
الطريقة
أزل الحِمل وعلّم الطرفين a و b.
أوجد جهد الدائرة المفتوحة بين a و b: هذا هو Vth.
أطفئ كل المصادر المستقلة وأوجد المقاومة المرئية من a–b: هذه هي Rth.
أعد الحِمل إلى الدائرة المكافئة: Vth على التوالي مع Rth.
لمكافئ نورتن، حوّل: IN = Vth/Rth، مع RN = Rth على التوازي.
2مسائل تدريبية
1.الأعداد المركبةمتوسطة
يُظهر المخطط z = 1 − j. مع w = 0,5∠−90°، انقر على النقطة التي تمثل z/w.
z = 1 − jw = 0,5∠−90°
1A (1 + j)
2B (2 − j2)
3C (2 + j2)
4D (−2 − j2)
2.الأعداد المركبةصعبة
استخدم مبرهنة دي موافر لإيجاد الجزء الحقيقي لـ z⁸ حيث z = −2 − j2.
z = −2 − j2n = 8
Re(z⁸) =
3.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة
دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 10 V (فعّال)، 100 Hz. أوجد زاوية الطور φ للمعاوقة بالدرجات (موجبة عندما يتأخّر التيار عن الجهد).
V = 10 V (rms)f = 100 HzR = 50 ΩL = 250 mHC = 2,2 µF
φ = °
4.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة
دائرة RLC على التوالي يغذّيها مصدر 12 V (فعّال) ضُبط تردّده على تردّد رنين الدائرة. أوجد الجهد الفعّال VL على الملف.
V = 12 V (rms)R = 50 ΩL = 100 mHC = 0,22 µF
VL = V
5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةمتوسطة
يستهلك محرّك أحادي الطور 14 kW بمعامل قدرة 0,85 متأخّر من مصدر 230 V. أوجد القدرة غير الفعّالة Q التي يسحبها.
P = 14 kWpf = 0,85V = 230 V
Q = kvar
6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةصعبة
محوّل أحادي الطور قدرته 200 kVA يغذّي حِملًا 107 kW بمعامل قدرة 0,8 متأخّر. ما مقدار القدرة الفعلية الإضافية ΔP التي يمكن إضافتها كحِمل مقاومي (معامل قدرة واحد) قبل أن يبلغ المحوّل قدرته الاسمية بوحدة kVA؟
Smax = 200 kVAP1 = 107 kWpf1 = 0,8
ΔP = kW
7.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقمتوسطة
يتذبذب مكثف 22 nF مشحون إلى 20 V مع ملف حثّي مثالي 220 µH. أوجد الطاقة WL المختزنة في الملف لحظة يكون جهد المكثف 8 V، بوحدة µJ.
C = 22 nFV0 = 20 VvC = 8 V
WL = µJ
8.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقصعبة
ترددا نصف القدرة لمنحنى رنين هما 20 kHz و22 kHz. أوجد تردد الرنين بوصفه وسطهما الهندسي، ثم معامل الجودة Q.
f1 = 20 kHzf2 = 22 kHz
Q =
9.القدرة ثلاثية الطورمتوسطة
محرّك حثّي ثلاثي الطور يعطي قدرة خرج ميكانيكية مقدارها 55 kW عند الحمل الكامل. عند هذا الحمل تكون كفاءته 95% ومعامل قدرته 0,9 متأخرًا. جهد خط المصدر 480 V. أوجد تيار الخط IL.
Pout = 55 kWη = 95%cos φ = 0,9VL = 480 V
IL = A
10.القدرة ثلاثية الطورصعبة
حمل ثلاثي الطور متوازن يأخذ 150 kW عند معامل قدرة 0,65 متأخر من مصدر 415 V (جهد خط) و 50 Hz. يجب أن ترفع مجموعة مكثّفات ثلاثية الطور موصولة على التوازي مع الحمل معامل القدرة الكلي إلى 0,92 متأخر. تبقى القدرة الفعّالة كما هي. المكثّفات موصولة نجمة (Y). أوجد السعة Cph لكل مكثّف بالـ µF.
P = 150 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,92VL = 415 Vf = 50 Hz
Cph = µF
11.الحالات العابرة RC و RLمتوسطة
لا يمرّ تيار في الملف قبل أن يُغلق المفتاح عند t = 0. أوجد التيار i عند t = 1 ms.
Vs = 10 VR = 15 ΩL = 22 mHt = 1 ms
i = A
12.الحالات العابرة RC و RLصعبة
المفتاح الموصول على طرفي R2 مفتوح منذ وقت طويل، لذا تيار الملف مستقر. عند t = 0 يُغلق المفتاح ويقصر R2. أوجد تيار الملف i عند t = 5 ms.
Vs = 15 VR1 = 5 ΩR2 = 22 ΩL = 47 mHt = 5 ms
i = A
13.ثيفنن ونورتنمتوسطة
وُصل حِمل RL = 5 Ω بين a–b. استبدل بقية الدائرة بمكافئ ثيفنن وأوجد تيار الحِمل IL.
V1 = 9 VR1 = 5 ΩR2 = 3 ΩR3 = 4 ΩRL = 5 Ω
IL = A
14.ثيفنن ونورتنصعبة
وُصل حِمل RL = 12 Ω بين a–b. استبدل بقية الدائرة بمكافئ ثيفنن وأوجد تيار الحِمل IL.
الصيغة القطبية: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ، حيث r = |z| و θ = arg z. والعودة إلى الصيغة الديكارتية: a = r cos θ، b = r sin θ. تحتاج السعة إلى الربع: θ = atan(b/a) فقط عندما a > 0؛ وعندما a < 0 أضف 180° أو اطرحها. في الصيغة القطبية الضرب سهل: اضرب الطويلتين واجمع السعتين؛ وللقسمة اقسم الطويلتين واطرح السعتين.
أثر w
|z/w| = |z|/0,5, arg(z/w) = arg z − (−90)°
النقطة
z/w = 2 + j2 → C
الإجابة
C (2 + j2)
2.الأعداد المركبة
الإجابة: Re(z⁸) = 4096
دي موافر والجذور: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. للمعادلة zⁿ = R∠φ بالضبط n جذرًا، كلها بطويلة R1/n، عند السعات (φ + 360°·k)/n لـ k = 0, 1, …, n − 1: تقع متباعدة بانتظام على دائرة، بفارق 360°/n. للمعادلة التربيعية z² + pz + q = 0 مع p² < 4q جذران مركبان z = −p/2 ± j√(q − p²/4)؛ وكثير الحدود ذو المعاملات الحقيقية تأتي جذوره المركبة دائمًا في أزواج مترافقة a ± jb.
الصيغة القطبية
z = −2 − j2 = 2√2∠−135°
دي موافر
z⁸ = (2√2)⁸∠−1080° = 4096∠0°
الصيغة الديكارتية
z⁸ = 4096·(cos 0° + j sin 0°) = 4096
Re(z⁸) = 4096
الإجابة
Re(z⁸) = 4096
3.معاوقة التيار المتردد والطوريات
الإجابة: φ = −84,95 °
دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.
المفاعلات
ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s
XL = ωL = 628,3·0,25 = 157,1 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628,3·2,2·10⁻⁶) = 723,4 Ω
المعاوقة
على التوالي تُجمع المعاوقات كأعداد مركّبة: Z = R + j(XL − XC).
دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.
الرنين
عند الرنين تُلغى المفاعلتان، لذا المعاوقة هي R فقط.
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,1·0,22·10⁻⁶) = 6742 rad/s
I = V/R = 12/50 = 0,24 A
الجهد على الملف
XL = ω₀L = 6742·0,1 = 674,2 Ω
VL = I·XL = 0,24·674,2 = 161,8 V
الإجابة
VL = 161,8 V
هذا Q = 13,48 مرة جهد المصدر.
5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة
الإجابة: Q = 8,676 kvar
قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.
الزاوية
φ = arccos(0,85) = 31,79°, tan φ = 0,6197
القدرة غير الفعّالة
Q = P·tan φ = 14·0,6197 = 8,676 kvar
الإجابة
Q = 8,676 kvar
6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة
الإجابة: ΔP = 76,19 kW
قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.
القدرة غير الفعّالة للحِمل الموجود
Q1 = 107·tan(arccos 0,8) = 80,25 kvar
أكبر قدرة فعلية كلية
عند القدرة الاسمية الكاملة S = Smax، و Q لا يتغيّر بالحِمل المقاومي.
P = √(Smax² − Q1²) = √(200² − 80,25²) = 183,2 kW
القدرة الفعلية الإضافية
ΔP = 183,2 − 107 = 76,19 kW
الإجابة
ΔP = 76,19 kW
7.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق
الإجابة: WL = 3,696 µJ
رنين LC: المكثف المشحون الموصول بملف حثّي يدفع تيارًا يشحنه في الاتجاه المعاكس: تتأرجح الطاقة بين المجال الكهربائي للمكثف C (½Cv²) والمجال المغناطيسي للملف L (½Li²) عند التردد الطبيعي f0 = 1/(2π√(LC)). وبدون مقاومة تبقى الطاقة الكلية ½CV0² ثابتة، فيكون التيار الأقصى Imax = V0√(C/L). الدورة الواحدة T = 1/f0؛ وتنتقل الطاقة من C إلى L في ربعها.
الطاقة الكلية
½·2,2 × 10⁻⁸·20² = 4,4 × 10⁻⁶ J
الطاقة المتبقية في المكثف
½·2,2 × 10⁻⁸·8² = 7,04 × 10⁻⁷ J
الطاقة في الملف
WL = 3,696 × 10⁻⁶ J = 3,696 µJ
الإجابة
WL = 3,696 µJ
8.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق
الإجابة: Q = 10,49
معامل الجودة وعرض النطاق: في الدائرة الرنانة Q = 2π·(الطاقة المختزنة)/(الطاقة المفقودة في الدورة). في RLC على التوالي Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)؛ وفي RLC على التوازي Q = R/(ω0L) = R√(C/L). عرض النطاق بين ترددي نصف القدرة f1 وf2 (حيث تكون القدرة النصف والتيار أو الجهد 1/√2 من ذروته) هو BW = f2 − f1 = f0/Q، ويساوي R/(2πL) على التوالي و1/(2πRC) على التوازي. تردد الرنين هو الوسط الهندسي f0 = √(f1f2)، وf1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). تجعل الفواقد التذبذب يتضاءل أيضًا: في RLC على التوالي تتناقص السعة كـ e−Rt/(2L).
تردد الرنين
f0 = √(20000·22000) = 20976 Hz
عرض النطاق
BW = 22000 − 20000 = 2000 Hz
معامل الجودة
Q = 20976/2000 = 10,49
الإجابة
Q = 10,49
9.القدرة ثلاثية الطور
الإجابة: IL = 77,37 A
النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، VL = √3·Vph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، IL = √3·Iph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
القدرة الكهربائية الداخلة
Pin = Pout/η = 55/0,95 = 57,89 kW
تيار الخط
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 57895/(√3·480·0,9) = 77,37 A
الإجابة
IL = 77,37 A
10.القدرة ثلاثية الطور
الإجابة: Cph = 2060 µF
النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، VL = √3·Vph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، IL = √3·Iph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. تحسين معامل القدرة: تقدّم المكثّفات القدرة غير الفعّالة محليًا، QC = P·(tan φ1 − tan φ2). يقدّم كل مكثّف من المكثّفات الثلاثة QC/3 = V²·ω·C، حيث V الجهد على ذلك المكثّف: VL في مجموعة Δ، و VL/√3 في مجموعة Y.
القدرة غير الفعّالة قبل وبعد
القدرة الفعّالة لا تتغيّر، لذا يحدّد كل معامل قدرة القدرة غير الفعّالة: Q = P·tan φ.
الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.
الثابت الزمني والتيار النهائي
بعد إغلاق المفتاح بوقت طويل يتصرّف الملف كقصر، لذا يحدّد R وحده التيار النهائي.
الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.
القيمة الابتدائية، القيمة النهائية، الثابت الزمني
قبل t = 0 تكون المقاومتان كلتاهما في الحلقة؛ وبعدها يتجاوز المفتاح المغلق R₂.
i(0) = 15/(5 + 22) = 0,5556 A
i(∞) = 15/5 = 3 A
τ = L/R = 47/5 = 9,4 ms
i(t) = 3 + (0,5556 − 3)·e−t/τ
التيار في اللحظة المعطاة
i(5) = 3 + (−2,444)·e−5/9,4 = 1,564 A
الإجابة
i = 1,564 A
13.ثيفنن ونورتن
الإجابة: IL = 0,3103 A
نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد Vth على التوالي مع مقاومة Rth. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار IN = Vth/Rth على التوازي مع Rth.
أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر
استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.
R1 ∥ R2 = 5·3/(5+3) = 1,875 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,875 + 4 = 5,875 Ω
أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة
عندما يكون a–b مفتوحًا لا يمرّ تيار في R₃، فلا هبوط عليه و V_b = V_A. يشكّل R₁ و R₂ مقسّم جهد.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 9·3/(5+3) = 3,375 V
صِل الحِمل بمكافئ ثيفنن
يتصرّف مصدر ثيفنن و R_th على التوالي عند a–b تمامًا كالدائرة الأصلية، فيرى الحِمل حلقة توالٍ بسيطة.
IL = Vth/(Rth + RL) = 3,375/(5,875 + 5) = 0,3103 A
14.ثيفنن ونورتن
الإجابة: IL = −0,3571 A
نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد Vth على التوالي مع مقاومة Rth. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار IN = Vth/Rth على التوازي مع Rth.
أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر
استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.
R1 ∥ R2 = 2·30/(2+30) = 1,875 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,875 + 8 = 9,875 Ω
أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة
عندما يكون a–b مفتوحًا، المسار الوحيد لـ Iₛ هو عبر R₃ إلى العقدة A. أوجد V_A بتراكب V₁ و Iₛ، ثم أضف الهبوط على R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 16,88 + (−2,5)·1,875 = 12,19 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 12,19 + (−2,5)·8 = −7,812 V
صِل الحِمل بمكافئ ثيفنن
يتصرّف مصدر ثيفنن و R_th على التوالي عند a–b تمامًا كالدائرة الأصلية، فيرى الحِمل حلقة توالٍ بسيطة.
IL = Vth/(Rth + RL) = −7,812/(9,875 + 12) = −0,3571 A
15.مخططات بودي والهوامش
الإجابة: |G(jω)| = 16,51 dB
الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ωc = 1/(RC) أو R/L، وfc = ωc/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) وφ = −atan(ω/ωc). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jωc). تردد تقاطع الطور ω180: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.
الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ωc = 1/(RC) أو R/L، وfc = ωc/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) وφ = −atan(ω/ωc). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jωc). تردد تقاطع الطور ω180: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.