تحليل الدوائر الكهربائية 2: دوائر التيار المتردد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الأعداد المركبة

الصيغة الديكارتية: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
الطويلة والسعة: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
الصيغتان القطبية والأسية: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
القسمة: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
حاصل الضرب وناتج القسمة: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
دي موافر: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
الجذور النونية: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
معادلة تربيعية مع p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

الطريقة

قرّر أي صيغة تناسب العملية: الصيغة الديكارتية a + jb للجمع والطرح، والقطبية r∠θ للضرب والقسمة والقوى والجذور.
اضرب بالفك مع j² = −1؛ واقسم بضرب البسط والمقام في مرافق المقام.
حوّل بـ r = √(a² + b²) و θ من رسم للنقطة (a, b) (تحقق من الربع)، وعد بـ a = r cos θ، b = r sin θ.
للقوى استخدم دي موافر، (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ؛ ولـ zⁿ = R∠φ اسرد كل الجذور الـ n: R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
التردد الزاوي: ω = 2πf
المقدار والزاوية: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات: V = I·Z

الطريقة

حوّل التردد: ω = 2πf.
أوجد كل ممانعة مفاعلة: X_L = ωL و X_C = 1/(ωC).
اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

القدرة الفعلية: P = V·I·cos φ
القدرة غير الفعّالة: Q = V·I·sin φ
القدرة الظاهرية: S = V·I = √(P² + Q²)
معامل القدرة: pf = cos φ = P/S
مكثّف التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

التردد الطبيعي: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
الطاقة: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
تيار الذروة: I_max = V₀√(C/L)
معامل الجودة: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
RLC على التوالي: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
RLC على التوازي: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
عرض النطاق: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
ترددات نصف القدرة: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
دائرة رنين ذات مقاومة ملف r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
تضاؤل السعة: e^−Rt/(2L)

الطريقة

أوجد تردد الرنين أولًا: ω₀ = 1/√(LC) وf₀ = ω₀/(2π).
حدد هل الدائرة على التوالي أم على التوازي: على التوالي Q = (1/R)√(L/C)، وعلى التوازي Q = R√(C/L).
استخدم BW = f₀/Q لعرض النطاق، أو الصيغتين المختصرتين R/(2πL) (توالٍ) و1/(2πRC) (توازٍ).
في أسئلة الطاقة، استخدم أن الطاقة الكلية ½CV₀² تبقى ثابتة في دائرة LC المثالية وتتنقل بين C وL كل ربع دورة.

القدرة ثلاثية الطور

توصيل نجمة (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
توصيل دلتا (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
القدرة الفعّالة الكلية: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
القدرة الظاهرية والقدرة غير الفعّالة: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
مكثّفات التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
الجهد على كل مكثّف: Δ: V_L Y: V_L/√3
قدرة دخل المحرّك: P_in = P_out/η

الحالات العابرة RC و RL

الثابت الزمني: τ = RC | τ = L/R
الاستجابة: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
المكثّف في التيار المستمر: دائرة مفتوحة؛ لا يمكن أن يقفز v_C
الملف في التيار المستمر: قصر؛ لا يمكن أن يقفز i_L
الحالة المستقرة: t ≈ 5τ

الطريقة

أوجد القيمة الابتدائية مباشرة بعد التبديل: جهد المكثّف وتيار الملف لا يقفزان.
أوجد القيمة النهائية بعد التبديل بزمن طويل: يتصرّف المكثّف كدائرة مفتوحة، والملف كقصر.
أوجد الثابت الزمني: τ = RC أو τ = L/R، باستخدام المقاومة التي يراها المكثّف أو الملف.
استخدم x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

ثيفنن ونورتن

جهد ثيفنن: V_th = V_{open circuit}
مقاومة ثيفنن: R_th: كل المصادر مُطفأة، منظورًا إليها من a–b
تيار نورتن: I_N = V_th/R_th
تيار الحِمل: I_L = V_th/(R_th + R_L)
أقصى نقل للقدرة: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

الطريقة

أزل الحِمل وعلّم الطرفين a و b.
أوجد جهد الدائرة المفتوحة بين a و b: هذا هو V_th.
أطفئ كل المصادر المستقلة وأوجد المقاومة المرئية من a–b: هذه هي R_th.
أعد الحِمل إلى الدائرة المكافئة: V_th على التوالي مع R_th.
لمكافئ نورتن، حوّل: I_N = V_th/R_th، مع R_N = R_th على التوازي.

2مسائل تدريبية

1.الأعداد المركبةمتوسطة

اكتب z = 3∠35° بالصيغة الديكارتية a + jb وأعطِ الجزء الحقيقي a.

r = 3θ = 35°

a =

2.الأعداد المركبةصعبة

جد الجزء التخيلي لـ (−3 − j2)⁵.

z = −3 − j2n = 5

Im(z⁵) =

3.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 24 V (فعّال)، 60 Hz. أوجد التيار الفعّال I.

V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 40 ΩL = 20 mHC = 47 µF

I = A

4.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة

دائرة RLC على التوالي يغذّيها مصدر 2 V (فعّال) ضُبط تردّده على تردّد رنين الدائرة. أوجد الجهد الفعّال V_L على الملف.

V = 2 V (rms)R = 20 ΩL = 5 mHC = 2,2 µF

V_L = V

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةمتوسطة

حِمل معاوقته Z = 12 + j5 Ω موصول بمصدر أحادي الطور 120 V (فعّال). أوجد القدرة الفعلية P التي يمتصها.

V = 120 VZ = 12 + j5 Ω

P = W

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةصعبة

يستهلك حِمل أحادي الطور 5 kW بمعامل قدرة 0,65 متأخّر من مصدر 240 V، 50 Hz. يرفع مكثّف موصول على التوازي معامل القدرة إلى 0,98. أوجد القدرة غير الفعّالة Q_C التي يجب أن يزوّدها المكثّف.

P = 5 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,98V = 240 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

7.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقمتوسطة

لدائرة RLC على التوازي R = 4,7 kΩ وL = 1 mH وC = 220 nF. أوجد معامل جودتها Q.

R = 4,7 kΩL = 1 mHC = 220 nF

Q =

8.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقصعبة

صمّم مرشح RLC على التوالي بمقاومة كلية 100 Ω وتردد رنين 50 kHz وعرض نطاق 1 kHz. أوجد السعة C بوحدة nF.

R = 100 Ωf₀ = 50 kHzBW = 1 kHz

C = nF

9.القدرة ثلاثية الطورمتوسطة

حمل ثلاثي الطور متوازن يسحب تيار خط مقداره 75 A من مصدر جهد خطه 208 V. معامل القدرة 0,92 متأخر. أوجد القدرة الفعّالة الكلية P التي يسحبها الحمل بالـ kW.

V_L = 208 VI_L = 75 Acos φ = 0,92

P = kW

10.القدرة ثلاثية الطورصعبة

حمل ثلاثي الطور متوازن يأخذ 200 kW عند معامل قدرة 0,65 متأخر من مصدر 690 V (جهد خط) و 60 Hz. يجب أن ترفع مجموعة مكثّفات ثلاثية الطور موصولة على التوازي مع الحمل معامل القدرة الكلي إلى 0,98 متأخر. تبقى القدرة الفعّالة كما هي. المكثّفات موصولة دلتا (Δ). أوجد السعة C_ph لكل مكثّف بالـ µF.

P = 200 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,98V_L = 690 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.الحالات العابرة RC و RLمتوسطة

لا يمرّ تيار في الملف قبل أن يُغلق المفتاح عند t = 0. أوجد الجهد v_L على الملف عند t = 10 ms.

V_s = 6 VR = 33 ΩL = 150 mHt = 10 ms

v_L = V

12.الحالات العابرة RC و RLصعبة

يبدأ مؤقّت بشحن مكثّف غير مشحون عبر مقاومة من مصدر 9 V عند t = 0. يجب أن يُطلق عندما يبلغ جهد المكثّف 5,69 V، بعد 1000 ms بالضبط من البداية. مع C = 2,2 µF، أوجد المقاومة R المطلوبة.

V_s = 9 VV_th = 5,69 VT = 1000 msC = 2,2 µF

R = kΩ

13.ثيفنن ونورتنمتوسطة

وُصل حِمل R_L = 20 Ω بين a–b. استبدل بقية الدائرة بمكافئ ثيفنن وأوجد تيار الحِمل I_L.

V₁ = 30 VR₁ = 20 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 2 ΩR_L = 20 Ω

I_L = A

14.ثيفنن ونورتنصعبة

وُصل حِمل R_L = 10 Ω بين a–b. استخدم مكافئ ثيفنن لإيجاد القدرة P_L المسلَّمة إلى الحِمل.

V₁ = 36 VI_s = 0,5 AR₁ = 8 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 12 ΩR_L = 10 Ω

P_L = W

15.مخططات بودي والهوامشمتوسطة

في مرشح تمرير النطاق RLC على التسلسل الموضح، يؤخذ الخرج على R = 10 Ω، مع L = 5 mH وC = 4,7 µF. أوجد التردد المركزي (الرنيني) f₀ بالهرتز.

R = 10 ΩL = 5 mHC = 4,7 µF

f₀ = Hz

16.مخططات بودي والهوامشصعبة

حلقة تغذية عكسية وحدوية دالة نقلها المفتوحة L(s) = 118/(s(s + 4)(s + 9)). أوجد هامش الكسب GM بوحدة dB.

L(s) = 118/(s(s + 4)(s + 9))

GM = dB

3المحاليل

1.الأعداد المركبة

الإجابة: a = 2,457

الصيغة القطبية: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ، حيث r = |z| و θ = arg z. والعودة إلى الصيغة الديكارتية: a = r cos θ، b = r sin θ. تحتاج السعة إلى الربع: θ = atan(b/a) فقط عندما a > 0؛ وعندما a < 0 أضف 180° أو اطرحها. في الصيغة القطبية الضرب سهل: اضرب الطويلتين واجمع السعتين؛ وللقسمة اقسم الطويلتين واطرح السعتين.

المركّبات

a = 3·cos(35°) = 2,457

b = 3·sin(35°) = 1,721

الصيغة الديكارتية

z = 2,457 + j1,721

a = 2,457

الإجابة

a = 2,457

2.الأعداد المركبة

الإجابة: Im(z⁵) = −122

دي موافر والجذور: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. للمعادلة zⁿ = R∠φ بالضبط n جذرًا، كلها بطويلة R^1/n، عند السعات (φ + 360°·k)/n لـ k = 0, 1, …, n − 1: تقع متباعدة بانتظام على دائرة، بفارق 360°/n. للمعادلة التربيعية z² + pz + q = 0 مع p² < 4q جذران مركبان z = −p/2 ± j√(q − p²/4)؛ وكثير الحدود ذو المعاملات الحقيقية تأتي جذوره المركبة دائمًا في أزواج مترافقة a ± jb.

القوى خطوة خطوة

z² = (−3 − j2)(−3 − j2) = 5 + j12

z³ = (5 + j12)(−3 − j2) = 9 − j46

z⁴ = (9 − j46)(−3 − j2) = −119 + j120

z⁵ = (−119 + j120)(−3 − j2) = 597 − j122

تحقق بدي موافر

z = 3,606∠−146,3° → z⁵ = 609,3∠−11,55°

Im(z⁵) = −122

الإجابة

Im(z⁵) = −122

3.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: I = 0,3799 A

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

المفاعلات

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,02 = 7,54 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·47·10⁻⁶) = 56,44 Ω

المعاوقة

على التوالي تُجمع المعاوقات كأعداد مركّبة: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (−48,9)²) = 63,17 Ω

التيار

يمرّ التيار نفسه في كل عنصر من عناصر دائرة التوالي.

I = V/|Z| = 24/63,17 = 0,3799 A

الإجابة

I = 0,3799 A

4.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: V_L = 4,767 V

الرنين

عند الرنين تُلغى المفاعلتان، لذا المعاوقة هي R فقط.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,005·2,2·10⁻⁶) = 9535 rad/s

I = V/R = 2/20 = 0,1 A

الجهد على الملف

X_L = ω₀L = 9535·0,005 = 47,67 Ω

V_L = I·X_L = 0,1·47,67 = 4,767 V

الإجابة

V_L = 4,767 V

هذا Q = 2,384 مرة جهد المصدر.

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: P = 1022 W

قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.

التيار

|Z| = √(12² + 5²) = 13 Ω

I = V/|Z| = 120/13 = 9,231 A

القدرة الفعلية

P = I²·R = 9,231²·12 = 1022 W

الإجابة

P = 1022 W

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: Q_C = 4,83 kvar

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

لا تتغيّر القدرة الفعلية P؛ تتغيّر فقط القدرة غير الفعّالة المسحوبة من الشبكة.

Q₁ = P·tan φ₁ = 5·tan(49,46°) = 5,846 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 5·tan(11,48°) = 1,015 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 4,83 kvar

الإجابة

Q_C = 4,83 kvar

7.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

الإجابة: Q = 69,71

معامل الجودة وعرض النطاق: في الدائرة الرنانة Q = 2π·(الطاقة المختزنة)/(الطاقة المفقودة في الدورة). في RLC على التوالي Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C)؛ وفي RLC على التوازي Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). عرض النطاق بين ترددي نصف القدرة f₁ وf₂ (حيث تكون القدرة النصف والتيار أو الجهد 1/√2 من ذروته) هو BW = f₂ − f₁ = f₀/Q، ويساوي R/(2πL) على التوالي و1/(2πRC) على التوازي. تردد الرنين هو الوسط الهندسي f₀ = √(f₁f₂)، وf_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). تجعل الفواقد التذبذب يتضاءل أيضًا: في RLC على التوالي تتناقص السعة كـ e^−Rt/(2L).

تردد الرنين

ω₀ = 1/√(LC) = 67420 rad/s

معامل الجودة

Q = R/(ω₀L) = 4700/(67420·0,001) = 69,71

الإجابة

Q = 69,71

عرض النطاق هو 1/(2πRC) = 153,9 Hz.

8.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

الإجابة: C = 0,6366 nF

الحثية من عرض النطاق

L = R/(2π·BW) = 100/(2π·1000) = 0,01592 H

السعة من تردد الرنين

C = 1/((2π·50000)²·0,01592) = 6,366 × 10⁻¹⁰ F = 0,6366 nF

الإجابة

C = 0,6366 nF

Q = f₀/BW = 50.

9.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: P = 24,86 kW

القدرة الظاهرية

S = √3·V_L·I_L = √3·208·75 = 27,02 kVA

القدرة الفعلية

P = S·cos φ = 27,02·0,92 = 24,86 kW

الإجابة

P = 24,86 kW

10.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: C_ph = 358,8 µF

النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، V_L = √3·V_ph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، I_L = √3·I_ph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. تحسين معامل القدرة: تقدّم المكثّفات القدرة غير الفعّالة محليًا، Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). يقدّم كل مكثّف من المكثّفات الثلاثة Q_C/3 = V²·ω·C، حيث V الجهد على ذلك المكثّف: V_L في مجموعة Δ، و V_L/√3 في مجموعة Y.

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

القدرة الفعّالة لا تتغيّر، لذا يحدّد كل معامل قدرة القدرة غير الفعّالة: Q = P·tan φ.

Q₁ = 200·tan(acos 0,65) = 200·1,169 = 233,8 kvar

Q₂ = 200·tan(acos 0,98) = 200·0,2031 = 40,61 kvar

القدرة غير الفعّالة من المكثّفات

Q_C = Q₁ − Q₂ = 193,2 kvar

السعة لكل طور

في مجموعة Δ يوصل كل مكثّف بين خطين.

V = 690 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 64405/(377·690²) = 358,8 µF

الإجابة

C_ph = 358,8 µF

11.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: v_L = 0,6648 V

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

الثابت الزمني والتيار النهائي

بعد إغلاق المفتاح بوقت طويل يتصرّف الملف كقصر، لذا يحدّد R وحده التيار النهائي.

τ = L/R = 150 mH / 33 Ω = 4,545 ms

i(∞) = V_s/R = 6/33 = 0,1818 A

جهد الملف

عند t = 0 يظهر كامل جهد المصدر على الملف؛ ثم يضمحل إلى الصفر.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 6·e^−10/4,545 = 0,6648 V

الإجابة

v_L = 0,6648 V

12.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: R = 454,4 kΩ

الثابت الزمني المطلوب

5,69 = 9·(1 − e^−1000/τ) → τ = 1000/ln(9/(9 − 5,69))

τ = 1000/1 = 999,7 ms

المقاومة

kΩ مضروبة في µF تعطي ميلي ثانية.

R = τ/C = 999,7/2,2 = 454,4 kΩ

الإجابة

R = 454,4 kΩ

13.ثيفنن ونورتن

الإجابة: I_L = 0,1145 A

نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد V_th على التوالي مع مقاومة R_th. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار I_N = V_th/R_th على التوازي مع R_th.

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R₁ ∥ R₂ = 20·2/(20+2) = 1,818 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,818 + 2 = 3,818 Ω

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة

عندما يكون a–b مفتوحًا لا يمرّ تيار في R₃، فلا هبوط عليه و V_b = V_A. يشكّل R₁ و R₂ مقسّم جهد.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 30·2/(20+2) = 2,727 V

صِل الحِمل بمكافئ ثيفنن

يتصرّف مصدر ثيفنن و R_th على التوالي عند a–b تمامًا كالدائرة الأصلية، فيرى الحِمل حلقة توالٍ بسيطة.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 2,727/(3,818 + 20) = 0,1145 A

14.ثيفنن ونورتن

الإجابة: P_L = 2,985 W

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R₁ ∥ R₂ = 8·15/(8+15) = 5,217 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 5,217 + 12 = 17,22 Ω

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة

عندما يكون a–b مفتوحًا، المسار الوحيد لـ Iₛ هو عبر R₃ إلى العقدة A. أوجد V_A بتراكب V₁ و Iₛ، ثم أضف الهبوط على R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 23,48 + (−0,5)·5,217 = 20,87 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 20,87 + (−0,5)·12 = 14,87 V

صِل الحِمل بمكافئ ثيفنن

يتصرّف مصدر ثيفنن و R_th على التوالي عند a–b تمامًا كالدائرة الأصلية، فيرى الحِمل حلقة توالٍ بسيطة.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 14,87/(17,22 + 10) = 0,5463 A

P_L = I_L²·R_L = 0,5463²·10 = 2,985 W

15.مخططات بودي والهوامش

الإجابة: f₀ = 1038 Hz

الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ω_c = 1/(RC) أو R/L، وf_c = ω_c/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) وφ = −atan(ω/ω_c). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jω_c). تردد تقاطع الطور ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.

تردد الرنين

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,005·4,7 × 10⁻⁶) = 6523 rad/s

f₀ = ω₀/(2π) = 1038 Hz

الإجابة

f₀ = 1038 Hz

16.مخططات بودي والهوامش

الإجابة: GM = 11,97 dB

تقاطع الطور

(ω/4)·(ω/9) = 1 → ω₁₈₀ = √(4·9) = 6 rad/s

المقدار عند تقاطع الطور

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 16)·√(ω² + 81)) = K/(4·9·(4 + 9)) = K/468

هامش الكسب

GM = 20·log₁₀(468/118) = 11,97 dB

الإجابة

GM = 11,97 dB

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

تحليل الدوائر الكهربائية 2: دوائر التيار المتردد: حزمة المراجعة المكثفة

1القوانين وطرق الحل

الأعداد المركبة

الطريقة

معاوقة التيار المتردد والطوريات

الطريقة

قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

الطريقة

القدرة ثلاثية الطور

الحالات العابرة RC و RL

الطريقة

ثيفنن ونورتن

الطريقة

2مسائل تدريبية

3المحاليل

المركّبات

الصيغة الديكارتية

الإجابة

القوى خطوة خطوة

تحقق بدي موافر

الإجابة

المفاعلات

المعاوقة

التيار

الإجابة

الرنين

الجهد على الملف

الإجابة

التيار

القدرة الفعلية

الإجابة

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

الإجابة

تردد الرنين

معامل الجودة

الإجابة

الحثية من عرض النطاق

السعة من تردد الرنين

الإجابة

القدرة الظاهرية

القدرة الفعلية

الإجابة

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

القدرة غير الفعّالة من المكثّفات

السعة لكل طور

الإجابة

الثابت الزمني والتيار النهائي

جهد الملف

الإجابة

الثابت الزمني المطلوب

المقاومة

الإجابة

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة

صِل الحِمل بمكافئ ثيفنن

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة

صِل الحِمل بمكافئ ثيفنن

تردد الرنين

الإجابة

تقاطع الطور

المقدار عند تقاطع الطور

هامش الكسب

الإجابة

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة