تحليل الدوائر الكهربائية 2: دوائر التيار المتردد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الأعداد المركبة

الصيغة الديكارتية: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
الطويلة والسعة: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
الصيغتان القطبية والأسية: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
القسمة: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
حاصل الضرب وناتج القسمة: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
دي موافر: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
الجذور النونية: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
معادلة تربيعية مع p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

الطريقة

قرّر أي صيغة تناسب العملية: الصيغة الديكارتية a + jb للجمع والطرح، والقطبية r∠θ للضرب والقسمة والقوى والجذور.
اضرب بالفك مع j² = −1؛ واقسم بضرب البسط والمقام في مرافق المقام.
حوّل بـ r = √(a² + b²) و θ من رسم للنقطة (a, b) (تحقق من الربع)، وعد بـ a = r cos θ، b = r sin θ.
للقوى استخدم دي موافر، (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ؛ ولـ zⁿ = R∠φ اسرد كل الجذور الـ n: R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

معاوقة التيار المتردد والطوريات

المعاوقات: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
التردد الزاوي: ω = 2πf
المقدار والزاوية: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات: V = I·Z

الطريقة

حوّل التردد: ω = 2πf.
أوجد كل ممانعة مفاعلة: X_L = ωL و X_C = 1/(ωC).
اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

القدرة الفعلية: P = V·I·cos φ
القدرة غير الفعّالة: Q = V·I·sin φ
القدرة الظاهرية: S = V·I = √(P² + Q²)
معامل القدرة: pf = cos φ = P/S
مكثّف التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

التردد الطبيعي: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
الطاقة: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
تيار الذروة: I_max = V₀√(C/L)
معامل الجودة: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
RLC على التوالي: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
RLC على التوازي: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
عرض النطاق: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
ترددات نصف القدرة: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
دائرة رنين ذات مقاومة ملف r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
تضاؤل السعة: e^−Rt/(2L)

الطريقة

أوجد تردد الرنين أولًا: ω₀ = 1/√(LC) وf₀ = ω₀/(2π).
حدد هل الدائرة على التوالي أم على التوازي: على التوالي Q = (1/R)√(L/C)، وعلى التوازي Q = R√(C/L).
استخدم BW = f₀/Q لعرض النطاق، أو الصيغتين المختصرتين R/(2πL) (توالٍ) و1/(2πRC) (توازٍ).
في أسئلة الطاقة، استخدم أن الطاقة الكلية ½CV₀² تبقى ثابتة في دائرة LC المثالية وتتنقل بين C وL كل ربع دورة.

القدرة ثلاثية الطور

توصيل نجمة (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
توصيل دلتا (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
القدرة الفعّالة الكلية: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
القدرة الظاهرية والقدرة غير الفعّالة: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
مكثّفات التصحيح: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
الجهد على كل مكثّف: Δ: V_L Y: V_L/√3
قدرة دخل المحرّك: P_in = P_out/η

الحالات العابرة RC و RL

الثابت الزمني: τ = RC | τ = L/R
الاستجابة: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
المكثّف في التيار المستمر: دائرة مفتوحة؛ لا يمكن أن يقفز v_C
الملف في التيار المستمر: قصر؛ لا يمكن أن يقفز i_L
الحالة المستقرة: t ≈ 5τ

الطريقة

أوجد القيمة الابتدائية مباشرة بعد التبديل: جهد المكثّف وتيار الملف لا يقفزان.
أوجد القيمة النهائية بعد التبديل بزمن طويل: يتصرّف المكثّف كدائرة مفتوحة، والملف كقصر.
أوجد الثابت الزمني: τ = RC أو τ = L/R، باستخدام المقاومة التي يراها المكثّف أو الملف.
استخدم x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

ثيفنن ونورتن

جهد ثيفنن: V_th = V_{open circuit}
مقاومة ثيفنن: R_th: كل المصادر مُطفأة، منظورًا إليها من a–b
تيار نورتن: I_N = V_th/R_th
تيار الحِمل: I_L = V_th/(R_th + R_L)
أقصى نقل للقدرة: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

الطريقة

أزل الحِمل وعلّم الطرفين a و b.
أوجد جهد الدائرة المفتوحة بين a و b: هذا هو V_th.
أطفئ كل المصادر المستقلة وأوجد المقاومة المرئية من a–b: هذه هي R_th.
أعد الحِمل إلى الدائرة المكافئة: V_th على التوالي مع R_th.
لمكافئ نورتن، حوّل: I_N = V_th/R_th، مع R_N = R_th على التوازي.

2مسائل تدريبية

1.الأعداد المركبةمتوسطة

يُظهر المخطط z = 4 + j. مع w = 0,5∠−90°، انقر على النقطة التي تمثل z/w.

z = 4 + jw = 0,5∠−90°

1A (−1 + j4)
2B (8 + j2)
3C (2 − j8)
4D (−2 + j8)

2.الأعداد المركبةصعبة

للمعادلة z² − 4z + 29 = 0 جذران مركبان. جد طويلتهما |z|.

p = −4q = 29

|z| =

3.معاوقة التيار المتردد والطورياتمتوسطة

دائرة RLC على التوالي موصولة بمصدر 120 V (فعّال)، 200 Hz. أوجد زاوية الطور φ للمعاوقة بالدرجات (موجبة عندما يتأخّر التيار عن الجهد).

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 40 ΩL = 20 mHC = 22 µF

φ = °

4.معاوقة التيار المتردد والطورياتصعبة

دائرة RLC على التوالي لها R = 15 Ω و L = 1 mH و C = 0,047 µF. أوجد معامل الجودة Q لها عند الرنين.

R = 15 ΩL = 1 mHC = 0,047 µF

Q =

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةمتوسطة

حِملان موصولان على التوازي بمصدر أحادي الطور 240 V: حِمل 5 kW بمعامل قدرة 0,85 متأخّر وحِمل 12 kW بمعامل قدرة 0,8 متقدّم. أوجد معامل القدرة الكلي cos φ الذي يراه المصدر.

V = 240 VP₁ = 5 kW, pf₁ = 0,85 متأخرP₂ = 12 kW, pf₂ = 0,8 متقدّم

cos φ =

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةصعبة

يستهلك حِمل أحادي الطور 10 kW بمعامل قدرة 0,7 متأخّر من مصدر 230 V، 50 Hz. يرفع مكثّف موصول على التوازي معامل القدرة إلى 0,92. أوجد القدرة غير الفعّالة Q_C التي يجب أن يزوّدها المكثّف.

P = 10 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,92V = 230 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

7.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقمتوسطة

ترنّ دائرة RLC على التوالي عند 200 kHz مع Q = 2. أوجد تردد نصف القدرة الأدنى f₁ بدقة، بوحدة kHz.

f₀ = 200 kHzQ = 2

f₁ = kHz

8.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقصعبة

تستخدم دائرة رنين على التوالي ملفًا حثّيًا 470 µH. أي مقاومة توالٍ كلية R تعطي عرض نطاق 50 kHz؟

L = 470 µHBW = 50 kHz

R = Ω

9.القدرة ثلاثية الطورمتوسطة

محرّك حثّي ثلاثي الطور يعطي قدرة خرج ميكانيكية مقدارها 18,5 kW عند الحمل الكامل. عند هذا الحمل تكون كفاءته 90% ومعامل قدرته 0,84 متأخرًا. جهد خط المصدر 480 V. أوجد تيار الخط I_L.

P_out = 18,5 kWη = 90%cos φ = 0,84V_L = 480 V

I_L = A

10.القدرة ثلاثية الطورصعبة

حمل ثلاثي الطور متوازن يأخذ 250 kW عند معامل قدرة 0,78 متأخر من مصدر 690 V (جهد خط) و 60 Hz. يجب أن ترفع مجموعة مكثّفات ثلاثية الطور موصولة على التوازي مع الحمل معامل القدرة الكلي إلى 0,98 متأخر. تبقى القدرة الفعّالة كما هي. المكثّفات موصولة نجمة (Y). أوجد السعة C_ph لكل مكثّف بالـ µF.

P = 250 kWpf₁ = 0,78pf₂ = 0,98V_L = 690 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.الحالات العابرة RC و RLمتوسطة

لا يمرّ تيار في الملف قبل أن يُغلق المفتاح عند t = 0. بعد كم من الوقت من إغلاق المفتاح يبلغ التيار 99% من قيمته النهائية؟ أوجد t.

V_s = 9 VR = 15 ΩL = 10 mH

t = ms

12.الحالات العابرة RC و RLصعبة

قبل إغلاق المفتاح عند t = 0 مباشرة، يكون جهد المكثّف 30 V بالقطبية الموضّحة. كم يستغرق v_C ليبلغ 19,5 V؟ أوجد t.

V_s = 9 VR = 4,7 kΩC = 33 µFv_C(0) = 30 V

t = ms

13.ثيفنن ونورتنمتوسطة

أوجد جهد ثيفنن V_th المرئي من الطرفين a–b.

V₁ = 12 VR₁ = 3 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 20 Ω

V_th = V

14.ثيفنن ونورتنصعبة

وُصل حِمل R_L = 12 Ω بين a–b. استخدم مكافئ ثيفنن لإيجاد القدرة P_L المسلَّمة إلى الحِمل.

V₁ = 12 VI_s = 1 AR₁ = 2 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 4 ΩR_L = 12 Ω

P_L = W

15.مخططات بودي والهوامشمتوسطة

لـ مرشح RL لتمرير الترددات المنخفضة الموضح R = 470 Ω, L = 4,7 mH. يُطبَّق دخل جيبي مقداره 160 kHz. أوجد إزاحة الطور φ للجهد v_out بالنسبة إلى v_in، بالدرجات.

R = 470 ΩL = 4,7 mHf = 160 kHz

φ = °

16.مخططات بودي والهوامشصعبة

حلقة تغذية عكسية وحدوية دالة نقلها المفتوحة L(s) = 1240/(s(s + 20)). أوجد هامش الطور PM بالدرجات.

L(s) = 1240/(s(s + 20))

PM = °

3المحاليل

1.الأعداد المركبة

الإجابة: D (−2 + j8)

الصيغة القطبية: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ، حيث r = |z| و θ = arg z. والعودة إلى الصيغة الديكارتية: a = r cos θ، b = r sin θ. تحتاج السعة إلى الربع: θ = atan(b/a) فقط عندما a > 0؛ وعندما a < 0 أضف 180° أو اطرحها. في الصيغة القطبية الضرب سهل: اضرب الطويلتين واجمع السعتين؛ وللقسمة اقسم الطويلتين واطرح السعتين.

أثر w

|z/w| = |z|/0,5, arg(z/w) = arg z − (−90)°

النقطة

z/w = −2 + j8 → D

الإجابة

D (−2 + j8)

2.الأعداد المركبة

الإجابة: |z| = 5,385

دي موافر والجذور: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. للمعادلة zⁿ = R∠φ بالضبط n جذرًا، كلها بطويلة R^1/n، عند السعات (φ + 360°·k)/n لـ k = 0, 1, …, n − 1: تقع متباعدة بانتظام على دائرة، بفارق 360°/n. للمعادلة التربيعية z² + pz + q = 0 مع p² < 4q جذران مركبان z = −p/2 ± j√(q − p²/4)؛ وكثير الحدود ذو المعاملات الحقيقية تأتي جذوره المركبة دائمًا في أزواج مترافقة a ± jb.

المميِّز

p² − 4q = 16 − 116 = −100 < 0

قانون المعادلة التربيعية

z = (4 ± j√100)/2 = 2 + j5, 2 − j5

الإجابة

|z| = √(2² + 5²) = √29 = 5,385

الإجابة

|z| = 5,385

3.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: φ = −15,43 °

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

المفاعلات

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,02 = 25,13 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω

المعاوقة

على التوالي تُجمع المعاوقات كأعداد مركّبة: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (−11,04)²) = 41,5 Ω

زاوية الطور

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−11,04/40) = −15,43°

الإجابة

φ = −15,43°

4.معاوقة التيار المتردد والطوريات

الإجابة: Q = 9,724

تردد الرنين

f₀ = 1/(2π·√(0,001·0,047·10⁻⁶)) = 23215 Hz

معامل الجودة

Q يقارن المفاعلة عند الرنين بالمقاومة: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/15)·√(0,001/(0,047·10⁻⁶)) = 9,724

الإجابة

Q = 9,724

5.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: cos φ = 0,9447

قدرة التيار المتردد: القدرة الظاهرية S = V·I (VA) تنقسم إلى قدرة فعلية P = S·cos φ (W) تؤدّي شغلًا مفيدًا، وقدرة غير فعّالة Q = S·sin φ (var) تتردّد بين المصدر والحِمل. معامل القدرة هو cos φ. المكثّف الموصول على التوازي يزوّد القدرة غير الفعّالة محليًا، فينخفض تيار الخط للقدرة الفعلية نفسها.

القدرة غير الفعّالة لكل حِمل

الحِمل المتأخّر يأخذ قدرة غير فعّالة (Q > 0)؛ والحِمل المتقدّم يزوّدها (Q < 0).

Q₁ = 5·tan(arccos 0,85) = 3,099 kvar

Q₂ = −12·tan(arccos 0,8) = −9 kvar

المجاميع

P = 5 + 12 = 17 kW

Q = 3,099 + (−9) = −5,901 kvar

S = √(17² + (−5,901)²) = 18 kVA

معامل القدرة الكلي

cos φ = P/S = 17/18 = 0,9447 متقدّم

الإجابة

cos φ = 0,9447

6.قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

الإجابة: Q_C = 5,942 kvar

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

لا تتغيّر القدرة الفعلية P؛ تتغيّر فقط القدرة غير الفعّالة المسحوبة من الشبكة.

Q₁ = P·tan φ₁ = 10·tan(45,57°) = 10,2 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 10·tan(23,07°) = 4,26 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 5,942 kvar

الإجابة

Q_C = 5,942 kvar

7.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

الإجابة: f₁ = 156,2 kHz

معامل الجودة وعرض النطاق: في الدائرة الرنانة Q = 2π·(الطاقة المختزنة)/(الطاقة المفقودة في الدورة). في RLC على التوالي Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C)؛ وفي RLC على التوازي Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). عرض النطاق بين ترددي نصف القدرة f₁ وf₂ (حيث تكون القدرة النصف والتيار أو الجهد 1/√2 من ذروته) هو BW = f₂ − f₁ = f₀/Q، ويساوي R/(2πL) على التوالي و1/(2πRC) على التوازي. تردد الرنين هو الوسط الهندسي f₀ = √(f₁f₂)، وf_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). تجعل الفواقد التذبذب يتضاءل أيضًا: في RLC على التوالي تتناقص السعة كـ e^−Rt/(2L).

حدّ الجذر التربيعي

√(1 + 1/(4·2²)) = 1,031

تردد نصف القدرة الأدنى

f₁ = 200000·(1,031 − 0,25) = 156155 Hz = 156,2 kHz

الإجابة

f₁ = 156,2 kHz

التردد الأعلى هو f₂ = 256,2 kHz؛ تحقق: f₂ − f₁ = 100 kHz = f₀/Q.

8.رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

الإجابة: R = 147,7 Ω

عرض النطاق على التوالي

BW = R/(2πL)

المقاومة

R = 2π·0,00047·50000 = 147,7 Ω

الإجابة

R = 147,7 Ω

9.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: I_L = 29,43 A

القدرة الكهربائية الداخلة

P_in = P_out/η = 18,5/0,9 = 20,56 kW

تيار الخط

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 20556/(√3·480·0,84) = 29,43 A

الإجابة

I_L = 29,43 A

10.القدرة ثلاثية الطور

الإجابة: C_ph = 834,6 µF

النظم ثلاثية الطور المتوازنة: في توصيل Y (النجمة) يكون جهد الخط √3 ضعف جهد الطور، V_L = √3·V_ph، ويساوي تيار الخط تيار الطور. وفي توصيل Δ (الدلتا) يساوي جهد الخط جهد الطور، ويكون تيار الخط √3 ضعف تيار الطور، I_L = √3·I_ph. القدرة الكلية ثلاثة أضعاف قدرة الطور الواحد: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. تحسين معامل القدرة: تقدّم المكثّفات القدرة غير الفعّالة محليًا، Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). يقدّم كل مكثّف من المكثّفات الثلاثة Q_C/3 = V²·ω·C، حيث V الجهد على ذلك المكثّف: V_L في مجموعة Δ، و V_L/√3 في مجموعة Y.

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

القدرة الفعّالة لا تتغيّر، لذا يحدّد كل معامل قدرة القدرة غير الفعّالة: Q = P·tan φ.

Q₁ = 250·tan(acos 0,78) = 250·0,8023 = 200,6 kvar

Q₂ = 250·tan(acos 0,98) = 250·0,2031 = 50,76 kvar

القدرة غير الفعّالة من المكثّفات

Q_C = Q₁ − Q₂ = 149,8 kvar

السعة لكل طور

في مجموعة Y يوصل كل مكثّف بين خط ونقطة النجمة.

V = 690/√3 = 398,4 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 49935/(377·398,4²) = 834,6 µF

الإجابة

C_ph = 834,6 µF

11.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: t = 3,07 ms

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

الثابت الزمني والتيار النهائي

بعد إغلاق المفتاح بوقت طويل يتصرّف الملف كقصر، لذا يحدّد R وحده التيار النهائي.

τ = L/R = 10 mH / 15 Ω = 0,6667 ms

i(∞) = V_s/R = 9/15 = 0,6 A

حلّ لإيجاد الزمن

0,99 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,99)

t = −0,6667·ln(0,01) = 3,07 ms

الإجابة

t = 3,07 ms

12.الحالات العابرة RC و RL

الإجابة: t = 107,5 ms

القيمة الابتدائية، القيمة النهائية، الثابت الزمني

لا يمكن لجهد المكثّف أن يقفز، لذا يبدأ من قيمته المخزّنة ويتّجه نحو جهد المصدر.

v_C(0) = 30 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 4,7 kΩ · 33 µF = 155,1 ms

v_C(t) = 9 + (30 − 9)·e^−t/τ

حلّ لإيجاد الزمن

19,5 = 9 + (21)·e^−t/τ → e^−t/τ = (19,5 − 9)/(30 − 9) = 0,5

t = τ·ln((30 − 9)/(19,5 − 9)) = 155,1·ln(2) = 107,5 ms

الإجابة

t = 107,5 ms

13.ثيفنن ونورتن

الإجابة: V_th = 6 V

نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد V_th على التوالي مع مقاومة R_th. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار I_N = V_th/R_th على التوازي مع R_th.

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R₁ ∥ R₂ = 3·3/(3+3) = 1,5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,5 + 20 = 21,5 Ω

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة

عندما يكون a–b مفتوحًا لا يمرّ تيار في R₃، فلا هبوط عليه و V_b = V_A. يشكّل R₁ و R₂ مقسّم جهد.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 12·3/(3+3) = 6 V

14.ثيفنن ونورتن

الإجابة: P_L = 8,95 W

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R₁ ∥ R₂ = 2·8/(2+8) = 1,6 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,6 + 4 = 5,6 Ω

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة

عندما يكون a–b مفتوحًا، المسار الوحيد لـ Iₛ هو عبر R₃ إلى العقدة A. أوجد V_A بتراكب V₁ و Iₛ، ثم أضف الهبوط على R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 9,6 + 1·1,6 = 11,2 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 11,2 + 1·4 = 15,2 V

صِل الحِمل بمكافئ ثيفنن

يتصرّف مصدر ثيفنن و R_th على التوالي عند a–b تمامًا كالدائرة الأصلية، فيرى الحِمل حلقة توالٍ بسيطة.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 15,2/(5,6 + 12) = 0,8636 A

P_L = I_L²·R_L = 0,8636²·12 = 8,95 W

15.مخططات بودي والهوامش

الإجابة: φ = −84,32 °

الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ω_c = 1/(RC) أو R/L، وf_c = ω_c/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) وφ = −atan(ω/ω_c). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jω_c). تردد تقاطع الطور ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.

تردد الركن

ω_c = R/L = 470/0,0047 = 100000 rad/s

f_c = 15915 Hz → f/f_c = 160000/15915 = 10,05

الطور

φ = − atan(10,05) = −84,32°

الإجابة

φ = −84,32°

16.مخططات بودي والهوامش

الإجابة: PM = 31,61 °

تقاطع الكسب

ω⁴ + 400ω² − 1,538 × 10⁶ = 0

ω² = (−400 + √(160000 + 4·1,538 × 10⁶))/2 = 1056

ω_c = 32,5 rad/s

هامش الطور

∠L(jω_c) = −90° − atan(32,5/20) = −148,4°

PM = 180° + ∠L = 31,61°

الإجابة

PM = 31,61°

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

تحليل الدوائر الكهربائية 2: دوائر التيار المتردد: حزمة المراجعة المكثفة

1القوانين وطرق الحل

الأعداد المركبة

الطريقة

معاوقة التيار المتردد والطوريات

الطريقة

قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة

رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

الطريقة

القدرة ثلاثية الطور

الحالات العابرة RC و RL

الطريقة

ثيفنن ونورتن

الطريقة

2مسائل تدريبية

3المحاليل

أثر w

النقطة

الإجابة

المميِّز

قانون المعادلة التربيعية

الإجابة

الإجابة

المفاعلات

المعاوقة

زاوية الطور

الإجابة

تردد الرنين

معامل الجودة

الإجابة

القدرة غير الفعّالة لكل حِمل

المجاميع

معامل القدرة الكلي

الإجابة

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

الإجابة

حدّ الجذر التربيعي

تردد نصف القدرة الأدنى

الإجابة

عرض النطاق على التوالي

المقاومة

الإجابة

القدرة الكهربائية الداخلة

تيار الخط

الإجابة

القدرة غير الفعّالة قبل وبعد

القدرة غير الفعّالة من المكثّفات

السعة لكل طور

الإجابة

الثابت الزمني والتيار النهائي

حلّ لإيجاد الزمن

الإجابة

القيمة الابتدائية، القيمة النهائية، الثابت الزمني

حلّ لإيجاد الزمن

الإجابة

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة

صِل الحِمل بمكافئ ثيفنن

تردد الركن

الطور

الإجابة

تقاطع الكسب

هامش الطور

الإجابة

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة