أساسيات علوم الحاسوب: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

أنظمة العد

القيم الموضعية: الثنائي 2^k، الثماني 8^k، الست عشري 16^k
إلى العشري: Σ d_k·b^k
من العشري: اقسم على الأساس، واقرأ البواقي من الأسفل إلى الأعلى
الست عشري ↔ الثنائي: رقم ست عشري واحد = 4 بتات
المتمم الثنائي: اعكس البتات وأضف 1

المنطق القضوي والبراهين

صفوف جدول الصدق: 2ⁿ
الاستلزام: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
نفي الاستلزام: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
الشرط الثنائي: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
دي مورغان: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
قوانين التوزيع: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
نفي الكمّمات: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
قاعدة الوضع (modus ponens) وقاعدة الرفع (modus tollens): p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

الطريقة

عُدّ المتغيرات المختلفة: لجدول الصدق 2ⁿ صفًا، ويبدأ بصف تكون فيه كلها 1.
أعطِ كل صيغة جزئية عمودها الخاص واملأ الأعمدة من الداخل إلى الخارج.
طبّق قاعدة كل رابط: → يساوي 0 فقط في الحالة 1 → 0، و ↔ يساوي 1 عندما يتفق الطرفان.
للتكافؤات قارن العمودين الأخيرين صفًا بصف؛ وللحجة انظر فقط إلى الصفوف التي تكون فيها كل المقدمات 1.
لنفي عبارة مكمَّمة، انقل ¬ إلى الداخل، وبدّل ∀ و ∃، وانفِ الصيغة الداخلية.

المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

البوابات الأساسية: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
القواعد البولية: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
دي مورغان: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ترتيب خريطة كارنو: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
مجموعة من 2ᵏ خلية: تفقد k متغيرًا
مضاعِف 4-إلى-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
القلّابات: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
العدّادات: n بتّات: 2ⁿ حالة؛ mod-N: أصغر n يحقق 2ⁿ ≥ N؛ f_out = f_clk/N
العدّاد المتموّج: f_max = 1/(n·t_pd)
العدّادان الحلقي وجونسون: n و 2n حالة

الطريقة

لدارة ما، اعمل من المداخل إلى المخرج بوابةً بوابةً واكتب القيمة على كل سلك، أو اكتب تعبيرها واملأ جدول الصدق.
للتبسيط ضع الآحاد (وحالات عدم الاكتراث على شكل X) في خريطة كارنو بصفوف وأعمدة بشيفرة غراي: 00, 01, 11, 10.
غطِّ الآحاد بأقل عدد ممكن وأكبر حجم ممكن من المجموعات ذات 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، مع الالتفاف حول الحواف؛ كل مجموعة حد جداء واحد من المتغيرات التي تبقى ثابتة. جمّع الأصفار للصيغة POS.
للقلّابات والعدّادات اقرأ المداخل عند كل حافة ساعة فعالة، واكتب الحالة بعد كل حافة، وتذكّر أن عدّادًا ذا n بتّات يلتف بعد 2ⁿ حالة.

نظرية الأعداد والحساب المودولي

القسمة مع الباقي: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
إقليدس: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
المضاعف المشترك الأصغر: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
المعكوس: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
التطابق الخطي: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
دالة أويلر φ: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
فيرما: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

الطريقة

اختزل كل عدد بالنسبة إلى n أولًا؛ البواقي تقع بين 0 و n − 1.
للقاسم المشترك الأكبر، اقسم مرارًا بخوارزمية إقليدس؛ آخر باقٍ غير صفري هو القاسم المشترك الأكبر.
للمعكوس، نفّذ الخوارزمية الموسّعة واحتفظ بمعامل a؛ أضف n إذا كان سالبًا.
حلّ a·x ≡ b بالضرب في a⁻¹؛ ولدمج تطابقين اكتب x = r₁ + m₁k.
للقوى اكتب الأس بالنظام الثنائي وربّع مرارًا؛ وفي RSA، d = e⁻¹ mod φ(n) مع φ(n) = (p − 1)(q − 1).

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة: Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
البيان المنتظم: |E| = n·k/2
الشجرة والغابة: |E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر: الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في K_n: (n − 1)!/2
تحديث ديكسترا: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L: (Mᴸ)_ij

الطريقة

اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

تقسيم شبكات IPv4

المضيفون في كل شبكة فرعية: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
حجم الكتلة: 256 − (mask octet)
عنوان الشبكة: IP AND القناع
عنوان البث: IP OR (NOT mask): كل بتات المضيف = 1
الشبكات الفرعية من n بتات مستعارة: 2ⁿ

2مسائل تدريبية

1.أنظمة العدمتوسطة

اضبط البتات بحيث تخزن −86 في المتمم الثنائي بـ 8 بتات. إذا قُرئ كعدد بدون إشارة، فما قيمة النمط U؟

N = −868 bit

U =

2.أنظمة العدصعبة

اضبط البتات على الناتج بـ 8 بتات لـ 0101 1100 AND 0110 1001. ما قيمة الناتج R بالعشري؟

0101 1100AND0110 1001

R =

3.المنطق القضوي والبراهينمتوسطة

أي صيغة تكافئ ¬(q ∨ p) منطقيًا؟ انقر عليها.

¬(q ∨ p)

1¬q ∨ ¬p
2q ∨ ¬p
3¬q ∧ ¬p
4¬q ∧ p

4.المنطق القضوي والبراهينصعبة

الحجة ذات المقدمات r → q; ¬r والاستنتاج ¬q غير صحيحة. انقر على صف جدول الصدق الذي يمثل مثالًا مضادًا.

r → q¬r∴ ¬q

1q = 1, r = 1
2q = 1, r = 0
3q = 0, r = 1
4q = 0, r = 0

5.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتمتوسطة

بسّط F = ABC + A′B′ + AC′ + A′BC إلى الصيغة الدنيا لمجموع الجداءات. كم حرفًا L يحتوي التعبير المبسَّط؟

F = ABC + A′B′ + AC′ + A′BC

L =

6.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتصعبة

عدّاد جونسون من 4 بتّات Q₃Q₂Q₁Q₀ يبدأ من 0000. عند كل حافة ساعة تنزاح البتّات مكانًا واحدًا إلى اليمين (Q₃ → Q₂ → Q₁ → Q₀) ويتلقى Q₃ معكوس Q₀. أعطِ الحالة Q = Q₃Q₂Q₁Q₀ كعدد عشري بعد 10 حافة ساعة.

Q₃Q₂Q₁Q₀ = 000010

Q =

7.نظرية الأعداد والحساب المودوليمتوسطة

جد دالة أويلر φ φ(539)، أي عدد الأعداد الصحيحة من 1 إلى 539 التي أولية مع 539.

n = 539 = 7²·11

φ(539) =

8.نظرية الأعداد والحساب المودوليصعبة

كم حلًّا N للتطابق 12x ≡ 24 (mod 33) في {0, 1, …, 32}؟

12x ≡ 24 (mod 33)

N =

9.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما التعقيد الزمني لخوارزمية البرمجة الديناميكية القياسية لأطول تتابع جزئي مشترك لسلسلتين طولهما m وn؟

AO(m + n)
BO(mn log n)
CO(2^m+n)
DO(mn)

10.الخوارزميات والتعقيدصعبة

كيف تُصنَّف مسألة البائع المتجول؟

Aتنتمي إلى P لأن خوارزمية Dijkstra تحلها بزيارة كل مدينة مرة واحدة
Bنسخة القرار في P لكن نسخة التحسين NP-تامة
Cنسخة القرار NP-تامة ونسخة التحسين NP-صعبة
Dغير قابلة للحسم

11.هياكل البياناتمتوسطة

ما قيمة التعبير اللاحق (postfix) 3 4 + 2 *؟

12.هياكل البياناتصعبة

لماذا تُستخدم أشجار B في قواعد البيانات وأنظمة الملفات؟

Aتخزّن البيانات غير مرتبة
Bتستخدم ذاكرة أقل من أي مصفوفة، فيتسع الفهرس كله دائمًا في الذاكرة الرئيسية
Cمعامل التفرع العالي يبقي الشجرة ضحلة، فيقلّل من قراءات القرص البطيئة
Dلا تحتاج إلى إعادة توازن

13.نظرية البياناتمتوسطة

بيان متصل له 20 رؤوس و23 حافة. كم حافة k يجب حذفها لتبقى شجرة ممتدة؟

|V| = 20|E| = 23

k =

14.نظرية البياناتصعبة

تعمل خوارزمية ديكسترا انطلاقًا من A. انقر على الرأس الذي يُثبَّت (يصبح دائمًا) في الجولة 4؛ A نفسه هو الجولة 1.

البداية: Aالجولة 4

15.قواعد البيانات و SQLمتوسطة

ماذا تُرجع INTERSECT عند استخدامها بين استعلامين SELECT؟

Aالصفوف الموجودة في النتيجتين كلتيهما
Bالصفوف الموجودة في النتيجة الأولى دون الثانية
Cالضرب الديكارتي للنتيجتين
Dجميع الصفوف من النتيجتين

16.قواعد البيانات و SQLصعبة

متى يُضمن أن يكون تفكيك R إلى R1 وR2 غير فاقد (lossless)؟

Aعندما يكون لـ R1 وR2 العدد نفسه من الأعمدة
Bعندما تشكّل الخصائص المشتركة بين R1 وR2 مفتاحًا فائقًا لـ R1 أو لـ R2
Cعندما تظهر كل خاصية من خصائص R في R1 وR2 كليهما
Dعندما لا تكون بين R1 وR2 خصائص مشتركة

17.شبكات الحاسوبمتوسطة

ما وظيفة ARP؟

Aيجد عنوان MAC المرتبط بعنوان IP على الشبكة المحلية
Bيحلّ أسماء النطاقات
Cيخصص عناوين IP تلقائيًا للمضيفين عند انضمامهم إلى الشبكة المحلية
Dيوجّه الحزم على الإنترنت

18.شبكات الحاسوبصعبة

أي بروتوكول توجيه هو بروتوكول حالة الوصلة (link-state)؟

ARIP
BBGP
COSPF
DARP

19.تقسيم شبكات IPv4متوسطة

يحتاج قسم إلى 506 عنوان مضيف في شبكة فرعية واحدة. ما أطول بادئة p (أصغر شبكة فرعية) تكفي؟

506 hosts

p =

20.تقسيم شبكات IPv4صعبة

لدى موجّه مسارات إلى هذه الشبكات: 10.52.24.0/24, 10.52.25.0/24, 10.52.26.0/24, 10.52.27.0/24, 10.52.28.0/24, 10.52.29.0/24, 10.52.30.0/24, 10.52.31.0/24. ما أطول طول بادئة p لمسار تلخيصي واحد يغطّيها كلها؟

10.52.24.0/24 … 10.52.31.0/24

p =

3المحاليل

1.أنظمة العد

الإجابة: U = 170

ضبط البتات: قيمة كل بت قوة للعدد اثنين (128 و64 … و1). الرقم السداسي عشري الواحد يساوي أربع بتات تمامًا، وفي المتمم الثنائي بـ 8 بتات تساوي قيمة البت الأيسر −128. وتعمل العمليات على مستوى البت على كل موضع بت على حدة.

اقلب وأضف واحدًا

86 = 0101 0110

مقلوب: 1010 1001

+1 → 1010 1010

اقرأه بلا إشارة

1010 1010₂ = 256 − 86 = 170

الإجابة

U = 170

2.أنظمة العد

الإجابة: R = 72

بتًا ببت

تعطي AND القيمة 1 حيث يكون البتان 1 فقط.

0101 1100

AND 0110 1001

= 0100 1000

قيمة الناتج

0100 1000₂ = 72

الإجابة

R = 72

3.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: ¬q ∧ ¬p

التكافؤ المنطقي: تتكافأ صيغتان (≡) عندما يكون لهما القيمة نفسها في كل صف من جدول الصدق. الحشو يساوي 1 في كل صف، والتناقض يساوي 0 في كل صف، والممكن ليس هذا ولا ذاك. قوانين مفيدة: دي مورغان، ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b و ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b؛ و a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (العكس النقيض)؛ و ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b؛ وقوانين التوزيع، a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

القانون

دي مورغان: ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b. تتحول ∨ إلى ∧ ويُنفى الجزآن.

¬(q ∨ p) ≡ ¬q ∧ ¬p

تحقق بجدول الصدق

p = 1, q = 1: 0 | 0 1 0 0

p = 1, q = 0: 0 | 1 0 0 1

p = 0, q = 1: 0 | 1 1 0 0

p = 0, q = 0: 1 | 1 1 1 0

الإجابة

¬q ∧ ¬p

الأعمدة بعد الشريط هي الخيارات بالترتيب المعروض.

4.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: q = 1, r = 0

الكمّمات والحجج: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) و ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). انقل النفي إلى الداخل، وبدّل كل كمّم يمرّ به، وانفِ الصيغة الداخلية بقوانين المنطق القضوي، مثل ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. تكون الحجة صحيحة عندما يكون الاستنتاج 1 في كل صف تكون فيه كل المقدمات 1. صف واحد بمقدمات صائبة واستنتاج خاطئ هو مثال مضاد ويبيّن أن الحجة غير صحيحة.

المقدمات والاستنتاج صفًا صفًا

q = 1, r = 1: 1 0 | 0

q = 1, r = 0: 1 1 | 0

q = 0, r = 1: 0 0 | 1

q = 0, r = 0: 1 1 | 1

مثال مضاد

q = 1, r = 0

الإجابة

q = 1, r = 0

حجة بهذه الصيغة تبدو قاعدة صحيحة، لكن صفًا واحدًا يكفي لإثبات أنها ليست كذلك.

5.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: L = 6

الجبر البولياني: القواعد التي تبسّط التعابير هي X + X′ = 1 و X·X′ = 0، و X + X = X، والامتصاص X + X·Y = X، وقاعدة الدمج X·Y + X·Y′ = X، و X + X′Y = X + Y، ومبرهنة الإجماع XY + X′Z + YZ = XY + X′Z. تحوّل قوانين دي مورغان (X·Y)′ إلى X′ + Y′ و (X + Y)′ إلى X′·Y′. وتطبّق خريطة كارنو هذه القواعد بيانيًا: كل مجموعة من خليتين متجاورتين هي استخدام واحد لـ XY + XY′ = X.

الحدود الصغرى للتعبير

ABC → m(7)

A′B′ → m(0, 1)

AC′ → m(4, 6)

A′BC → m(3)

جمّع واقرأ

F = BC + AC′ + A′B′

عُدّ الحروف

L = 6

الإجابة

L = 6

يوجد تجميع آخر بالحجم نفسه؛ وله عدد الحروف نفسه.

6.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: Q = 12

القلّابات والعدّادات: لا يتغير القلّاب إلا عند الحافة الفعالة للساعة. يَنسخ D مدخله (Q⁺ = D)؛ و T يتبدّل عندما T = 1؛ و JK يحتفظ عند 00، ويصفّر عند 01، ويضبط عند 10، ويتبدّل عند 11. للعدّاد الثنائي ذي n بتّات 2ⁿ حالة ويعدّ بالنمط 2ⁿ؛ وعدّاد mod-N يعدّ 0 و 1 … حتى N − 1 ثم يعود إلى 0، ويحتاج إلى أصغر n يحقق 2ⁿ ≥ N قلّابات. تُنصّف كل مرحلة في العدّاد المتموّج التردد، فيعمل الخرج الأخير لعدّاد mod-N بالتردد f_clk/N. لعدّاد جونسون من n قلّابات 2n حالة، وللعدّاد الحلقي n.

الحالة بعد كل حافة

0000 → 1000 → 1100 → 1110 → 1111 → 0111 → 0011 → 0001 → 0000 → 1000 → 1100

القيمة العشرية

1100₂ = 12

الإجابة

Q = 12

7.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: φ(539) = 420

المعكوسات والتطابقات: للعدد a معكوس بالنسبة إلى n بالضبط عندما gcd(a, n) = 1. تكتب خوارزمية إقليدس الموسّعة 1 = s·n + t·a، ثم a⁻¹ ≡ t (mod n). التطابق a·x ≡ b (mod n) مع gcd(a, n) = 1 حلّه x ≡ a⁻¹·b. لتطابقين x ≡ r₁ (mod m₁) و x ≡ r₂ (mod m₂) بمقياسين أوليين فيما بينهما حل واحد بالنسبة إلى m₁·m₂ (مبرهنة الباقي الصينية). تعدّ φ(n) لأويلر الأعداد من 1 إلى n التي أولية مع n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

العوامل الأولية

539 = 7²·11

دالة أويلر φ

φ(539) = φ(49)·φ(11) = 42·10 = 420

الإجابة

φ(539) = 420

8.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: N = 3

اقسم على القاسم المشترك الأكبر

gcd(12, 33) = 3

4x ≡ 8 (mod 11)

حلّ التطابق المختزل

4⁻¹ ≡ 3 (mod 11) → x ≡ 2 (mod 11)

الحلول بالنسبة إلى 33

x ∈ {2, 13, 24}

حواف الشجرة الممتدة

20 − 1 = 19

الحواف المراد حذفها

k = 23 − 19 = 4

الإجابة

k = 4

14.نظرية البيانات

الإجابة: E

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

1. A (0): B: 13, C: 12

2. C (12): E: 19

3. B (13): D: 19, E: 18

4. E (18): F: 25

5. D (19)

تبني موجّهات OSPF خريطة كاملة للمنطقة وتحسب أقصر المسارات بخوارزمية Dijkstra. أما RIP فهو بروتوكول متجه المسافة، وBGP بروتوكول متجه المسار.

الإجابة

C · OSPF

19.تقسيم شبكات IPv4

الإجابة: p = 23

تقسيم شبكات IPv4: يتكون العنوان من 32 بتة. تحدد البادئة /p عدد البتات الأولى التي تعرّف الشبكة؛ وتُرقّم البتات المتبقية 32 − p المضيفين. تحتوي الشبكة الفرعية على 2³²⁻ᵖ عنوانًا، لكن الأول (عنوان الشبكة) والأخير (عنوان البث) لا يُعطيان للمضيفين، فيتسع 2³²⁻ᵖ − 2 مضيفًا. الاستثناءات: الشبكة /31 (وصلة من نقطة إلى نقطة، RFC 3021) تستخدم كلا عنوانَيها الـ 2 للمضيفين، والشبكة /32 عنوان واحد فقط (مضيف واحد أو عنوان loopback).

بتات المضيف اللازمة

2⁸ − 2 = 254 < 506

2⁹ − 2 = 510 ≥ 506 → h = 9

طول البادئة

p = 32 − 9 = 23

الإجابة

p = /23

20.تقسيم شبكات IPv4

الإجابة: p = 21

تلخيص المسارات: المسار التلخيصي a.b.c.0/p يغطّي كل الشبكات التي تتطابق بتاتها الأولى p. اكتب الثُمانية المختلفة للشبكة الأولى والأخيرة بالنظام الثنائي؛ عدد البتات الأولى المشتركة، زائد بتات الثُمانيات التي قبلها، هو أطول بادئة تلخيصية.

قارن البتات

24 = 00011000

31 = 00011111

البتات الأولى المشتركة: 5

طول البادئة

p = 16 + 5 = 21

الإجابة

p = /21

المسار التلخيصي: 10.52.24.0/21

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals