أنظمة العد
- القيم الموضعية
- الثنائي 2k، الثماني 8k، الست عشري 16k
- إلى العشري
- Σ dk·bk
- من العشري
- اقسم على الأساس، واقرأ البواقي من الأسفل إلى الأعلى
- الست عشري ↔ الثنائي
- رقم ست عشري واحد = 4 بتات
- المتمم الثنائي
- اعكس البتات وأضف 1
أساسيات علوم الحاسوب: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
المنطق القضوي والبراهين
- صفوف جدول الصدق
- 2ⁿ
- الاستلزام
- p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
- نفي الاستلزام
- ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
- الشرط الثنائي
- p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
- دي مورغان
- ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
- قوانين التوزيع
- p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
- نفي الكمّمات
- ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
- قاعدة الوضع (modus ponens) وقاعدة الرفع (modus tollens)
- p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p
الطريقة
- عُدّ المتغيرات المختلفة: لجدول الصدق 2ⁿ صفًا، ويبدأ بصف تكون فيه كلها 1.
- أعطِ كل صيغة جزئية عمودها الخاص واملأ الأعمدة من الداخل إلى الخارج.
- طبّق قاعدة كل رابط: → يساوي 0 فقط في الحالة 1 → 0، و ↔ يساوي 1 عندما يتفق الطرفان.
- للتكافؤات قارن العمودين الأخيرين صفًا بصف؛ وللحجة انظر فقط إلى الصفوف التي تكون فيها كل المقدمات 1.
- لنفي عبارة مكمَّمة، انقل ¬ إلى الداخل، وبدّل ∀ و ∃، وانفِ الصيغة الداخلية.
المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات
- البوابات الأساسية
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- القواعد البولية
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- دي مورغان
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- ترتيب خريطة كارنو
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- مجموعة من 2ᵏ خلية
- تفقد k متغيرًا
- مضاعِف 4-إلى-1
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- القلّابات
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- العدّادات
- n بتّات: 2ⁿ حالة؛ mod-N: أصغر n يحقق 2ⁿ ≥ N؛ fout = fclk/N
- العدّاد المتموّج
- fmax = 1/(n·tpd)
- العدّادان الحلقي وجونسون
- n و 2n حالة
الطريقة
- لدارة ما، اعمل من المداخل إلى المخرج بوابةً بوابةً واكتب القيمة على كل سلك، أو اكتب تعبيرها واملأ جدول الصدق.
- للتبسيط ضع الآحاد (وحالات عدم الاكتراث على شكل X) في خريطة كارنو بصفوف وأعمدة بشيفرة غراي: 00, 01, 11, 10.
- غطِّ الآحاد بأقل عدد ممكن وأكبر حجم ممكن من المجموعات ذات 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، مع الالتفاف حول الحواف؛ كل مجموعة حد جداء واحد من المتغيرات التي تبقى ثابتة. جمّع الأصفار للصيغة POS.
- للقلّابات والعدّادات اقرأ المداخل عند كل حافة ساعة فعالة، واكتب الحالة بعد كل حافة، وتذكّر أن عدّادًا ذا n بتّات يلتف بعد 2ⁿ حالة.
نظرية الأعداد والحساب المودولي
- القسمة مع الباقي
- a = q·n + r, 0 ≤ r < n
- إقليدس
- gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
- المضاعف المشترك الأصغر
- lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
- المعكوس
- a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
- التطابق الخطي
- a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
- دالة أويلر φ
- φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
- فيرما
- aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
- RSA
- n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
الطريقة
- اختزل كل عدد بالنسبة إلى n أولًا؛ البواقي تقع بين 0 و n − 1.
- للقاسم المشترك الأكبر، اقسم مرارًا بخوارزمية إقليدس؛ آخر باقٍ غير صفري هو القاسم المشترك الأكبر.
- للمعكوس، نفّذ الخوارزمية الموسّعة واحتفظ بمعامل a؛ أضف n إذا كان سالبًا.
- حلّ a·x ≡ b بالضرب في a⁻¹؛ ولدمج تطابقين اكتب x = r₁ + m₁k.
- للقوى اكتب الأس بالنظام الثنائي وربّع مرارًا؛ وفي RSA، d = e⁻¹ mod φ(n) مع φ(n) = (p − 1)(q − 1).
نظرية البيانات
- مبرهنة المصافحة
- Σ deg(v) = 2|E|
- البيانات التامة
- |E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
- البيان المنتظم
- |E| = n·k/2
- الشجرة والغابة
- |E| = n − 1, |E| = n − c
- أوراق الشجرة
- L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
- أويلر
- الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
- دارات هاملتون في Kn
- (n − 1)!/2
- تحديث ديكسترا
- d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
- المسارات (walks) بطول L
- (Mᴸ)ij
الطريقة
- اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
- في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
- للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
- في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
- لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).
تقسيم شبكات IPv4
- المضيفون في كل شبكة فرعية
- 2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
- حجم الكتلة
- 256 − (mask octet)
- عنوان الشبكة
- IP AND القناع
- عنوان البث
- IP OR (NOT mask): كل بتات المضيف = 1
- الشبكات الفرعية من n بتات مستعارة
- 2n
2مسائل تدريبية
1.أنظمة العدمتوسطة
اكتب −80 كنمط متمم ثنائي ذي 8 بتات. اقرأ النمط كعدد ثنائي بلا إشارة: ما قيمته U في النظام العشري؟
N = −808 bit
U =
2.أنظمة العدصعبة
ما أكبر عدد صحيح بلا إشارة N يتسع في 32 بتة؟
32 bit
N =
3.المنطق القضوي والبراهينمتوسطة
هل q ∧ ¬q حشو أم تناقض أم ممكنة؟ انقر على إجابتك.
q ∧ ¬q
- 1حشو
- 2تناقض
- 3ممكنة
4.المنطق القضوي والبراهينصعبة
كم صفًا من الصفوف الـ 16 لجدول الصدق تجعل (b → (a ∨ d)) ∧ (¬(¬a ∨ ¬b) ∧ ¬c) صائبة؟ سمِّ هذا العدد N.
(b → (a ∨ d)) ∧ (¬(¬a ∨ ¬b) ∧ ¬c)
N =
5.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتمتوسطة
استخدم خريطة كارنو لإيجاد الصيغة الدنيا لمجموع الجداءات (SOP) للدالة F(A, B, C) = Σm(0, 2, 3, 5). كم حرفًا L تحتوي في المجموع (المتغير ذو الشرطة يُعدّ حرفًا واحدًا)؟
F(A, B, C) = Σm(0, 2, 3, 5)
L =
6.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتصعبة
عدّاد حلقي مصنوع من 6 قلّابات D مع إرجاع المخرج الأخير إلى المدخل الأول، ويبدأ بواحد وحيد. كم حالة مختلفة N يمرّ بها؟
n = 6
N =
7.نظرية الأعداد والحساب المودوليمتوسطة
جد معكوس 13 بالنسبة إلى 23: العدد x مع 0 < x < 23 و 13·x ≡ 1 (mod 23).
a = 13n = 23
13−1 mod 23 =
8.نظرية الأعداد والحساب المودوليصعبة
حلّ 54x ≡ 68 (mod 88). أعطِ أصغر حل موجب x.
54x ≡ 68 (mod 88)
x =
9.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة
ماذا يقيس التحليل المستهلَك (amortised)؟
- Aالكلفة المتوقعة على مدخلات عشوائية
- Bكلفة الخوارزمية على أفضل مدخل
- Cكلفة أغلى عملية منفردة في أي موضع من السلسلة
- Dمتوسط الكلفة لكل عملية على أسوأ سلسلة من العمليات
10.الخوارزميات والتعقيدصعبة
لأي نوع من مسألة الحقيبة تعطي القاعدة الجشعة "خذ العناصر بترتيب القيمة لكل وحدة وزن" إجابة مثلى دائمًا؟
- Aالحقيبة الكسرية، حيث يجوز تقسيم العناصر
- Bالنوعان كلاهما
- Cحقيبة 0/1، حيث يجب دائمًا أخذ العناصر كاملة
- Dلا هذا ولا ذاك
11.هياكل البياناتمتوسطة
كيف تجد المفتاح الأصغر في شجرة بحث ثنائية؟
- Aزُر كل ورقة وقارن بينها
- Bانظر إلى الجذر فقط
- Cاتبع الأبناء اليمنى من الجذر حتى لا يوجد ابن أيمن
- Dاتبع الأبناء اليسرى من الجذر حتى لا يوجد ابن أيسر
12.هياكل البياناتصعبة
في المخزن المؤقت الدائري (circular buffer)، قد يعني front == rear الفراغ أو الامتلاء. ما الطريقة الشائعة للتمييز بينهما؟
- Aتخزين front وrear في المتغير نفسه
- Bجعل حجم المخزن قوة للعدد اثنين
- Cمسح المخزن دائمًا حين يتساوى front وrear، فتكون الحالة فارغة
- Dالاحتفاظ بعدّاد منفصل للعناصر، أو ترك خانة واحدة غير مستخدمة دائمًا
13.نظرية البياناتمتوسطة
كم دارة هاملتون مختلفة H للبيان التام K5؟ الدارات التي تختلف فقط في رأس البداية أو الاتجاه تُعدّ واحدة.
K5
H =
14.نظرية البياناتصعبة
استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.
البداية: Aالنهاية: F
d(F) =
15.قواعد البيانات و SQLمتوسطة
أي استعلام يُرجع أعلى راتب في كل قسم؟
- ASELECT dept, MAX(salary) FROM emp ORDER BY dept
- BSELECT dept, MAX(salary) FROM emp GROUP BY dept
- CSELECT MAX(dept), salary FROM emp GROUP BY salary
- DSELECT dept, salary FROM emp WHERE salary = MAX(salary)
16.قواعد البيانات و SQLصعبة
تتطلب صيغة بويس–كود الطبيعية (BCNF) أنه لكل اعتمادية وظيفية غير بديهية X → Y:
- Aيكون X مفتاحًا فائقًا
- Bيحتوي X على NULL
- Cيكون Y مفتاحًا أساسيًا
- Dيكون Y ذريًا
17.شبكات الحاسوبمتوسطة
أي مضيف يقع في الشبكة الفرعية /16 نفسها مع 10.1.2.3؟
- A10.0.2.3
- B10.2.2.3
- C10.1.200.5
- D11.1.2.3
18.شبكات الحاسوبصعبة
ما الحد الأقصى لوحدة الإرسال (MTU) لحمولة Ethernet القياسية؟
- A9000 بايت في كل شبكة
- B65535 بايت
- C1500 بايت
- D64 بايت
19.تقسيم شبكات IPv4متوسطة
تُقسَّم الشبكة 192.168.177.0/24 إلى شبكات فرعية /25، مرقّمة 1، 2، 3، … بدءًا من أدنى عنوان (الشبكة الفرعية 1 تبدأ عند .0). ما الثُمانية الرابعة x من عنوان البث للشبكة الفرعية 2؟
192.168.177.0/24/25الشبكة الفرعية 2 (الشبكة الفرعية 1 تبدأ عند .0)
x =
20.تقسيم شبكات IPv4صعبة
لدى موجّه مسارات إلى هذه الشبكات: 10.105.166.0/24, 10.105.167.0/24, 10.105.168.0/24, 10.105.169.0/24. ما أطول طول بادئة p لمسار تلخيصي واحد يغطّيها كلها؟
10.105.166.0/24 … 10.105.169.0/24
p =
3المحاليل
1.أنظمة العد
الإجابة: U = 176
أنظمة العد الموضعية: قيمة كل رقم هي قيمته مضروبة في قوة من قوى الأساس. في النظام الثنائي تساوي المواضع 1، 2، 4، 8، 16، …؛ وفي السداسي عشري 1، 16، 256، …، حيث تمثل A–F القيم 10–15. في المتمم الثنائي ذي 8 بتات تساوي البتة اليسرى −128 بدلًا من +128، وهكذا تُخزَّن الأعداد السالبة.
اقلب وأضف واحدًا
80 = 0101 0000
مقلوب: 1010 1111
+1 → 1011 0000
اقرأه بلا إشارة
1011 0000₂ = 256 − 80 = 176
الإجابة
U = 176
2.أنظمة العد
الإجابة: N = 4,295 × 10⁹
أنظمة العد الموضعية: قيمة كل رقم هي قيمته مضروبة في قوة من قوى الأساس. في النظام الثنائي تساوي المواضع 1، 2، 4، 8، 16، …؛ وفي السداسي عشري 1، 16، 256، …، حيث تمثل A–F القيم 10–15. في المتمم الثنائي ذي 8 بتات تساوي البتة اليسرى −128 بدلًا من +128، وهكذا تُخزَّن الأعداد السالبة.
أكبر قيمة
232 − 1 = 4294967295
الإجابة
N = 4294967295
3.المنطق القضوي والبراهين
الإجابة: تناقض
التكافؤ المنطقي: تتكافأ صيغتان (≡) عندما يكون لهما القيمة نفسها في كل صف من جدول الصدق. الحشو يساوي 1 في كل صف، والتناقض يساوي 0 في كل صف، والممكن ليس هذا ولا ذاك. قوانين مفيدة: دي مورغان، ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b و ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b؛ و a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (العكس النقيض)؛ و ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b؛ وقوانين التوزيع، a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
جدول الصدق صفًا صفًا
q = 1: ¬q = 0, q ∧ ¬q = 0
q = 0: ¬q = 1, q ∧ ¬q = 0
صنّف
q ∧ ¬q: 0, 0
0 في كل صف: تناقض.
الإجابة
تناقض
4.المنطق القضوي والبراهين
الإجابة: N = 2
جداول الصدق: للصيغة ذات n متغيرًا مختلفًا 2ⁿ صفًا، صف لكل تركيبة من قيم الصدق (1 = صواب، 0 = خطأ). اعمل من الداخل إلى الخارج وأعطِ كل صيغة جزئية عمودها الخاص. ¬a تقلب القيمة؛ و a ∧ b تساوي 1 فقط عندما تكون القيمتان 1؛ و a ∨ b تساوي 0 فقط عندما تكون القيمتان 0؛ و a → b تساوي 0 فقط عندما a = 1 و b = 0؛ و a ↔ b تساوي 1 عندما يتساوى الطرفان.
الأعمدة
a ∨ d; b → (a ∨ d); ¬a; ¬b; ¬a ∨ ¬b; ¬(¬a ∨ ¬b); ¬c; ¬(¬a ∨ ¬b) ∧ ¬c; (b → (a ∨ d)) ∧ (¬(¬a ∨ ¬b) ∧ ¬c)
قسّم على a
a = 1: 2
a = 0: 0
N = 2 + 0 = 2
الإجابة
N = 2
5.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات
الإجابة: L = 7
خرائط كارنو: ترتَّب الخلايا بشيفرة غراي (00, 01, 11, 10)، فتختلف الخلايا المتجاورة، بما فيها تلك التي عبر الحواف، في متغير واحد بالضبط. جمّع الآحاد في مستطيلات من 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، بأكبر حجم وأقل عدد ممكنين، حتى يُغطى كل 1. كل مجموعة حد جداء واحد: المتغيرات التي تبقى ثابتة داخلها. المجموعة من 2ᵏ خلية تفقد k متغيرًا. يجوز استخدام حالات عدم الاكتراث (X) لتكبير المجموعات لكن لا يجب تغطيتها أبدًا. أما تجميع الأصفار فيعطي الصيغة الدنيا POS.
جمّع الآحاد
كل مجموعة مستطيل من 2ᵏ خلية؛ وخلايا الحافة جارة للخلايا على الحافة المقابلة.
A′C′
A′B
AB′C
الصيغة الدنيا SOP
F = A′C′ + A′B + AB′C
L = 7
الإجابة
L = 7
6.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات
الإجابة: N = 6
القلّابات والعدّادات: لا يتغير القلّاب إلا عند الحافة الفعالة للساعة. يَنسخ D مدخله (Q⁺ = D)؛ و T يتبدّل عندما T = 1؛ و JK يحتفظ عند 00، ويصفّر عند 01، ويضبط عند 10، ويتبدّل عند 11. للعدّاد الثنائي ذي n بتّات 2ⁿ حالة ويعدّ بالنمط 2ⁿ؛ وعدّاد mod-N يعدّ 0 و 1 … حتى N − 1 ثم يعود إلى 0، ويحتاج إلى أصغر n يحقق 2ⁿ ≥ N قلّابات. تُنصّف كل مرحلة في العدّاد المتموّج التردد، فيعمل الخرج الأخير لعدّاد mod-N بالتردد fclk/N. لعدّاد جونسون من n قلّابات 2n حالة، وللعدّاد الحلقي n.
التسلسل لـ 6 قلّابات
100000 → 010000 → 001000 → 000100 → 000010 → 000001
عدد الحالات
N = 6
الإجابة
N = 6
7.نظرية الأعداد والحساب المودولي
الإجابة: 13−1 mod 23 = 16
المعكوسات والتطابقات: للعدد a معكوس بالنسبة إلى n بالضبط عندما gcd(a, n) = 1. تكتب خوارزمية إقليدس الموسّعة 1 = s·n + t·a، ثم a⁻¹ ≡ t (mod n). التطابق a·x ≡ b (mod n) مع gcd(a, n) = 1 حلّه x ≡ a⁻¹·b. لتطابقين x ≡ r₁ (mod m₁) و x ≡ r₂ (mod m₂) بمقياسين أوليين فيما بينهما حل واحد بالنسبة إلى m₁·m₂ (مبرهنة الباقي الصينية). تعدّ φ(n) لأويلر الأعداد من 1 إلى n التي أولية مع n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
خوارزمية إقليدس الموسّعة
يُكتب كل باقٍ r بالشكل r ≡ t·13 (mod 23).
r = 23, t = 0
r = 13, q = 1, t = 1
r = 10, q = 1, t = −1
r = 3, q = 3, t = 2
r = 1, q = 3, t = −7
المعكوس
1 ≡ −7·13 (mod 23)
x = 16
تحقّق: 13·16 = 208 = 9·23 + 1
الإجابة
13−1 mod 23 = 16
8.نظرية الأعداد والحساب المودولي
الإجابة: x = 42
المعكوسات والتطابقات: للعدد a معكوس بالنسبة إلى n بالضبط عندما gcd(a, n) = 1. تكتب خوارزمية إقليدس الموسّعة 1 = s·n + t·a، ثم a⁻¹ ≡ t (mod n). التطابق a·x ≡ b (mod n) مع gcd(a, n) = 1 حلّه x ≡ a⁻¹·b. لتطابقين x ≡ r₁ (mod m₁) و x ≡ r₂ (mod m₂) بمقياسين أوليين فيما بينهما حل واحد بالنسبة إلى m₁·m₂ (مبرهنة الباقي الصينية). تعدّ φ(n) لأويلر الأعداد من 1 إلى n التي أولية مع n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
اقسم على القاسم المشترك الأكبر
gcd(54, 88) = 2
27x ≡ 34 (mod 44)
حلّ التطابق المختزل
27−1 ≡ 31 (mod 44) → x ≡ 42 (mod 44)
الحلول بالنسبة إلى 88
x ∈ {42, 86}
x = 42
الإجابة
x = 42
9.الخوارزميات والتعقيد
الإجابة: D · متوسط الكلفة لكل عملية على أسوأ سلسلة من العمليات
لماذا هذه هي الإجابة
يوزع التحليل المستهلَك كلفة العمليات الغالية النادرة على كثير من العمليات الرخيصة، فيعطي متوسطًا مضمونًا لأي سلسلة.
الإجابة
D · متوسط الكلفة لكل عملية على أسوأ سلسلة من العمليات
10.الخوارزميات والتعقيد
الإجابة: A · الحقيبة الكسرية، حيث يجوز تقسيم العناصر
لماذا هذه هي الإجابة
حين يمكن تقسيم العناصر يكون أخذ أفضل نسبة أولًا هو الأمثل، أما في حقيبة 0/1 فقد يمنع عنصر ذو نسبة عالية تركيبة أفضل، فتلزم البرمجة الديناميكية.
الإجابة
A · الحقيبة الكسرية، حيث يجوز تقسيم العناصر
11.هياكل البيانات
الإجابة: D · اتبع الأبناء اليسرى من الجذر حتى لا يوجد ابن أيسر
لماذا هذه هي الإجابة
العقدة الأقصى يسارًا ليس في الشجرة مفتاح أصغر منها، فهي الأصغر، والكلفة متناسبة مع الارتفاع.
الإجابة
D · اتبع الأبناء اليسرى من الجذر حتى لا يوجد ابن أيسر
12.هياكل البيانات
الإجابة: D · الاحتفاظ بعدّاد منفصل للعناصر، أو ترك خانة واحدة غير مستخدمة دائمًا
لماذا هذه هي الإجابة
مع العدّاد يعني الفراغ count = 0 ويعني الامتلاء count = capacity، ومع خانة فارغة واحدة يُعرَّف الامتلاء بأنه (rear + 1) mod n == front.
الإجابة
D · الاحتفاظ بعدّاد منفصل للعناصر، أو ترك خانة واحدة غير مستخدمة دائمًا
13.نظرية البيانات
الإجابة: H = 12
أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.
عُدّ
H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12
الإجابة
H = 12
14.نظرية البيانات
الإجابة: d(F) = 21
أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.
ديكسترا جولةً جولةً
كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.
A (0): B: 11, C: 4
C (4): B: 10, E: 10
B (10): D: 20
E (10): F: 23
D (20): F: 21
F (21)
أقصر مسار
A → C → B → D → F
d(F) = 21
الإجابة
d(F) = 21
15.قواعد البيانات و SQL
الإجابة: B · SELECT dept, MAX(salary) FROM emp GROUP BY dept
لماذا هذه هي الإجابة
تنشئ GROUP BY dept مجموعة لكل قسم، وتختار MAX(salary) أعلى قيمة في كل منها.
الإجابة
B · SELECT dept, MAX(salary) FROM emp GROUP BY dept
16.قواعد البيانات و SQL
الإجابة: A · يكون X مفتاحًا فائقًا
لماذا هذه هي الإجابة
تشترط BCNF أن يكون كل محدِّد مفتاحًا مرشحًا (مفتاحًا فائقًا)؛ بينما تسمح 3NF باستثناء عندما يكون Y جزءًا من مفتاح مرشح.
الإجابة
A · يكون X مفتاحًا فائقًا
17.شبكات الحاسوب
الإجابة: C · 10.1.200.5
لماذا هذه هي الإجابة
مع /16 تكون البتات الـ 16 الأولى (10,1) هي جزء الشبكة. ولا يشترك فيها إلا 10.1.200.5، فهو على 10.1.0.0/16.
الإجابة
C · 10.1.200.5
18.شبكات الحاسوب
الإجابة: C · 1500 بايت
لماذا هذه هي الإجابة
تحمل Ethernet القياسية ما يصل إلى 1500 بايت من الحمولة؛ ويجب تجزئة حزم IP الأكبر أو استخدام اكتشاف MTU للمسار (path MTU discovery).
الإجابة
C · 1500 بايت
19.تقسيم شبكات IPv4
الإجابة: x = 255
IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).
حجم الكتلة
27 = 128
الشبكة الفرعية رقم 2
الشبكة: (2 − 1)·128 = 128
البث: 128 + 128 − 1 = 255
الإجابة
x = 255
20.تقسيم شبكات IPv4
الإجابة: p = 20
تلخيص المسارات: المسار التلخيصي a.b.c.0/p يغطّي كل الشبكات التي تتطابق بتاتها الأولى p. اكتب الثُمانية المختلفة للشبكة الأولى والأخيرة بالنظام الثنائي؛ عدد البتات الأولى المشتركة، زائد بتات الثُمانيات التي قبلها، هو أطول بادئة تلخيصية.
قارن البتات
166 = 10100110
169 = 10101001
البتات الأولى المشتركة: 4
طول البادئة
p = 16 + 4 = 20
الإجابة
p = /20
المسار التلخيصي: 10.105.160.0/20 (وهو يغطّي أيضًا 12 شبكة (شبكات) ليست في القائمة).
ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals