أساسيات علوم الحاسوب: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

أنظمة العد

القيم الموضعية
الثنائي 2k، الثماني 8k، الست عشري 16k
إلى العشري
Σ dk·bk
من العشري
اقسم على الأساس، واقرأ البواقي من الأسفل إلى الأعلى
الست عشري ↔ الثنائي
رقم ست عشري واحد = 4 بتات
المتمم الثنائي
اعكس البتات وأضف 1

المنطق القضوي والبراهين

صفوف جدول الصدق
2ⁿ
الاستلزام
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
نفي الاستلزام
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
الشرط الثنائي
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
دي مورغان
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
قوانين التوزيع
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
نفي الكمّمات
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
قاعدة الوضع (modus ponens) وقاعدة الرفع (modus tollens)
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

الطريقة

  1. عُدّ المتغيرات المختلفة: لجدول الصدق 2ⁿ صفًا، ويبدأ بصف تكون فيه كلها 1.
  2. أعطِ كل صيغة جزئية عمودها الخاص واملأ الأعمدة من الداخل إلى الخارج.
  3. طبّق قاعدة كل رابط: → يساوي 0 فقط في الحالة 1 → 0، و ↔ يساوي 1 عندما يتفق الطرفان.
  4. للتكافؤات قارن العمودين الأخيرين صفًا بصف؛ وللحجة انظر فقط إلى الصفوف التي تكون فيها كل المقدمات 1.
  5. لنفي عبارة مكمَّمة، انقل ¬ إلى الداخل، وبدّل ∀ و ∃، وانفِ الصيغة الداخلية.

المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

البوابات الأساسية
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
القواعد البولية
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
دي مورغان
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ترتيب خريطة كارنو
00, 01, 11, 10 (Gray code)
مجموعة من 2ᵏ خلية
تفقد k متغيرًا
مضاعِف 4-إلى-1
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
القلّابات
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
العدّادات
n بتّات: 2ⁿ حالة؛ mod-N: أصغر n يحقق 2ⁿ ≥ N؛ fout = fclk/N
العدّاد المتموّج
fmax = 1/(n·tpd)
العدّادان الحلقي وجونسون
n و 2n حالة

الطريقة

  1. لدارة ما، اعمل من المداخل إلى المخرج بوابةً بوابةً واكتب القيمة على كل سلك، أو اكتب تعبيرها واملأ جدول الصدق.
  2. للتبسيط ضع الآحاد (وحالات عدم الاكتراث على شكل X) في خريطة كارنو بصفوف وأعمدة بشيفرة غراي: 00, 01, 11, 10.
  3. غطِّ الآحاد بأقل عدد ممكن وأكبر حجم ممكن من المجموعات ذات 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، مع الالتفاف حول الحواف؛ كل مجموعة حد جداء واحد من المتغيرات التي تبقى ثابتة. جمّع الأصفار للصيغة POS.
  4. للقلّابات والعدّادات اقرأ المداخل عند كل حافة ساعة فعالة، واكتب الحالة بعد كل حافة، وتذكّر أن عدّادًا ذا n بتّات يلتف بعد 2ⁿ حالة.

نظرية الأعداد والحساب المودولي

القسمة مع الباقي
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
إقليدس
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
المضاعف المشترك الأصغر
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
المعكوس
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
التطابق الخطي
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
دالة أويلر φ
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
فيرما
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

الطريقة

  1. اختزل كل عدد بالنسبة إلى n أولًا؛ البواقي تقع بين 0 و n − 1.
  2. للقاسم المشترك الأكبر، اقسم مرارًا بخوارزمية إقليدس؛ آخر باقٍ غير صفري هو القاسم المشترك الأكبر.
  3. للمعكوس، نفّذ الخوارزمية الموسّعة واحتفظ بمعامل a؛ أضف n إذا كان سالبًا.
  4. حلّ a·x ≡ b بالضرب في a⁻¹؛ ولدمج تطابقين اكتب x = r₁ + m₁k.
  5. للقوى اكتب الأس بالنظام الثنائي وربّع مرارًا؛ وفي RSA، d = e⁻¹ mod φ(n) مع φ(n) = (p − 1)(q − 1).

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

تقسيم شبكات IPv4

المضيفون في كل شبكة فرعية
2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
حجم الكتلة
256 − (mask octet)
عنوان الشبكة
IP AND القناع
عنوان البث
IP OR (NOT mask): كل بتات المضيف = 1
الشبكات الفرعية من n بتات مستعارة
2n

2مسائل تدريبية

1.أنظمة العدمتوسطة
المتمم الثنائي ذو 8 بتات0−12806403201608040201

اضبط البتات بحيث تخزن −108 في المتمم الثنائي بـ 8 بتات. إذا قُرئ كعدد بدون إشارة، فما قيمة النمط U؟

N = −1088 bit
U =
2.أنظمة العدصعبة
10 بت، بدون إشارة, N = ???????????

ما أكبر عدد صحيح بلا إشارة N يتسع في 10 بتة؟

10 bit
N =
3.المنطق القضوي والبراهينمتوسطة
حشوتناقضممكنة

هل (q → r) ∧ (q ∧ ¬r) حشو أم تناقض أم ممكنة؟ انقر على إجابتك.

(q → r) ∧ (q ∧ ¬r)
  1. 1حشو
  2. 2تناقض
  3. 3ممكنة
4.المنطق القضوي والبراهينصعبة
abca → (c ∨ b)ac111110101100011010001000

الحجة ذات المقدمات a → (c ∨ b); a والاستنتاج c غير صحيحة. انقر على صف جدول الصدق الذي يمثل مثالًا مضادًا.

a → (c ∨ b)a∴ c
  1. 1a = 1, b = 1, c = 1
  2. 2a = 1, b = 1, c = 0
  3. 3a = 1, b = 0, c = 1
  4. 4a = 1, b = 0, c = 0
  5. 5a = 0, b = 1, c = 1
  6. 6a = 0, b = 1, c = 0
  7. 7a = 0, b = 0, c = 1
  8. 8a = 0, b = 0, c = 0
5.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتمتوسطة
ABCD000111100001111011111111

في خريطة كارنو هذه يوجد 1 واحد بالضبط لا جار 1 له، فيبقى مجموعة من خلية واحدة (حد أصغري كامل من أربعة حروف) في الصيغة الدنيا SOP. الجيران عبر حواف الخريطة تُحسب. انقر على تلك الخلية.

F = Σm(2, 5, 8, 9, 10, 12, 14, 15)
  1. 1AB = 00, CD = 00
  2. 2AB = 00, CD = 01
  3. 3AB = 00, CD = 11
  4. 4AB = 00, CD = 10
  5. 5AB = 01, CD = 00
  6. 6AB = 01, CD = 01
  7. 7AB = 01, CD = 11
  8. 8AB = 01, CD = 10
  9. 9AB = 11, CD = 00
  10. 10AB = 11, CD = 01
  11. 11AB = 11, CD = 11
  12. 12AB = 11, CD = 10
  13. 13AB = 10, CD = 00
  14. 14AB = 10, CD = 01
  15. 15AB = 10, CD = 11
  16. 16AB = 10, CD = 10
6.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتصعبة
ABCD00011110000111101011X302040517X6X12013115114X809011110

جد الصيغة الدنيا SOP للدالة F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 7, 10, 14, 15) + d(3, 6, 8, 12)، حيث تشير d إلى حالات عدم الاكتراث. كم حرفًا L تحتوي؟

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 7, 10, 14, 15) + d(3, 6, 8, 12)
L =
7.نظرية الأعداد والحساب المودوليمتوسطة

جد معكوس 11 بالنسبة إلى 25: العدد x مع 0 < x < 25 و 11·x ≡ 1 (mod 25).

a = 11n = 25
11−1 mod 25 =
8.نظرية الأعداد والحساب المودوليصعبة

97 عدد أولي. استخدم مبرهنة فيرما الصغرى لإيجاد 2116121 mod 97.

p = 97k = 16121
2116121 mod 97 =
9.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

في مسألة اختيار الأنشطة، أي قاعدة جشعة تعطي دائمًا أكبر عدد من الأنشطة غير المتداخلة؟

  1. Aاختر أقصر نشاط أولًا
  2. Bاختر النشاط الذي يبدأ أبكر
  3. Cاختر النشاط الأقل تداخلًا أولًا، ثم كرّر مع الأنشطة المتوافقة
  4. Dاختر النشاط الذي ينتهي أبكر، ثم كرّر مع الأنشطة المتوافقة
10.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أي تعريف للفئة NP صحيح؟

  1. Aالمسائل التي لا يمكن حلها في زمن كثير حدود
  2. Bالمسائل التي لا تستطيع أي خوارزمية حلها
  3. Cالمسائل غير كثيرة الحدود
  4. Dمسائل القرار التي يمكن التحقق من إجاباتها بـ "نعم" في زمن كثير حدود عند إعطاء شهادة
11.هياكل البياناتمتوسطة

كم عقدة لشجرة ثنائية كاملة (perfect) ارتفاعها h، مع عدّ الارتفاع بالحواف؟

  1. A2h + 1
  2. B2h+1 − 1
  3. Ch2
  4. D2h
12.هياكل البياناتصعبة

عقدة في شجرة AVL غير متوازنة لأن الشجرة الفرعية اليمنى لابنها الأيسر صارت أطول من اللازم (حالة يسار-يمين). أي إصلاح يُطبَّق؟

  1. Aدوران إلى اليسار عند الابن الأيسر، ثم دوران إلى اليمين عند العقدة
  2. Bدوران واحد إلى اليمين عند العقدة
  3. Cدوران إلى اليمين عند الابن الأيسر، ثم دوران إلى اليسار عند العقدة
  4. Dدوران واحد إلى اليسار عند العقدة
13.نظرية البياناتمتوسطة

لشجرة 3 رؤوس من الدرجة 3, 4 رؤوس من الدرجة 4, 2 رؤوس من الدرجة 5, 4 رؤوس من الدرجة 2، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟

3 × deg 34 × deg 42 × deg 54 × deg 2
L =
14.نظرية البياناتصعبة
19911161114ABCDEF

تعمل خوارزمية ديكسترا انطلاقًا من A. انقر على الرأس الذي يُثبَّت (يصبح دائمًا) في الجولة 5؛ A نفسه هو الجولة 1.

البداية: Aالجولة 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
15.قواعد البيانات و SQLمتوسطة

يمكن للطلاب أخذ مقررات كثيرة وللمقررات طلاب كثيرون. كيف يُنمذج ذلك في الجداول؟

  1. Aبجدول وسيط يحمل مفاتيح أجنبية إلى الطلاب والمقررات معًا
  2. Bبعمود مفتاح أجنبي course_id في جدول الطلاب يشير إلى المقررات
  3. Cبدمج الطلاب والمقررات في جدول واحد
  4. Dبقائمة من معرّفات المقررات مخزنة في عمود واحد
16.قواعد البيانات و SQLصعبة

الدرجات هي 90 و90 و80. أي قيم يعطي RANK() OVER (ORDER BY score DESC)؟

  1. A1, 1, 2
  2. B1, 1, 3
  3. C2, 2, 3
  4. D1, 2, 3
17.شبكات الحاسوبمتوسطة

لماذا يرسل المبدّل أحيانًا إطارًا عبر جميع المنافذ باستثناء المنفذ الذي جاء منه؟

  1. Aلأن المبدّل يعمل عمل الموجّه
  2. Bلأن الإطار يحمل مجموع تحقق IP خاطئًا ويجب أن يفحصه كل مضيف
  3. Cلأن عنوان MAC للوجهة ليس في جدول عناوينه بعد
  4. Dلأن الإطار أكبر من أن يمر عبر منفذ واحد
18.شبكات الحاسوبصعبة

وفق نظرية شانون، ما سعة قناة عرضها 1 MHz ونسبة الإشارة إلى الضوضاء فيها 255؟

  1. A2 Mbit/s
  2. B1 Mbit/s
  3. C255 Mbit/s
  4. D8 Mbit/s
19.تقسيم شبكات IPv4متوسطة
/24 → /2911111111111111111111111111111000بتات الشبكةبتات المضيف

يجب تقسيم الشبكة 192.168.10.0/24 إلى 30 شبكات فرعية متساوية على الأقل. إذا استعرت أقل عدد ممكن من البتات، فكم مضيفًا قابلًا للاستخدام H في كل شبكة فرعية؟

192.168.10.0/2430 subnets
H =
20.تقسيم شبكات IPv4صعبة

تُقسَّم الشبكة 192.168.4.0/24 بتقنية VLSM لهذه الشبكات المحلية: A: 10 مضيفون, B: 35 مضيفون, C: 21 مضيفون, D: 18 مضيفون, E: 6 مضيفون. تُخصَّص الشبكات الفرعية من .0 صعودًا، بدءًا بالشبكة المحلية ذات أكبر عدد من المضيفين، لكلٍّ منها أصغر شبكة فرعية تكفيها. ما الثُمانية الرابعة x من عنوان شبكة LAN A؟

A: 10B: 35C: 21D: 18E: 6
x =

3المحاليل

1.أنظمة العد

الإجابة: U = 148

ضبط البتات: قيمة كل بت قوة للعدد اثنين (128 و64 … و1). الرقم السداسي عشري الواحد يساوي أربع بتات تمامًا، وفي المتمم الثنائي بـ 8 بتات تساوي قيمة البت الأيسر −128. وتعمل العمليات على مستوى البت على كل موضع بت على حدة.

اقلب وأضف واحدًا

108 = 0110 1100
مقلوب: 1001 0011
+1 → 1001 0100

اقرأه بلا إشارة

1001 0100₂ = 256 − 108 = 148

الإجابة

U = 148
2.أنظمة العد

الإجابة: N = 1023

أنظمة العد الموضعية: قيمة كل رقم هي قيمته مضروبة في قوة من قوى الأساس. في النظام الثنائي تساوي المواضع 1، 2، 4، 8، 16، …؛ وفي السداسي عشري 1، 16، 256، …، حيث تمثل A–F القيم 10–15. في المتمم الثنائي ذي 8 بتات تساوي البتة اليسرى −128 بدلًا من +128، وهكذا تُخزَّن الأعداد السالبة.

أكبر قيمة

210 − 1 = 1023

الإجابة

N = 1023
3.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: تناقض

التكافؤ المنطقي: تتكافأ صيغتان (≡) عندما يكون لهما القيمة نفسها في كل صف من جدول الصدق. الحشو يساوي 1 في كل صف، والتناقض يساوي 0 في كل صف، والممكن ليس هذا ولا ذاك. قوانين مفيدة: دي مورغان، ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b و ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b؛ و a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (العكس النقيض)؛ و ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b؛ وقوانين التوزيع، a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

جدول الصدق صفًا صفًا

q = 1, r = 1: q → r = 1, ¬r = 0, q ∧ ¬r = 0, (q → r) ∧ (q ∧ ¬r) = 0
q = 1, r = 0: q → r = 0, ¬r = 1, q ∧ ¬r = 1, (q → r) ∧ (q ∧ ¬r) = 0
q = 0, r = 1: q → r = 1, ¬r = 0, q ∧ ¬r = 0, (q → r) ∧ (q ∧ ¬r) = 0
q = 0, r = 0: q → r = 1, ¬r = 1, q ∧ ¬r = 0, (q → r) ∧ (q ∧ ¬r) = 0

صنّف

(q → r) ∧ (q ∧ ¬r): 0, 0, 0, 0
0 في كل صف: تناقض.

الإجابة

تناقض
4.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: a = 1, b = 1, c = 0

الكمّمات والحجج: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) و ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). انقل النفي إلى الداخل، وبدّل كل كمّم يمرّ به، وانفِ الصيغة الداخلية بقوانين المنطق القضوي، مثل ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. تكون الحجة صحيحة عندما يكون الاستنتاج 1 في كل صف تكون فيه كل المقدمات 1. صف واحد بمقدمات صائبة واستنتاج خاطئ هو مثال مضاد ويبيّن أن الحجة غير صحيحة.

المقدمات والاستنتاج صفًا صفًا

a = 1, b = 1, c = 1: 1 1 | 1
a = 1, b = 1, c = 0: 1 1 | 0
a = 1, b = 0, c = 1: 1 1 | 1
a = 1, b = 0, c = 0: 0 1 | 0
a = 0, b = 1, c = 1: 1 0 | 1
a = 0, b = 1, c = 0: 1 0 | 0
a = 0, b = 0, c = 1: 1 0 | 1
a = 0, b = 0, c = 0: 1 0 | 0

مثال مضاد

a = 1, b = 1, c = 0

الإجابة

a = 1, b = 1, c = 0

حجة بهذه الصيغة تبدو قاعدة صحيحة، لكن صفًا واحدًا يكفي لإثبات أنها ليست كذلك.

5.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: AB = 01, CD = 01

خرائط كارنو: ترتَّب الخلايا بشيفرة غراي (00, 01, 11, 10)، فتختلف الخلايا المتجاورة، بما فيها تلك التي عبر الحواف، في متغير واحد بالضبط. جمّع الآحاد في مستطيلات من 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، بأكبر حجم وأقل عدد ممكنين، حتى يُغطى كل 1. كل مجموعة حد جداء واحد: المتغيرات التي تبقى ثابتة داخلها. المجموعة من 2ᵏ خلية تفقد k متغيرًا. يجوز استخدام حالات عدم الاكتراث (X) لتكبير المجموعات لكن لا يجب تغطيتها أبدًا. أما تجميع الأصفار فيعطي الصيغة الدنيا POS.

جيران كل 1

يمكن لـ 1 له جار 1 أن ينضم إلى مجموعة من اثنين أو أكثر.

m5: m4, m7, m1, m13 → 0
ABCD000111100001111011111111

الـ 1 المعزول

m5 = A′BC′D → AB = 01, CD = 01

الإجابة

AB = 01, CD = 01
6.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: L = 7

خرائط كارنو: ترتَّب الخلايا بشيفرة غراي (00, 01, 11, 10)، فتختلف الخلايا المتجاورة، بما فيها تلك التي عبر الحواف، في متغير واحد بالضبط. جمّع الآحاد في مستطيلات من 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، بأكبر حجم وأقل عدد ممكنين، حتى يُغطى كل 1. كل مجموعة حد جداء واحد: المتغيرات التي تبقى ثابتة داخلها. المجموعة من 2ᵏ خلية تفقد k متغيرًا. يجوز استخدام حالات عدم الاكتراث (X) لتكبير المجموعات لكن لا يجب تغطيتها أبدًا. أما تجميع الأصفار فيعطي الصيغة الدنيا POS.

المضمّنات الأولية

أكبر المجموعات التي يمكن تكوينها من الآحاد و X.

BC, B′C′D′, AD′, A′CD, A′B′D, A′B′C′
ABCD00011110000111101011X302040517X6X12013115114X809011110

التغطية الدنيا

F = BC + AD′ + A′B′C′
L = 7

الإجابة

L = 7
7.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: 11−1 mod 25 = 16

المعكوسات والتطابقات: للعدد a معكوس بالنسبة إلى n بالضبط عندما gcd(a, n) = 1. تكتب خوارزمية إقليدس الموسّعة 1 = s·n + t·a، ثم a⁻¹ ≡ t (mod n). التطابق a·x ≡ b (mod n) مع gcd(a, n) = 1 حلّه x ≡ a⁻¹·b. لتطابقين x ≡ r₁ (mod m₁) و x ≡ r₂ (mod m₂) بمقياسين أوليين فيما بينهما حل واحد بالنسبة إلى m₁·m₂ (مبرهنة الباقي الصينية). تعدّ φ(n) لأويلر الأعداد من 1 إلى n التي أولية مع n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

خوارزمية إقليدس الموسّعة

يُكتب كل باقٍ r بالشكل r ≡ t·11 (mod 25).

r = 25, t = 0
r = 11, q = 2, t = 1
r = 3, q = 3, t = −2
r = 2, q = 1, t = 7
r = 1, q = 2, t = −9

المعكوس

1 ≡ −9·11 (mod 25)
x = 16
تحقّق: 11·16 = 176 = 7·25 + 1

الإجابة

11−1 mod 25 = 16
8.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: 2116121 mod 97 = 68

القوى المودولية وRSA: احسب aᵏ mod n بالتربيع المتكرر: اكتب k بالنظام الثنائي، وربّع، واختزل بعد كل خطوة، واضرب القوى التي بتّها 1. فيرما: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) لعدد أولي p لا يقسم a، فيمكن اختزال الأس بالنسبة إلى p − 1. RSA: اختر عددين أوليين p و q، و n = p·q و φ(n) = (p − 1)(q − 1)؛ الأس العام e أولي مع φ(n)، والأس الخاص d = e⁻¹ mod φ(n). شفّر بـ c = mᵉ mod n وفكّ التشفير بـ m = cᵈ mod n.

اختزل الأس

16121 mod 96 = 89
2116121 ≡ 2189 (mod 97)

القوة الصغيرة

2189 mod 97 = 68

الإجابة

2116121 mod 97 = 68
9.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · اختر النشاط الذي ينتهي أبكر، ثم كرّر مع الأنشطة المتوافقة

لماذا هذه هي الإجابة

يمكن إثبات أمثلية اختيار أبكر وقت انتهاء بحجة التبديل، أما القواعد الأخرى فلها أمثلة مضادة.

الإجابة

D · اختر النشاط الذي ينتهي أبكر، ثم كرّر مع الأنشطة المتوافقة
10.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · مسائل القرار التي يمكن التحقق من إجاباتها بـ "نعم" في زمن كثير حدود عند إعطاء شهادة

لماذا هذه هي الإجابة

في مسألة NP يمكن التحقق بسرعة من حل مقترح (شهادة)، مثل التحقق من أن تعيينًا معطى يحقق صيغة بوليانية.

الإجابة

D · مسائل القرار التي يمكن التحقق من إجاباتها بـ "نعم" في زمن كثير حدود عند إعطاء شهادة
11.هياكل البيانات

الإجابة: B · 2h+1 − 1

لماذا هذه هي الإجابة

جمع 1 + 2 + 4 + ... + 2h يعطي 2h+1 − 1، فمثلًا الارتفاع 2 يعطي 7 عقد.

الإجابة

B · 2h+1 − 1
12.هياكل البيانات

الإجابة: A · دوران إلى اليسار عند الابن الأيسر، ثم دوران إلى اليمين عند العقدة

لماذا هذه هي الإجابة

يحوّل الدوران الأول حالة يسار-يمين إلى حالة يسار-يسار، ثم يصلحها دوران إلى اليمين عند العقدة غير المتوازنة.

الإجابة

A · دوران إلى اليسار عند الابن الأيسر، ثم دوران إلى اليمين عند العقدة
13.نظرية البيانات

الإجابة: L = 19

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

مبرهنة المصافحة لشجرة

L + 43 = 2(L + 13) − 2
L = 19

الإجابة

L = 19

اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.

14.نظرية البيانات

الإجابة: E

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

1. A (0): B: 1, C: 9
2. B (1): D: 12, E: 15
3. C (9)
4. D (12): E: 13, F: 18
5. E (13)
6. F (18)

الجولة 5

E

الإجابة

E
15.قواعد البيانات و SQL

الإجابة: A · بجدول وسيط يحمل مفاتيح أجنبية إلى الطلاب والمقررات معًا

لماذا هذه هي الإجابة

تحتاج علاقة متعدد إلى متعدد إلى جدول ربط (وسيط)، مثل enrolment(student_id, course_id)، وكثيرًا ما يكون له مفتاح أساسي مركّب.

الإجابة

A · بجدول وسيط يحمل مفاتيح أجنبية إلى الطلاب والمقررات معًا
16.قواعد البيانات و SQL

الإجابة: B · 1, 1, 3

لماذا هذه هي الإجابة

تعطي RANK الصفوف المتعادلة الرتبة نفسها وتتخطى الأرقام التالية (1, 1, 3)؛ أما DENSE_RANK فتعطي 1, 1, 2.

الإجابة

B · 1, 1, 3
17.شبكات الحاسوب

الإجابة: C · لأن عنوان MAC للوجهة ليس في جدول عناوينه بعد

لماذا هذه هي الإجابة

في حالة عنوان أحادي البث غير معروف يُغرق المبدّل جميع المنافذ بالإطار. وعندما ترد الوجهة يتعلم المبدّل منفذها من عنوان MAC للمصدر.

الإجابة

C · لأن عنوان MAC للوجهة ليس في جدول عناوينه بعد
18.شبكات الحاسوب

الإجابة: D · 8 Mbit/s

لماذا هذه هي الإجابة

C = 10⁶ × log₂(256) = 10⁶ × 8 = 8 Mbit/s. وهذا هو الحد الأعلى لمعدل البيانات الخالي من الأخطاء على قناة فيها ضوضاء.

الإجابة

D · 8 Mbit/s
19.تقسيم شبكات IPv4

الإجابة: H = 6

تقسيم شبكات IPv4: يتكون العنوان من 32 بتة. تحدد البادئة /p عدد البتات الأولى التي تعرّف الشبكة؛ وتُرقّم البتات المتبقية 32 − p المضيفين. تحتوي الشبكة الفرعية على 2³²⁻ᵖ عنوانًا، لكن الأول (عنوان الشبكة) والأخير (عنوان البث) لا يُعطيان للمضيفين، فيتسع 2³²⁻ᵖ − 2 مضيفًا. الاستثناءات: الشبكة /31 (وصلة من نقطة إلى نقطة، RFC 3021) تستخدم كلا عنوانَيها الـ 2 للمضيفين، والشبكة /32 عنوان واحد فقط (مضيف واحد أو عنوان loopback).

البتات المستعارة

25 = 32 ≥ 30 → b = 5, /29

المضيفون في كل شبكة فرعية

23 − 2 = 6

الإجابة

H = 6
20.تقسيم شبكات IPv4

الإجابة: x = 128

VLSM: تحصل كل شبكة محلية على أصغر شبكة فرعية تحقّق 2ʰ − 2 ≥ عدد مضيفيها، أي البادئة 32 − h. تخصيص الشبكات الفرعية الأكبر أولًا يُبقي كل كتلة محاذية لمضاعف حجمها، لذا تُستنتج عناوين الشبكات بجمع أحجام الكتل.

حجم الكتلة لكل شبكة محلية

B: 35 مضيفون → 26 = 64 (/26)
C: 21 مضيفون → 25 = 32 (/27)
D: 18 مضيفون → 25 = 32 (/27)
A: 10 مضيفون → 24 = 16 (/28)
E: 6 مضيفون → 23 = 8 (/29)

التخصيص، الأكبر أولًا

B: .0 – .63
C: .64 – .95
D: .96 – .127
A: .128 – .143
E: .144 – .151

الإجابة

x = 128

LAN A: 192.168.4.128/28.

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals