أساسيات علوم الحاسوب: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

أنظمة العد

القيم الموضعية: الثنائي 2^k، الثماني 8^k، الست عشري 16^k
إلى العشري: Σ d_k·b^k
من العشري: اقسم على الأساس، واقرأ البواقي من الأسفل إلى الأعلى
الست عشري ↔ الثنائي: رقم ست عشري واحد = 4 بتات
المتمم الثنائي: اعكس البتات وأضف 1

المنطق القضوي والبراهين

صفوف جدول الصدق: 2ⁿ
الاستلزام: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
نفي الاستلزام: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
الشرط الثنائي: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
دي مورغان: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
قوانين التوزيع: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
نفي الكمّمات: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
قاعدة الوضع (modus ponens) وقاعدة الرفع (modus tollens): p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

الطريقة

عُدّ المتغيرات المختلفة: لجدول الصدق 2ⁿ صفًا، ويبدأ بصف تكون فيه كلها 1.
أعطِ كل صيغة جزئية عمودها الخاص واملأ الأعمدة من الداخل إلى الخارج.
طبّق قاعدة كل رابط: → يساوي 0 فقط في الحالة 1 → 0، و ↔ يساوي 1 عندما يتفق الطرفان.
للتكافؤات قارن العمودين الأخيرين صفًا بصف؛ وللحجة انظر فقط إلى الصفوف التي تكون فيها كل المقدمات 1.
لنفي عبارة مكمَّمة، انقل ¬ إلى الداخل، وبدّل ∀ و ∃، وانفِ الصيغة الداخلية.

المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

البوابات الأساسية: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
القواعد البولية: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
دي مورغان: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ترتيب خريطة كارنو: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
مجموعة من 2ᵏ خلية: تفقد k متغيرًا
مضاعِف 4-إلى-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
القلّابات: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
العدّادات: n بتّات: 2ⁿ حالة؛ mod-N: أصغر n يحقق 2ⁿ ≥ N؛ f_out = f_clk/N
العدّاد المتموّج: f_max = 1/(n·t_pd)
العدّادان الحلقي وجونسون: n و 2n حالة

الطريقة

لدارة ما، اعمل من المداخل إلى المخرج بوابةً بوابةً واكتب القيمة على كل سلك، أو اكتب تعبيرها واملأ جدول الصدق.
للتبسيط ضع الآحاد (وحالات عدم الاكتراث على شكل X) في خريطة كارنو بصفوف وأعمدة بشيفرة غراي: 00, 01, 11, 10.
غطِّ الآحاد بأقل عدد ممكن وأكبر حجم ممكن من المجموعات ذات 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، مع الالتفاف حول الحواف؛ كل مجموعة حد جداء واحد من المتغيرات التي تبقى ثابتة. جمّع الأصفار للصيغة POS.
للقلّابات والعدّادات اقرأ المداخل عند كل حافة ساعة فعالة، واكتب الحالة بعد كل حافة، وتذكّر أن عدّادًا ذا n بتّات يلتف بعد 2ⁿ حالة.

نظرية الأعداد والحساب المودولي

القسمة مع الباقي: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
إقليدس: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
المضاعف المشترك الأصغر: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
المعكوس: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
التطابق الخطي: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
دالة أويلر φ: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
فيرما: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

الطريقة

اختزل كل عدد بالنسبة إلى n أولًا؛ البواقي تقع بين 0 و n − 1.
للقاسم المشترك الأكبر، اقسم مرارًا بخوارزمية إقليدس؛ آخر باقٍ غير صفري هو القاسم المشترك الأكبر.
للمعكوس، نفّذ الخوارزمية الموسّعة واحتفظ بمعامل a؛ أضف n إذا كان سالبًا.
حلّ a·x ≡ b بالضرب في a⁻¹؛ ولدمج تطابقين اكتب x = r₁ + m₁k.
للقوى اكتب الأس بالنظام الثنائي وربّع مرارًا؛ وفي RSA، d = e⁻¹ mod φ(n) مع φ(n) = (p − 1)(q − 1).

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة: Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
البيان المنتظم: |E| = n·k/2
الشجرة والغابة: |E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر: الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في K_n: (n − 1)!/2
تحديث ديكسترا: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L: (Mᴸ)_ij

الطريقة

اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

تقسيم شبكات IPv4

المضيفون في كل شبكة فرعية: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
حجم الكتلة: 256 − (mask octet)
عنوان الشبكة: IP AND القناع
عنوان البث: IP OR (NOT mask): كل بتات المضيف = 1
الشبكات الفرعية من n بتات مستعارة: 2ⁿ

2مسائل تدريبية

1.أنظمة العدمتوسطة

اضبط البتات بحيث تخزن −107 في المتمم الثنائي بـ 8 بتات. إذا قُرئ كعدد بدون إشارة، فما قيمة النمط U؟

N = −1078 bit

U =

2.أنظمة العدصعبة

يجب أن يعطي نظام كل واحد من 3226 عنصرًا رمزًا ثنائيًا خاصًا به بالطول نفسه. ما أقل عدد من البتات b يلزم؟

3226

b = bit

3.المنطق القضوي والبراهينمتوسطة

أي صيغة تكافئ (r ∧ q) → p منطقيًا؟ انقر عليها.

(r ∧ q) → p

1(r → q) → p
2r → (q → p)
3(r → p) ∧ (q → p)
4r ∧ (q → p)

4.المنطق القضوي والبراهينصعبة

أي عبارة تكافئ ¬∀x (F(x) → G(x)) مع نقل النفي إلى الداخل تمامًا؟ انقر عليها.

¬∀x (F(x) → G(x))

1∃x (F(x) ∧ ¬G(x))
2∃x (F(x) → ¬G(x))
3∀x (F(x) ∧ ¬G(x))
4∃x (¬F(x) ∧ G(x))

5.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتمتوسطة

لمضاعِف 4-إلى-1 مدخلا الاختيار S₁ = A و S₀ = B، ومداخل بياناته موصولة بـ I₀ = 1, I₁ = 0, I₂ = 1, I₃ = 0. في كم من تركيبات A و B و C الثماني يكون المخرج F = 1؟ جد N.

I₀ = 1I₁ = 0I₂ = 1I₃ = 0

N =

6.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتصعبة

جد الصيغة الدنيا SOP للدالة F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 4, 11) + d(10, 12)، حيث تشير d إلى حالات عدم الاكتراث. كم حرفًا L تحتوي؟

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 4, 11) + d(10, 12)

L =

7.نظرية الأعداد والحساب المودوليمتوسطة

جد معكوس 25 بالنسبة إلى 31: العدد x مع 0 < x < 31 و 25·x ≡ 1 (mod 31).

a = 25n = 31

25⁻¹ mod 31 =

8.نظرية الأعداد والحساب المودوليصعبة

حلّ 14x ≡ 24 (mod 58). أعطِ أصغر حل موجب x.

14x ≡ 24 (mod 58)

x =

9.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

يجد البحث بالعرض أولًا في رسم بياني غير موزون:

Aأقصر المسارات بعدد الأضلاع من عقدة البداية
Bالشجرة الممتدة الصغرى
Cترتيبًا طوبولوجيًا في جميع الرسوم البيانية
Dأقصر المسارات في رسوم بيانية تحتوي على أوزان سالبة للحواف

10.الخوارزميات والتعقيدصعبة

ما الكلفة الزمنية والمكانية لحساب عدد فيبوناتشي رقم n بحلقة لا تحتفظ إلا بآخر قيمتين؟

Aزمن O(2ⁿ) ومساحة O(1)
Bزمن O(log n) ومساحة O(n)
Cزمن O(n) ومساحة O(n)
Dزمن O(n) ومساحة O(1)

11.هياكل البياناتمتوسطة

ما بنية البيانات التي يستخدمها البحث بالعمق أولًا (DFS، النسخة التكرارية)؟

Aكومة
Bطابور
Cمكدس
Dجدول تجزئة فقط

12.هياكل البياناتصعبة

يجب أن تحتفظ بأصغر k قيمة من تدفق من n عددًا باستخدام ذاكرة O(k). أي طريقة تعمل في زمن O(n log k)؟

Aكومة صغرى تحمل القيم n كلها، تُستخرج منها أصغر k قيمة في النهاية
Bكومة عظمى حجمها k، يُستبدل جذرها حين تصل قيمة أصغر
Cطابور FIFO لآخر k قيمة
Dمصفوفة مرتبة لكل القيم n

13.نظرية البياناتمتوسطة

لشجرة 2 رؤوس من الدرجة 3, 4 رؤوس من الدرجة 4, 4 رؤوس من الدرجة 5, 4 رؤوس من الدرجة 2، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟

2 × deg 34 × deg 44 × deg 54 × deg 2

L =

14.نظرية البياناتصعبة

كم مسارًا مغلقًا (closed walk) بطول 2 يبدأ وينتهي عند E؟ يجوز للمسار تكرار الرؤوس والحواف. سمِّ العدد N.

M = مصفوفة التجاورL = 2

N =

15.قواعد البيانات و SQLمتوسطة

أي استعلام يسرد العملاء الذين لم يقدّموا أي طلب قط؟

ASELECT c.name FROM customers c INNER JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.id IS NULL
BSELECT c.name FROM customers c LEFT JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.id IS NULL
CSELECT c.name FROM customers c LEFT JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.id = NULL
DSELECT c.name FROM customers c LEFT JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.id IS NOT NULL

16.قواعد البيانات و SQLصعبة

لربط مساواة بين جدولين كبيرين دون فهارس مفيدة، أي خوارزمية ربط يختارها المُحسِّن غالبًا؟

Aالربط بالتجزئة (Hash join)
Bالربط التقاطعي
Cربط الحلقات المتداخلة مع البحث في الفهرس
Dربط الخرائط النقطية على المفتاح الأساسي

17.شبكات الحاسوبمتوسطة

في أي طبقة من طبقات OSI يعمل المبدّل (switch) عادةً؟

Aربط البيانات (الطبقة 2)
Bالمادية (الطبقة 1)
Cالشبكة (الطبقة 3)
Dالنقل (الطبقة 4)

18.شبكات الحاسوبصعبة

يهدف هجوم تسميم ذاكرة DNS المؤقتة (DNS cache poisoning) إلى:

Aجعل المحلِّل (resolver) يخزّن عنوان IP مزيفًا لنطاق ما
Bحذف خوادم DNS
Cإغراق خادم بالحركة حتى يتوقف عن الرد على الاستعلامات
Dسرقة كلمات مرور Wi-Fi

19.تقسيم شبكات IPv4متوسطة

يحتاج قسم إلى 1057 عنوان مضيف في شبكة فرعية واحدة. ما أطول بادئة p (أصغر شبكة فرعية) تكفي؟

1057 hosts

p =

20.تقسيم شبكات IPv4صعبة

عنوان مضيف هو 10.20.148.97/26. ما الثُمانية الرابعة x من عنوان شبكته؟

10.20.148.97/26

x =

3المحاليل

1.أنظمة العد

الإجابة: U = 149

ضبط البتات: قيمة كل بت قوة للعدد اثنين (128 و64 … و1). الرقم السداسي عشري الواحد يساوي أربع بتات تمامًا، وفي المتمم الثنائي بـ 8 بتات تساوي قيمة البت الأيسر −128. وتعمل العمليات على مستوى البت على كل موضع بت على حدة.

اقلب وأضف واحدًا

107 = 0110 1011

مقلوب: 1001 0100

+1 → 1001 0101

اقرأه بلا إشارة

1001 0101₂ = 256 − 107 = 149

الإجابة

U = 149

2.أنظمة العد

الإجابة: b = 12 bit

أنظمة العد الموضعية: قيمة كل رقم هي قيمته مضروبة في قوة من قوى الأساس. في النظام الثنائي تساوي المواضع 1، 2، 4، 8، 16، …؛ وفي السداسي عشري 1، 16، 256، …، حيث تمثل A–F القيم 10–15. في المتمم الثنائي ذي 8 بتات تساوي البتة اليسرى −128 بدلًا من +128، وهكذا تُخزَّن الأعداد السالبة.

قوى العدد 2

2¹¹ = 2048 < 3226

2¹² = 4096 ≥ 3226

الإجابة

b = 12

3.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: r → (q → p)

التكافؤ المنطقي: تتكافأ صيغتان (≡) عندما يكون لهما القيمة نفسها في كل صف من جدول الصدق. الحشو يساوي 1 في كل صف، والتناقض يساوي 0 في كل صف، والممكن ليس هذا ولا ذاك. قوانين مفيدة: دي مورغان، ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b و ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b؛ و a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (العكس النقيض)؛ و ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b؛ وقوانين التوزيع، a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

القانون

التصدير: (a ∧ b) → c ≡ a → (b → c). كلتاهما 0 فقط عندما a = 1 و b = 1 و c = 0.

(r ∧ q) → p ≡ r → (q → p)

تحقق بجدول الصدق

p = 1, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1

p = 1, q = 1, r = 0: 1 | 1 1 1 0

p = 1, q = 0, r = 1: 1 | 1 1 1 1

p = 1, q = 0, r = 0: 1 | 1 1 1 0

p = 0, q = 1, r = 1: 0 | 0 0 0 0

p = 0, q = 1, r = 0: 1 | 0 1 0 0

p = 0, q = 0, r = 1: 1 | 1 1 0 1

p = 0, q = 0, r = 0: 1 | 0 1 1 0

الإجابة

r → (q → p)

الأعمدة بعد الشريط هي الخيارات بالترتيب المعروض.

4.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: ∃x (F(x) ∧ ¬G(x))

الكمّمات والحجج: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) و ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). انقل النفي إلى الداخل، وبدّل كل كمّم يمرّ به، وانفِ الصيغة الداخلية بقوانين المنطق القضوي، مثل ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. تكون الحجة صحيحة عندما يكون الاستنتاج 1 في كل صف تكون فيه كل المقدمات 1. صف واحد بمقدمات صائبة واستنتاج خاطئ هو مثال مضاد ويبيّن أن الحجة غير صحيحة.

انقل النفي إلى الداخل

¬∀x (F(x) → G(x)) ≡ ∃x (F(x) ∧ ¬G(x))

الإجابة

∃x (F(x) ∧ ¬G(x))

الخيارات الأخرى إما تُبقي كمّمًا دون تغيير، أو تغيّر ترتيب الكمّمات، أو تنفي الصيغة الداخلية نفيًا خاطئًا.

5.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: N = 4

المضاعِف (MUX): يمرّر المضاعِف 2ⁿ-إلى-1 أحد مداخل البيانات إلى المخرج؛ وخطوط الاختيار، مقروءة كعدد ثنائي، تحدد أيّها. لمضاعِف 4-إلى-1 مع الاختيارين S₁S₀ = AB، F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃. وبوصل مداخل البيانات بـ 0 أو 1 أو C أو C′ ينتج المضاعِف أي دالة في A و B و C، وهي طريقة شائعة لبناء المنطق بشريحة واحدة.

تعبير الخرج

F = A′B′ + AB′

الصفوف التي F = 1 فيها

ABC = 000, 001, 100, 101

N = 4

الإجابة

N = 4

6.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: L = 9

خرائط كارنو: ترتَّب الخلايا بشيفرة غراي (00, 01, 11, 10)، فتختلف الخلايا المتجاورة، بما فيها تلك التي عبر الحواف، في متغير واحد بالضبط. جمّع الآحاد في مستطيلات من 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، بأكبر حجم وأقل عدد ممكنين، حتى يُغطى كل 1. كل مجموعة حد جداء واحد: المتغيرات التي تبقى ثابتة داخلها. المجموعة من 2ᵏ خلية تفقد k متغيرًا. يجوز استخدام حالات عدم الاكتراث (X) لتكبير المجموعات لكن لا يجب تغطيتها أبدًا. أما تجميع الأصفار فيعطي الصيغة الدنيا POS.

المضمّنات الأولية

أكبر المجموعات التي يمكن تكوينها من الآحاد و X.

BC′D′, A′C′D′, A′B′C′, AB′C

التغطية الدنيا

F = BC′D′ + A′B′C′ + AB′C

L = 9

الإجابة

L = 9

يوجد تجميع آخر بالحجم نفسه؛ وله عدد الحدود والحروف نفسه.

7.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: 25⁻¹ mod 31 = 5

المعكوسات والتطابقات: للعدد a معكوس بالنسبة إلى n بالضبط عندما gcd(a, n) = 1. تكتب خوارزمية إقليدس الموسّعة 1 = s·n + t·a، ثم a⁻¹ ≡ t (mod n). التطابق a·x ≡ b (mod n) مع gcd(a, n) = 1 حلّه x ≡ a⁻¹·b. لتطابقين x ≡ r₁ (mod m₁) و x ≡ r₂ (mod m₂) بمقياسين أوليين فيما بينهما حل واحد بالنسبة إلى m₁·m₂ (مبرهنة الباقي الصينية). تعدّ φ(n) لأويلر الأعداد من 1 إلى n التي أولية مع n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

خوارزمية إقليدس الموسّعة

يُكتب كل باقٍ r بالشكل r ≡ t·25 (mod 31).

r = 31, t = 0

r = 25, q = 1, t = 1

r = 6, q = 4, t = −1

r = 1, q = 6, t = 5

المعكوس

1 ≡ 5·25 (mod 31)

x = 5

تحقّق: 25·5 = 125 = 4·31 + 1

الإجابة

25⁻¹ mod 31 = 5

8.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: x = 10

اقسم على القاسم المشترك الأكبر

gcd(14, 58) = 2

7x ≡ 12 (mod 29)

حلّ التطابق المختزل

7⁻¹ ≡ 25 (mod 29) → x ≡ 10 (mod 29)

الحلول بالنسبة إلى 58

x ∈ {10, 39}

مبرهنة المصافحة لشجرة

L + 50 = 2(L + 14) − 2

L = 24

الإجابة

L = 24

اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.

14.نظرية البيانات

الإجابة: N = 3

الدرجات: درجة الرأس هي عدد الحواف التي تلتقي عنده. لكل حافة طرفان، فتساوي الدرجات مجتمعةً ضعف عدد الحواف: Σ deg(v) = 2|E| (مبرهنة المصافحة). وعدد الرؤوس ذات الدرجة الفردية زوجي إذن. للبيان K_n عدد n(n − 1)/2 حافة، وللبيان k-المنتظم على n رأسًا nk/2، وللشجرة على n رأسًا n − 1 حافة.

مصفوفة التجاور

A: 0 1 1 0 0

B: 1 0 0 1 1

A · جعل المحلِّل (resolver) يخزّن عنوان IP مزيفًا لنطاق ما

19.تقسيم شبكات IPv4

الإجابة: p = 21

تقسيم شبكات IPv4: يتكون العنوان من 32 بتة. تحدد البادئة /p عدد البتات الأولى التي تعرّف الشبكة؛ وتُرقّم البتات المتبقية 32 − p المضيفين. تحتوي الشبكة الفرعية على 2³²⁻ᵖ عنوانًا، لكن الأول (عنوان الشبكة) والأخير (عنوان البث) لا يُعطيان للمضيفين، فيتسع 2³²⁻ᵖ − 2 مضيفًا. الاستثناءات: الشبكة /31 (وصلة من نقطة إلى نقطة، RFC 3021) تستخدم كلا عنوانَيها الـ 2 للمضيفين، والشبكة /32 عنوان واحد فقط (مضيف واحد أو عنوان loopback).

بتات المضيف اللازمة

2¹⁰ − 2 = 1022 < 1057

2¹¹ − 2 = 2046 ≥ 1057 → h = 11

طول البادئة

p = 32 − 11 = 21

الإجابة

p = /21

20.تقسيم شبكات IPv4

الإجابة: x = 64

حجم الكتلة

2⁶ = 64

الشبكة الفرعية لهذا المضيف

الشبكة: ⌊97/64⌋·64 = 64

البث: 64 + 64 − 1 = 127

المضيفون القابلون للاستخدام: 65 … 126

الإجابة

x = 64

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals