أساسيات علوم الحاسوب: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

أنظمة العد

القيم الموضعية
الثنائي 2k، الثماني 8k، الست عشري 16k
إلى العشري
Σ dk·bk
من العشري
اقسم على الأساس، واقرأ البواقي من الأسفل إلى الأعلى
الست عشري ↔ الثنائي
رقم ست عشري واحد = 4 بتات
المتمم الثنائي
اعكس البتات وأضف 1

المنطق القضوي والبراهين

صفوف جدول الصدق
2ⁿ
الاستلزام
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
نفي الاستلزام
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
الشرط الثنائي
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
دي مورغان
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
قوانين التوزيع
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
نفي الكمّمات
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
قاعدة الوضع (modus ponens) وقاعدة الرفع (modus tollens)
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

الطريقة

  1. عُدّ المتغيرات المختلفة: لجدول الصدق 2ⁿ صفًا، ويبدأ بصف تكون فيه كلها 1.
  2. أعطِ كل صيغة جزئية عمودها الخاص واملأ الأعمدة من الداخل إلى الخارج.
  3. طبّق قاعدة كل رابط: → يساوي 0 فقط في الحالة 1 → 0، و ↔ يساوي 1 عندما يتفق الطرفان.
  4. للتكافؤات قارن العمودين الأخيرين صفًا بصف؛ وللحجة انظر فقط إلى الصفوف التي تكون فيها كل المقدمات 1.
  5. لنفي عبارة مكمَّمة، انقل ¬ إلى الداخل، وبدّل ∀ و ∃، وانفِ الصيغة الداخلية.

المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

البوابات الأساسية
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
القواعد البولية
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
دي مورغان
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ترتيب خريطة كارنو
00, 01, 11, 10 (Gray code)
مجموعة من 2ᵏ خلية
تفقد k متغيرًا
مضاعِف 4-إلى-1
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
القلّابات
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
العدّادات
n بتّات: 2ⁿ حالة؛ mod-N: أصغر n يحقق 2ⁿ ≥ N؛ fout = fclk/N
العدّاد المتموّج
fmax = 1/(n·tpd)
العدّادان الحلقي وجونسون
n و 2n حالة

الطريقة

  1. لدارة ما، اعمل من المداخل إلى المخرج بوابةً بوابةً واكتب القيمة على كل سلك، أو اكتب تعبيرها واملأ جدول الصدق.
  2. للتبسيط ضع الآحاد (وحالات عدم الاكتراث على شكل X) في خريطة كارنو بصفوف وأعمدة بشيفرة غراي: 00, 01, 11, 10.
  3. غطِّ الآحاد بأقل عدد ممكن وأكبر حجم ممكن من المجموعات ذات 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، مع الالتفاف حول الحواف؛ كل مجموعة حد جداء واحد من المتغيرات التي تبقى ثابتة. جمّع الأصفار للصيغة POS.
  4. للقلّابات والعدّادات اقرأ المداخل عند كل حافة ساعة فعالة، واكتب الحالة بعد كل حافة، وتذكّر أن عدّادًا ذا n بتّات يلتف بعد 2ⁿ حالة.

نظرية الأعداد والحساب المودولي

القسمة مع الباقي
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
إقليدس
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
المضاعف المشترك الأصغر
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
المعكوس
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
التطابق الخطي
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
دالة أويلر φ
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
فيرما
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

الطريقة

  1. اختزل كل عدد بالنسبة إلى n أولًا؛ البواقي تقع بين 0 و n − 1.
  2. للقاسم المشترك الأكبر، اقسم مرارًا بخوارزمية إقليدس؛ آخر باقٍ غير صفري هو القاسم المشترك الأكبر.
  3. للمعكوس، نفّذ الخوارزمية الموسّعة واحتفظ بمعامل a؛ أضف n إذا كان سالبًا.
  4. حلّ a·x ≡ b بالضرب في a⁻¹؛ ولدمج تطابقين اكتب x = r₁ + m₁k.
  5. للقوى اكتب الأس بالنظام الثنائي وربّع مرارًا؛ وفي RSA، d = e⁻¹ mod φ(n) مع φ(n) = (p − 1)(q − 1).

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

تقسيم شبكات IPv4

المضيفون في كل شبكة فرعية
2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
حجم الكتلة
256 − (mask octet)
عنوان الشبكة
IP AND القناع
عنوان البث
IP OR (NOT mask): كل بتات المضيف = 1
الشبكات الفرعية من n بتات مستعارة
2n

2مسائل تدريبية

1.أنظمة العدمتوسطة
القيم الموضعية في المتمم الثنائي1−12816413211618141201

النمط ذو 8 بتات 1111 1110 يخزّن عددًا صحيحًا بإشارة بصيغة المتمم الثنائي. ما قيمته N في النظام العشري؟

1111 11108 bit
N =
2.أنظمة العدصعبة
انقر على البتات لضبطها012806403201608040201

اضبط البتات على الناتج بـ 8 بتات لـ 0111 0100 << 2. ما قيمة الناتج R بالعشري؟

0111 0100<< 2
R =
3.المنطق القضوي والبراهينمتوسطة
(c ∨ a) → ¬b¬b ∧ ¬(c ∨ a)¬(c ∨ a) → ¬¬b¬¬b → ¬(c ∨ a)

تريد إثبات ¬b → (c ∨ a) بالعكس النقيض. أي استلزام تبرهن بدلًا منه؟ انقر عليه.

¬b → (c ∨ a)
  1. 1(c ∨ a) → ¬b
  2. 2¬b ∧ ¬(c ∨ a)
  3. 3¬(c ∨ a) → ¬¬b
  4. 4¬¬b → ¬(c ∨ a)
4.المنطق القضوي والبراهينصعبة
pqrp → rq → rp → q111110101100011010001000

الحجة ذات المقدمات p → r; q → r والاستنتاج p → q غير صحيحة. انقر على صف جدول الصدق الذي يمثل مثالًا مضادًا.

p → rq → r∴ p → q
  1. 1p = 1, q = 1, r = 1
  2. 2p = 1, q = 1, r = 0
  3. 3p = 1, q = 0, r = 1
  4. 4p = 1, q = 0, r = 0
  5. 5p = 0, q = 1, r = 1
  6. 6p = 0, q = 1, r = 0
  7. 7p = 0, q = 0, r = 1
  8. 8p = 0, q = 0, r = 0
5.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتمتوسطة
ABCD000111100001111011111111

في خريطة كارنو هذه يوجد 1 واحد بالضبط لا جار 1 له، فيبقى مجموعة من خلية واحدة (حد أصغري كامل من أربعة حروف) في الصيغة الدنيا SOP. الجيران عبر حواف الخريطة تُحسب. انقر على تلك الخلية.

F = Σm(0, 1, 3, 7, 9, 11, 13, 14)
  1. 1AB = 00, CD = 00
  2. 2AB = 00, CD = 01
  3. 3AB = 00, CD = 11
  4. 4AB = 00, CD = 10
  5. 5AB = 01, CD = 00
  6. 6AB = 01, CD = 01
  7. 7AB = 01, CD = 11
  8. 8AB = 01, CD = 10
  9. 9AB = 11, CD = 00
  10. 10AB = 11, CD = 01
  11. 11AB = 11, CD = 11
  12. 12AB = 11, CD = 10
  13. 13AB = 10, CD = 00
  14. 14AB = 10, CD = 01
  15. 15AB = 10, CD = 11
  16. 16AB = 10, CD = 10
6.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتصعبة
ABCD0001111000011110X0011302X4151716X121130151141819011010

جد الصيغة الدنيا SOP للدالة F(A, B, C, D) = Σm(3, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 14) + d(0, 4, 12)، حيث تشير d إلى حالات عدم الاكتراث. كم حد جداء N فيها؟

F(A, B, C, D) = Σm(3, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 14) + d(0, 4, 12)
N =
7.نظرية الأعداد والحساب المودوليمتوسطة

جد أصغر عدد صحيح موجب x مع x ≡ 1 (mod 3) و x ≡ 0 (mod 7).

x ≡ 1 (mod 3)x ≡ 0 (mod 7)
x =
8.نظرية الأعداد والحساب المودوليصعبة

كم حلًّا N للتطابق 8x ≡ 12 (mod 44) في {0, 1, …, 43}؟

8x ≡ 12 (mod 44)
N =
9.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما زمن تنفيذ الفرز الجذري LSD على n عددًا صحيحًا من d خانة في الأساس k؟

  1. AO(n²)
  2. BO(d(n + k))
  3. CO(dn log k)
  4. DO(n log n)
10.الخوارزميات والتعقيدصعبة

ماذا أثبتت مبرهنة Cook–Levin؟

  1. Aأن P لا تساوي NP
  2. Bأن مسألة الإرضاء البولياني (SAT) هي NP-تامة
  3. Cأن كل مسألة NP يمكن حلها في زمن أسّي
  4. Dأن مسألة التوقف غير قابلة للحسم
11.هياكل البياناتمتوسطة

كيف يُدرج عنصر جديد في كومة ثنائية؟

  1. Aيوضع في الجذر ويُنزل (sift down)
  2. Bيُدرج في موضعه المرتب بإزاحة كل العناصر الأكبر منه موضعًا واحدًا إلى اليمين
  3. Cيوضع في نهاية المصفوفة ويُرفع (sift up) ما دام يخالف خاصية الكومة
  4. Dيُعاد بناء الكومة كلها من البداية
12.هياكل البياناتصعبة

ما التكلفة المستهلكة (amortised) لكل عملية في بنية union-find (المجموعات المنفصلة) مع الدمج حسب الرتبة وضغط المسار؟

  1. AO(α(n))، أي دالة أكرمان العكسية، وهي ثابتة عمليًا
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n) بالضبط
13.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
14.نظرية البياناتصعبة
3621315917ABCDE

جد الوزن الكلي W لشجرة ممتدة دنيا في البيان الموزون.

|V| = 5|E| = 7
W =
15.قواعد البيانات و SQLمتوسطة

ماذا يُرجع SELECT name, CASE WHEN grade >= 5,5 THEN 'pass' ELSE 'fail' END FROM results؟

  1. Aخطأ لأن CASE غير مسموح بها في SELECT
  2. Bكل اسم مع التسمية 'pass' أو 'fail' بحسب الدرجة
  3. Cعدد الطلاب الناجحين والراسبين
  4. Dالطلاب الناجحين فقط
16.قواعد البيانات و SQLصعبة

لماذا يُعد NATURAL JOIN محفوفًا بالمخاطر في استعلامات بيئة الإنتاج؟

  1. Aلأنه يربط على كل عمود يحمل الاسم نفسه، فقد يغيّر عمود جديد النتيجة بصمت
  2. Bلأنه غير مدعوم في أي قاعدة بيانات
  3. Cلأنه يُرجع دائمًا ضربًا ديكارتيًا
  4. Dلأنه يتجاهل المفاتيح الأساسية والأجنبية ولا يُبقي إلا صفوف NULL
17.شبكات الحاسوبمتوسطة

ما الترتيب المعتاد للرسائل عندما يحصل عميل على عنوان من DHCP؟

  1. AOffer، Discover، Acknowledge، Request
  2. BRequest، Offer، Discover، Acknowledge
  3. CDiscover، Offer، Request، Acknowledge
  4. DDiscover، Request، Offer، Acknowledge
18.شبكات الحاسوبصعبة

لاتصال TCP نافذة 64 KB وزمن ذهاب وإياب 100 ms، دون تحجيم للنافذة. ما الإنتاجية القصوى التقريبية؟

  1. Aنحو 5 Mbit/s
  2. Bنحو 0,5 Mbit/s
  3. Cنحو 640 Mbit/s
  4. Dنحو 50 Mbit/s
19.تقسيم شبكات IPv4متوسطة
255.255.252.011111111111111111111110000000000بتات الشبكةبتات المضيف

تستخدم شبكة فرعية القناع 255.255.252.0. كم عنوان مضيف قابلًا للاستخدام H فيها؟

255.255.252.0
H =
20.تقسيم شبكات IPv4صعبة

تُقسَّم الشبكة 192.168.45.0/24 بتقنية VLSM لهذه الشبكات المحلية: A: 21 مضيفون, B: 7 مضيفون, C: 4 مضيفون, D: 20 مضيفون, E: 3 مضيفون. تُخصَّص الشبكات الفرعية من .0 صعودًا، بدءًا بالشبكة المحلية ذات أكبر عدد من المضيفين، لكلٍّ منها أصغر شبكة فرعية تكفيها. ما الثُمانية الرابعة x من عنوان شبكة LAN B؟

A: 21B: 7C: 4D: 20E: 3
x =

3المحاليل

1.أنظمة العد

الإجابة: N = −2

أنظمة العد الموضعية: قيمة كل رقم هي قيمته مضروبة في قوة من قوى الأساس. في النظام الثنائي تساوي المواضع 1، 2، 4، 8، 16، …؛ وفي السداسي عشري 1، 16، 256، …، حيث تمثل A–F القيم 10–15. في المتمم الثنائي ذي 8 بتات تساوي البتة اليسرى −128 بدلًا من +128، وهكذا تُخزَّن الأعداد السالبة.

اجمع القيم

تحتفظ البتات الأخرى بقيمها الموجبة المعتادة.

−128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 = −2

الإجابة

N = −2
2.أنظمة العد

الإجابة: R = 208

ضبط البتات: قيمة كل بت قوة للعدد اثنين (128 و64 … و1). الرقم السداسي عشري الواحد يساوي أربع بتات تمامًا، وفي المتمم الثنائي بـ 8 بتات تساوي قيمة البت الأيسر −128. وتعمل العمليات على مستوى البت على كل موضع بت على حدة.

بتًا ببت

الإزاحة إلى اليسار بمقدار 2 تنقل كل بت 2 مواضع إلى اليسار؛ وتُفقد البتات التي تسقط من الطرف الأيسر وتدخل أصفار من اليمين.

0111 0100 << 2
= 1101 0000

قيمة الناتج

1101 0000₂ = 208

الإجابة

R = 208
3.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: ¬(c ∨ a) → ¬¬b

التكافؤ المنطقي: تتكافأ صيغتان (≡) عندما يكون لهما القيمة نفسها في كل صف من جدول الصدق. الحشو يساوي 1 في كل صف، والتناقض يساوي 0 في كل صف، والممكن ليس هذا ولا ذاك. قوانين مفيدة: دي مورغان، ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b و ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b؛ و a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (العكس النقيض)؛ و ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b؛ وقوانين التوزيع، a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

أجزاء الاستلزام

a = ¬b, b = c ∨ a

العكس النقيض

¬b → ¬a = ¬(c ∨ a) → ¬¬b

الإجابة

¬(c ∨ a) → ¬¬b

العكس النقيض يكافئ العبارة الأصلية، فإثباته يثبت العبارة.

4.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: p = 1, q = 0, r = 1

الكمّمات والحجج: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) و ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). انقل النفي إلى الداخل، وبدّل كل كمّم يمرّ به، وانفِ الصيغة الداخلية بقوانين المنطق القضوي، مثل ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. تكون الحجة صحيحة عندما يكون الاستنتاج 1 في كل صف تكون فيه كل المقدمات 1. صف واحد بمقدمات صائبة واستنتاج خاطئ هو مثال مضاد ويبيّن أن الحجة غير صحيحة.

المقدمات والاستنتاج صفًا صفًا

p = 1, q = 1, r = 1: 1 1 | 1
p = 1, q = 1, r = 0: 0 0 | 1
p = 1, q = 0, r = 1: 1 1 | 0
p = 1, q = 0, r = 0: 0 1 | 0
p = 0, q = 1, r = 1: 1 1 | 1
p = 0, q = 1, r = 0: 1 0 | 1
p = 0, q = 0, r = 1: 1 1 | 1
p = 0, q = 0, r = 0: 1 1 | 1

مثال مضاد

p = 1, q = 0, r = 1

الإجابة

p = 1, q = 0, r = 1

حجة بهذه الصيغة تبدو قاعدة صحيحة، لكن صفًا واحدًا يكفي لإثبات أنها ليست كذلك.

5.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: AB = 11, CD = 10

خرائط كارنو: ترتَّب الخلايا بشيفرة غراي (00, 01, 11, 10)، فتختلف الخلايا المتجاورة، بما فيها تلك التي عبر الحواف، في متغير واحد بالضبط. جمّع الآحاد في مستطيلات من 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، بأكبر حجم وأقل عدد ممكنين، حتى يُغطى كل 1. كل مجموعة حد جداء واحد: المتغيرات التي تبقى ثابتة داخلها. المجموعة من 2ᵏ خلية تفقد k متغيرًا. يجوز استخدام حالات عدم الاكتراث (X) لتكبير المجموعات لكن لا يجب تغطيتها أبدًا. أما تجميع الأصفار فيعطي الصيغة الدنيا POS.

جيران كل 1

يمكن لـ 1 له جار 1 أن ينضم إلى مجموعة من اثنين أو أكثر.

m14: m15, m12, m10, m6 → 0
ABCD000111100001111011111111

الـ 1 المعزول

m14 = ABCD′ → AB = 11, CD = 10

الإجابة

AB = 11, CD = 10
6.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: N = 4

خرائط كارنو: ترتَّب الخلايا بشيفرة غراي (00, 01, 11, 10)، فتختلف الخلايا المتجاورة، بما فيها تلك التي عبر الحواف، في متغير واحد بالضبط. جمّع الآحاد في مستطيلات من 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، بأكبر حجم وأقل عدد ممكنين، حتى يُغطى كل 1. كل مجموعة حد جداء واحد: المتغيرات التي تبقى ثابتة داخلها. المجموعة من 2ᵏ خلية تفقد k متغيرًا. يجوز استخدام حالات عدم الاكتراث (X) لتكبير المجموعات لكن لا يجب تغطيتها أبدًا. أما تجميع الأصفار فيعطي الصيغة الدنيا POS.

المضمّنات الأولية

أكبر المجموعات التي يمكن تكوينها من الآحاد و X.

C′D′, BD′, BC′, AC′, A′CD, A′B
ABCD0001111000011110X0011302X4151716X121130151141819011010

التغطية الدنيا

F = BD′ + BC′ + AC′ + A′CD
N = 4

الإجابة

N = 4

يوجد تجميع آخر بالحجم نفسه؛ وله عدد الحدود والحروف نفسه.

7.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: x = 7

المعكوسات والتطابقات: للعدد a معكوس بالنسبة إلى n بالضبط عندما gcd(a, n) = 1. تكتب خوارزمية إقليدس الموسّعة 1 = s·n + t·a، ثم a⁻¹ ≡ t (mod n). التطابق a·x ≡ b (mod n) مع gcd(a, n) = 1 حلّه x ≡ a⁻¹·b. لتطابقين x ≡ r₁ (mod m₁) و x ≡ r₂ (mod m₂) بمقياسين أوليين فيما بينهما حل واحد بالنسبة إلى m₁·m₂ (مبرهنة الباقي الصينية). تعدّ φ(n) لأويلر الأعداد من 1 إلى n التي أولية مع n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

التطابق الأول

x = 1 + 3k

التطابق الثاني

1 + 3k ≡ 0 (mod 7) → 3k ≡ 6 (mod 7)
k ≡ 5·6 ≡ 2 (mod 7)

النتيجة

x = 1 + 3·2 = 7
x = 7
تحقّق: 7 mod 3 = 1, 7 mod 7 = 0

الإجابة

x = 7
8.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: N = 4

المعكوسات والتطابقات: للعدد a معكوس بالنسبة إلى n بالضبط عندما gcd(a, n) = 1. تكتب خوارزمية إقليدس الموسّعة 1 = s·n + t·a، ثم a⁻¹ ≡ t (mod n). التطابق a·x ≡ b (mod n) مع gcd(a, n) = 1 حلّه x ≡ a⁻¹·b. لتطابقين x ≡ r₁ (mod m₁) و x ≡ r₂ (mod m₂) بمقياسين أوليين فيما بينهما حل واحد بالنسبة إلى m₁·m₂ (مبرهنة الباقي الصينية). تعدّ φ(n) لأويلر الأعداد من 1 إلى n التي أولية مع n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

اقسم على القاسم المشترك الأكبر

gcd(8, 44) = 4
2x ≡ 3 (mod 11)

حلّ التطابق المختزل

2−1 ≡ 6 (mod 11) → x ≡ 7 (mod 11)

الحلول بالنسبة إلى 44

x ∈ {7, 18, 29, 40}
N = 4

الإجابة

N = 4
9.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · O(d(n + k))

لماذا هذه هي الإجابة

كل مرور من المرورات d فرز بالعدّ كلفته O(n + k)، فيكون المجموع خطيًا في n عندما تكون d وk ثابتتين.

الإجابة

B · O(d(n + k))
10.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · أن مسألة الإرضاء البولياني (SAT) هي NP-تامة

لماذا هذه هي الإجابة

بيّن كوك وليفين كلٌّ على حدة أن كل مسألة في NP تُختزل إلى SAT في زمن كثير حدود، فكانت SAT أول مسألة NP-تامة معروفة.

الإجابة

B · أن مسألة الإرضاء البولياني (SAT) هي NP-تامة
11.هياكل البيانات

الإجابة: C · يوضع في نهاية المصفوفة ويُرفع (sift up) ما دام يخالف خاصية الكومة

لماذا هذه هي الإجابة

الإضافة في النهاية تُبقي الشجرة تامة، والتبديل مع الأب يعيد الترتيب في O(log n) خطوة.

الإجابة

C · يوضع في نهاية المصفوفة ويُرفع (sift up) ما دام يخالف خاصية الكومة
12.هياكل البيانات

الإجابة: A · O(α(n))، أي دالة أكرمان العكسية، وهي ثابتة عمليًا

لماذا هذه هي الإجابة

مع كلا التحسينين تستغرق العمليات زمنًا مستهلكًا قدره O(α(n))، وα(n) ≤ 4 لأي قيمة واقعية لـ n.

الإجابة

A · O(α(n))، أي دالة أكرمان العكسية، وهي ثابتة عمليًا
13.نظرية البيانات

الإجابة: مسار أويلر دون دارة

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 2

الرؤوس الفردية

C, D → 2
مسار أويلر دون دارة

الإجابة

مسار أويلر دون دارة

يبدأ مسار أويلر عند أحد الرأسين الفرديين وينتهي عند الآخر.

14.نظرية البيانات

الإجابة: W = 27

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية كروسكال

BC (2): خذ
AB (3): خذ
AC (6): تخطَّ، تُغلق دورة
DE (9): خذ
BD (13): خذ

الوزن الكلي

W = 2 + 3 + 9 + 13 = 27

الإجابة

W = 27
15.قواعد البيانات و SQL

الإجابة: B · كل اسم مع التسمية 'pass' أو 'fail' بحسب الدرجة

لماذا هذه هي الإجابة

يقيّم تعبير CASE شروطه لكل صف ويُرجع القيمة المطابقة، فيحصل كل صف على تسمية.

الإجابة

B · كل اسم مع التسمية 'pass' أو 'fail' بحسب الدرجة
16.قواعد البيانات و SQL

الإجابة: A · لأنه يربط على كل عمود يحمل الاسم نفسه، فقد يغيّر عمود جديد النتيجة بصمت

لماذا هذه هي الإجابة

يطابق الربط الطبيعي جميع الأعمدة المتطابقة الأسماء، مثل "name" أو "created_at" غير المترابطة؛ وجملة ON أو USING الصريحة أكثر أمانًا.

الإجابة

A · لأنه يربط على كل عمود يحمل الاسم نفسه، فقد يغيّر عمود جديد النتيجة بصمت
17.شبكات الحاسوب

الإجابة: C · Discover، Offer، Request، Acknowledge

لماذا هذه هي الإجابة

يبث العميل Discover، فترد الخوادم بعروض Offer، ويطلب العميل أحد العروض بـ Request، ويؤكد الخادم المختار بـ Acknowledge.

الإجابة

C · Discover، Offer، Request، Acknowledge
18.شبكات الحاسوب

الإجابة: A · نحو 5 Mbit/s

لماذا هذه هي الإجابة

الإنتاجية ≤ النافذة / RTT = 65,536 × 8 بت / 0,1 s ≈ 5,2 Mbit/s، مهما كانت سرعة الوصلة.

الإجابة

A · نحو 5 Mbit/s
19.تقسيم شبكات IPv4

الإجابة: H = 1022

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

طول البادئة

255.255.252.0 = /22

المضيفون القابلون للاستخدام

210 − 2 = 1022

الإجابة

H = 1022
20.تقسيم شبكات IPv4

الإجابة: x = 64

VLSM: تحصل كل شبكة محلية على أصغر شبكة فرعية تحقّق 2ʰ − 2 ≥ عدد مضيفيها، أي البادئة 32 − h. تخصيص الشبكات الفرعية الأكبر أولًا يُبقي كل كتلة محاذية لمضاعف حجمها، لذا تُستنتج عناوين الشبكات بجمع أحجام الكتل.

حجم الكتلة لكل شبكة محلية

A: 21 مضيفون → 25 = 32 (/27)
D: 20 مضيفون → 25 = 32 (/27)
B: 7 مضيفون → 24 = 16 (/28)
C: 4 مضيفون → 23 = 8 (/29)
E: 3 مضيفون → 23 = 8 (/29)

التخصيص، الأكبر أولًا

A: .0 – .31
D: .32 – .63
B: .64 – .79
C: .80 – .87
E: .88 – .95

الإجابة

x = 64

LAN B: 192.168.45.64/28.

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals