أساسيات علوم الحاسوب: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

أنظمة العد

القيم الموضعية: الثنائي 2^k، الثماني 8^k، الست عشري 16^k
إلى العشري: Σ d_k·b^k
من العشري: اقسم على الأساس، واقرأ البواقي من الأسفل إلى الأعلى
الست عشري ↔ الثنائي: رقم ست عشري واحد = 4 بتات
المتمم الثنائي: اعكس البتات وأضف 1

المنطق القضوي والبراهين

صفوف جدول الصدق: 2ⁿ
الاستلزام: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
نفي الاستلزام: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
الشرط الثنائي: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
دي مورغان: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
قوانين التوزيع: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
نفي الكمّمات: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
قاعدة الوضع (modus ponens) وقاعدة الرفع (modus tollens): p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

الطريقة

عُدّ المتغيرات المختلفة: لجدول الصدق 2ⁿ صفًا، ويبدأ بصف تكون فيه كلها 1.
أعطِ كل صيغة جزئية عمودها الخاص واملأ الأعمدة من الداخل إلى الخارج.
طبّق قاعدة كل رابط: → يساوي 0 فقط في الحالة 1 → 0، و ↔ يساوي 1 عندما يتفق الطرفان.
للتكافؤات قارن العمودين الأخيرين صفًا بصف؛ وللحجة انظر فقط إلى الصفوف التي تكون فيها كل المقدمات 1.
لنفي عبارة مكمَّمة، انقل ¬ إلى الداخل، وبدّل ∀ و ∃، وانفِ الصيغة الداخلية.

المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

البوابات الأساسية: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
القواعد البولية: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
دي مورغان: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ترتيب خريطة كارنو: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
مجموعة من 2ᵏ خلية: تفقد k متغيرًا
مضاعِف 4-إلى-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
القلّابات: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
العدّادات: n بتّات: 2ⁿ حالة؛ mod-N: أصغر n يحقق 2ⁿ ≥ N؛ f_out = f_clk/N
العدّاد المتموّج: f_max = 1/(n·t_pd)
العدّادان الحلقي وجونسون: n و 2n حالة

الطريقة

لدارة ما، اعمل من المداخل إلى المخرج بوابةً بوابةً واكتب القيمة على كل سلك، أو اكتب تعبيرها واملأ جدول الصدق.
للتبسيط ضع الآحاد (وحالات عدم الاكتراث على شكل X) في خريطة كارنو بصفوف وأعمدة بشيفرة غراي: 00, 01, 11, 10.
غطِّ الآحاد بأقل عدد ممكن وأكبر حجم ممكن من المجموعات ذات 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، مع الالتفاف حول الحواف؛ كل مجموعة حد جداء واحد من المتغيرات التي تبقى ثابتة. جمّع الأصفار للصيغة POS.
للقلّابات والعدّادات اقرأ المداخل عند كل حافة ساعة فعالة، واكتب الحالة بعد كل حافة، وتذكّر أن عدّادًا ذا n بتّات يلتف بعد 2ⁿ حالة.

نظرية الأعداد والحساب المودولي

القسمة مع الباقي: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
إقليدس: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
المضاعف المشترك الأصغر: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
المعكوس: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
التطابق الخطي: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
دالة أويلر φ: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
فيرما: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

الطريقة

اختزل كل عدد بالنسبة إلى n أولًا؛ البواقي تقع بين 0 و n − 1.
للقاسم المشترك الأكبر، اقسم مرارًا بخوارزمية إقليدس؛ آخر باقٍ غير صفري هو القاسم المشترك الأكبر.
للمعكوس، نفّذ الخوارزمية الموسّعة واحتفظ بمعامل a؛ أضف n إذا كان سالبًا.
حلّ a·x ≡ b بالضرب في a⁻¹؛ ولدمج تطابقين اكتب x = r₁ + m₁k.
للقوى اكتب الأس بالنظام الثنائي وربّع مرارًا؛ وفي RSA، d = e⁻¹ mod φ(n) مع φ(n) = (p − 1)(q − 1).

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة: Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
البيان المنتظم: |E| = n·k/2
الشجرة والغابة: |E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر: الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في K_n: (n − 1)!/2
تحديث ديكسترا: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L: (Mᴸ)_ij

الطريقة

اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

تقسيم شبكات IPv4

المضيفون في كل شبكة فرعية: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
حجم الكتلة: 256 − (mask octet)
عنوان الشبكة: IP AND القناع
عنوان البث: IP OR (NOT mask): كل بتات المضيف = 1
الشبكات الفرعية من n بتات مستعارة: 2ⁿ

2مسائل تدريبية

1.أنظمة العدمتوسطة

النمط ذو 8 بتات 1011 0010 يخزّن عددًا صحيحًا بإشارة بصيغة المتمم الثنائي. ما قيمته N في النظام العشري؟

1011 00108 bit

N =

2.أنظمة العدصعبة

صورة غير مضغوطة أبعادها 256 × 256 بكسل و8 بت لكل بكسل. كم تشغل من الذاكرة M بوحدة KiB (1 KiB = 1024 بايت)؟

256 × 256 px8 bit/px1 KiB = 1024 B

M = KiB

3.المنطق القضوي والبراهينمتوسطة

تريد إثبات q → r بالعكس النقيض. أي استلزام تبرهن بدلًا منه؟ انقر عليه.

q → r

1¬q → ¬r
2q ∧ ¬r
3¬r → ¬q
4r → q

4.المنطق القضوي والبراهينصعبة

المقدمات q → r; q معطاة. أي استنتاج يلزم عنها؟ انقر عليه.

q → rq

1q ∧ ¬r
2¬r
3¬q
4r

5.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتمتوسطة

استخدم خريطة كارنو لإيجاد الصيغة الدنيا لجداء المجاميع (POS) للدالة F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 4, 7, 10, 12, 13). كم حد مجموع (عاملًا) N فيها؟

F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 4, 7, 10, 12, 13)

N =

6.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتصعبة

ساعة 2 kHz تقود عدّاد mod-2. جد تردد f_out خرجه الأعلى وزنًا، الذي يُكمل دورة واحدة لكل دورة عدّ.

f_clk = 2 kHzN = 2

f_out = kHz

7.نظرية الأعداد والحساب المودوليمتوسطة

حلّ 57x ≡ 43 (mod 67). أعطِ الحل x مع 0 < x < 67.

57x ≡ 43 (mod 67)

x =

8.نظرية الأعداد والحساب المودوليصعبة

كم حلًّا N للتطابق 27x ≡ 51 (mod 57) في {0, 1, …, 56}؟

27x ≡ 51 (mod 57)

N =

9.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

كم مستوى لعودية الفرز بالدمج لمصفوفة من n عنصر؟

Aنحو n
Bنحو n / 2
Cنحو √n
Dنحو log₂ n

10.الخوارزميات والتعقيدصعبة

ما الكلفة الزمنية والمكانية لحساب عدد فيبوناتشي رقم n بحلقة لا تحتفظ إلا بآخر قيمتين؟

Aزمن O(n) ومساحة O(1)
Bزمن O(2ⁿ) ومساحة O(1)
Cزمن O(log n) ومساحة O(n)
Dزمن O(n) ومساحة O(n)

11.هياكل البياناتمتوسطة

تكون شجرة البادئات (trie) فعّالة بشكل خاص في:

Aتخزين المصفوفات
Bعمليات البحث بالبادئة مثل الإكمال التلقائي
Cفرز الأعداد
Dإيجاد أقصر المسارات

12.هياكل البياناتصعبة

يمكن لمرشّح بلوم (Bloom filter) الإجابة عن سؤال "هل هذا العنصر في المجموعة؟":

Aمع احتمال سلبيات كاذبة دون إيجابيات كاذبة
Bمع احتمال إيجابيات كاذبة دون سلبيات كاذبة
Cللأعداد فقط
Dبإجابات دقيقة دائمًا

13.نظرية البياناتمتوسطة

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 5|E| = 5

1دارة أويلر
2مسار أويلر دون دارة
3لا هذه ولا تلك

14.نظرية البياناتصعبة

تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا. انقر على الحافة التي تضيفها بوصفها الحافة رقم 5؛ الحواف المتخطاة لا تُحسب.

k = 5

1الحافة AB
2الحافة BD
3الحافة CE
4الحافة DE
5الحافة DF
6الحافة EF
7الحافة GB
8الحافة GC
9الحافة GD
10الحافة GE

15.قواعد البيانات و SQLمتوسطة

أي استعلام يُرجع عدد الطلبات لكل عميل؟

ASELECT DISTINCT COUNT(*) FROM orders
BSELECT customer_id, COUNT(*) FROM orders ORDER BY customer_id
CSELECT customer_id FROM orders WHERE COUNT(*) > 0
DSELECT customer_id, COUNT(*) FROM orders GROUP BY customer_id

16.قواعد البيانات و SQLصعبة

للجدول employee(emp_id, dept_id, dept_name) المفتاح emp_id، وdept_id → dept_name. أي عبارة صحيحة؟

Aإنه ليس في 2NF
Bإنه في BCNF ولذلك فهو في 3NF
Cإنه في 2NF لكنه ليس في 3NF
Dإنه ليس في 1NF

17.شبكات الحاسوبمتوسطة

ما الفرق الرئيسي بين طريقتي HTTP المسماتين GET وPOST؟

AGET مشفّر وPOST غير مشفّر
Bيستخدم GET بروتوكول UDP ويستخدم POST بروتوكول TCP
Cيحذف GET موردًا، ويقرؤه POST من قاعدة بيانات الخادم
Dيسترجع GET موردًا، ويرسل POST بيانات في جسم الطلب

18.شبكات الحاسوبصعبة

تصل المحطتان A وC كلتاهما إلى نقطة الوصول B لكنهما لا تسمعان بعضهما، فتتصادم إطاراتهما عند B. كيف يساعد 802,11؟

Aبجعل A وC تستخدمان كشف التصادم فتتوقفان عن الإرسال حين تتداخل الإطارات
Bبتبادلات RTS/CTS الاختيارية: تخبر رسالة CTS من نقطة الوصول جميع المحطات القريبة بالانتظار
Cبتوجيه إطارات A عبر C
Dبزيادة TTL للإطارات

19.تقسيم شبكات IPv4متوسطة

يحتاج قسم إلى 637 عنوان مضيف في شبكة فرعية واحدة. ما أطول بادئة p (أصغر شبكة فرعية) تكفي؟

637 hosts

p =

20.تقسيم شبكات IPv4صعبة

عنوان مضيف هو 10.20.4.158/26. ما الرقم الأخير (الثُمانية الرابعة) x من عنوان البث لشبكته الفرعية؟

10.20.4.158/26

x =

3المحاليل

1.أنظمة العد

الإجابة: N = −78

أنظمة العد الموضعية: قيمة كل رقم هي قيمته مضروبة في قوة من قوى الأساس. في النظام الثنائي تساوي المواضع 1، 2، 4، 8، 16، …؛ وفي السداسي عشري 1، 16، 256، …، حيث تمثل A–F القيم 10–15. في المتمم الثنائي ذي 8 بتات تساوي البتة اليسرى −128 بدلًا من +128، وهكذا تُخزَّن الأعداد السالبة.

اجمع القيم

تحتفظ البتات الأخرى بقيمها الموجبة المعتادة.

−128 + 32 + 16 + 2 = −78

الإجابة

N = −78

2.أنظمة العد

الإجابة: M = 64 KiB

البتات والبايتات

256·256·8 = 524288 bit = 65536 B

حوّل إلى KiB

65536/1024 = 64 KiB

الإجابة

M = 64 KiB

3.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: ¬r → ¬q

التكافؤ المنطقي: تتكافأ صيغتان (≡) عندما يكون لهما القيمة نفسها في كل صف من جدول الصدق. الحشو يساوي 1 في كل صف، والتناقض يساوي 0 في كل صف، والممكن ليس هذا ولا ذاك. قوانين مفيدة: دي مورغان، ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b و ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b؛ و a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (العكس النقيض)؛ و ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b؛ وقوانين التوزيع، a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

أجزاء الاستلزام

a = q, b = r

العكس النقيض

¬b → ¬a = ¬r → ¬q

الإجابة

¬r → ¬q

العكس النقيض يكافئ العبارة الأصلية، فإثباته يثبت العبارة.

4.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: r

الكمّمات والحجج: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) و ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). انقل النفي إلى الداخل، وبدّل كل كمّم يمرّ به، وانفِ الصيغة الداخلية بقوانين المنطق القضوي، مثل ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. تكون الحجة صحيحة عندما يكون الاستنتاج 1 في كل صف تكون فيه كل المقدمات 1. صف واحد بمقدمات صائبة واستنتاج خاطئ هو مثال مضاد ويبيّن أن الحجة غير صحيحة.

الصفوف التي كل مقدماتها صائبة

q = 1, r = 1: q ∧ ¬r = 0, ¬r = 0, ¬q = 0, r = 1

الخلاصة

r (قاعدة الوضع (modus ponens))

الإجابة

5.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: N = 5

خرائط كارنو: ترتَّب الخلايا بشيفرة غراي (00, 01, 11, 10)، فتختلف الخلايا المتجاورة، بما فيها تلك التي عبر الحواف، في متغير واحد بالضبط. جمّع الآحاد في مستطيلات من 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، بأكبر حجم وأقل عدد ممكنين، حتى يُغطى كل 1. كل مجموعة حد جداء واحد: المتغيرات التي تبقى ثابتة داخلها. المجموعة من 2ᵏ خلية تفقد k متغيرًا. يجوز استخدام حالات عدم الاكتراث (X) لتكبير المجموعات لكن لا يجب تغطيتها أبدًا. أما تجميع الأصفار فيعطي الصيغة الدنيا POS.

جمّع الأصفار

كل مجموعة مستطيل من 2ᵏ خلية؛ وخلايا الحافة جارة للخلايا على الحافة المقابلة.

(B′ + C′ + D)

(A′ + C′ + D′)

(A + B + D)

(A′ + B + C)

(A + B′ + C + D′)

الصيغة الدنيا POS

F = (B′ + C′ + D)(A′ + C′ + D′)(A + B + D)(A′ + B + C)(A + B′ + C + D′)

N = 5

الإجابة

N = 5

يوجد تجميع آخر بالحجم نفسه؛ وله عدد الحدود والحروف نفسه.

6.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: f_out = 1 kHz

القلّابات والعدّادات: لا يتغير القلّاب إلا عند الحافة الفعالة للساعة. يَنسخ D مدخله (Q⁺ = D)؛ و T يتبدّل عندما T = 1؛ و JK يحتفظ عند 00، ويصفّر عند 01، ويضبط عند 10، ويتبدّل عند 11. للعدّاد الثنائي ذي n بتّات 2ⁿ حالة ويعدّ بالنمط 2ⁿ؛ وعدّاد mod-N يعدّ 0 و 1 … حتى N − 1 ثم يعود إلى 0، ويحتاج إلى أصغر n يحقق 2ⁿ ≥ N قلّابات. تُنصّف كل مرحلة في العدّاد المتموّج التردد، فيعمل الخرج الأخير لعدّاد mod-N بالتردد f_clk/N. لعدّاد جونسون من n قلّابات 2n حالة، وللعدّاد الحلقي n.

قسمة التردد

f_out = 2 kHz / 2 = 1 kHz

الإجابة

f_out = 1 kHz

7.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: x = 56

المعكوسات والتطابقات: للعدد a معكوس بالنسبة إلى n بالضبط عندما gcd(a, n) = 1. تكتب خوارزمية إقليدس الموسّعة 1 = s·n + t·a، ثم a⁻¹ ≡ t (mod n). التطابق a·x ≡ b (mod n) مع gcd(a, n) = 1 حلّه x ≡ a⁻¹·b. لتطابقين x ≡ r₁ (mod m₁) و x ≡ r₂ (mod m₂) بمقياسين أوليين فيما بينهما حل واحد بالنسبة إلى m₁·m₂ (مبرهنة الباقي الصينية). تعدّ φ(n) لأويلر الأعداد من 1 إلى n التي أولية مع n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

معكوس 57

r = 67, t = 0

r = 57, q = 1, t = 1

r = 10, q = 5, t = −1

r = 7, q = 1, t = 6

r = 3, q = 2, t = −7

r = 1, q = 3, t = 20

57⁻¹ ≡ 20 (mod 67)

الحل

x ≡ 20·43 = 860 ≡ 56 (mod 67)

تحقّق: 57·56 = 3192 ≡ 43 (mod 67)

الإجابة

x = 56

8.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: N = 3

اقسم على القاسم المشترك الأكبر

gcd(27, 57) = 3

9x ≡ 17 (mod 19)

حلّ التطابق المختزل

9⁻¹ ≡ 17 (mod 19) → x ≡ 4 (mod 19)

الحلول بالنسبة إلى 57

x ∈ {4, 23, 42}

الدرجات

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 1, deg(D) = 2, deg(E) = 3

الرؤوس الفردية

A, B, C, E → 4

لا هذه ولا تلك

الإجابة

لا هذه ولا تلك

14.نظرية البيانات

الإجابة: الحافة DF

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية كروسكال

1. GB (3)

2. GC (4)

3. GE (6)

4. GD (7)

5. DF (10)

6. AB (20)

ترسل المحطة طلب الإرسال (Request to Send)، فترد نقطة الوصول بإذن الإرسال (Clear to Send) الذي تسمعه كل محطة في نطاقها، فتؤجل المحطات المخفية الإرسال طوال المدة المحجوزة.

الإجابة

B · بتبادلات RTS/CTS الاختيارية: تخبر رسالة CTS من نقطة الوصول جميع المحطات القريبة بالانتظار

19.تقسيم شبكات IPv4

الإجابة: p = 22

تقسيم شبكات IPv4: يتكون العنوان من 32 بتة. تحدد البادئة /p عدد البتات الأولى التي تعرّف الشبكة؛ وتُرقّم البتات المتبقية 32 − p المضيفين. تحتوي الشبكة الفرعية على 2³²⁻ᵖ عنوانًا، لكن الأول (عنوان الشبكة) والأخير (عنوان البث) لا يُعطيان للمضيفين، فيتسع 2³²⁻ᵖ − 2 مضيفًا. الاستثناءات: الشبكة /31 (وصلة من نقطة إلى نقطة، RFC 3021) تستخدم كلا عنوانَيها الـ 2 للمضيفين، والشبكة /32 عنوان واحد فقط (مضيف واحد أو عنوان loopback).

بتات المضيف اللازمة

2⁹ − 2 = 510 < 637

2¹⁰ − 2 = 1022 ≥ 637 → h = 10

طول البادئة

p = 32 − 10 = 22

الإجابة

p = /22

20.تقسيم شبكات IPv4

الإجابة: x = 191

حجم الكتلة

2⁶ = 64

الشبكة الفرعية لهذا المضيف

الشبكة: ⌊158/64⌋·64 = 128

البث: 128 + 64 − 1 = 191

المضيفون القابلون للاستخدام: 129 … 190

الإجابة

x = 191

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals