أساسيات علوم الحاسوب: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

أنظمة العد

القيم الموضعية: الثنائي 2^k، الثماني 8^k، الست عشري 16^k
إلى العشري: Σ d_k·b^k
من العشري: اقسم على الأساس، واقرأ البواقي من الأسفل إلى الأعلى
الست عشري ↔ الثنائي: رقم ست عشري واحد = 4 بتات
المتمم الثنائي: اعكس البتات وأضف 1

المنطق القضوي والبراهين

صفوف جدول الصدق: 2ⁿ
الاستلزام: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
نفي الاستلزام: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
الشرط الثنائي: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
دي مورغان: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
قوانين التوزيع: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
نفي الكمّمات: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
قاعدة الوضع (modus ponens) وقاعدة الرفع (modus tollens): p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

الطريقة

عُدّ المتغيرات المختلفة: لجدول الصدق 2ⁿ صفًا، ويبدأ بصف تكون فيه كلها 1.
أعطِ كل صيغة جزئية عمودها الخاص واملأ الأعمدة من الداخل إلى الخارج.
طبّق قاعدة كل رابط: → يساوي 0 فقط في الحالة 1 → 0، و ↔ يساوي 1 عندما يتفق الطرفان.
للتكافؤات قارن العمودين الأخيرين صفًا بصف؛ وللحجة انظر فقط إلى الصفوف التي تكون فيها كل المقدمات 1.
لنفي عبارة مكمَّمة، انقل ¬ إلى الداخل، وبدّل ∀ و ∃، وانفِ الصيغة الداخلية.

المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

البوابات الأساسية: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
القواعد البولية: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
دي مورغان: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ترتيب خريطة كارنو: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
مجموعة من 2ᵏ خلية: تفقد k متغيرًا
مضاعِف 4-إلى-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
القلّابات: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
العدّادات: n بتّات: 2ⁿ حالة؛ mod-N: أصغر n يحقق 2ⁿ ≥ N؛ f_out = f_clk/N
العدّاد المتموّج: f_max = 1/(n·t_pd)
العدّادان الحلقي وجونسون: n و 2n حالة

الطريقة

لدارة ما، اعمل من المداخل إلى المخرج بوابةً بوابةً واكتب القيمة على كل سلك، أو اكتب تعبيرها واملأ جدول الصدق.
للتبسيط ضع الآحاد (وحالات عدم الاكتراث على شكل X) في خريطة كارنو بصفوف وأعمدة بشيفرة غراي: 00, 01, 11, 10.
غطِّ الآحاد بأقل عدد ممكن وأكبر حجم ممكن من المجموعات ذات 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، مع الالتفاف حول الحواف؛ كل مجموعة حد جداء واحد من المتغيرات التي تبقى ثابتة. جمّع الأصفار للصيغة POS.
للقلّابات والعدّادات اقرأ المداخل عند كل حافة ساعة فعالة، واكتب الحالة بعد كل حافة، وتذكّر أن عدّادًا ذا n بتّات يلتف بعد 2ⁿ حالة.

نظرية الأعداد والحساب المودولي

القسمة مع الباقي: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
إقليدس: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
المضاعف المشترك الأصغر: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
المعكوس: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
التطابق الخطي: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
دالة أويلر φ: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
فيرما: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

الطريقة

اختزل كل عدد بالنسبة إلى n أولًا؛ البواقي تقع بين 0 و n − 1.
للقاسم المشترك الأكبر، اقسم مرارًا بخوارزمية إقليدس؛ آخر باقٍ غير صفري هو القاسم المشترك الأكبر.
للمعكوس، نفّذ الخوارزمية الموسّعة واحتفظ بمعامل a؛ أضف n إذا كان سالبًا.
حلّ a·x ≡ b بالضرب في a⁻¹؛ ولدمج تطابقين اكتب x = r₁ + m₁k.
للقوى اكتب الأس بالنظام الثنائي وربّع مرارًا؛ وفي RSA، d = e⁻¹ mod φ(n) مع φ(n) = (p − 1)(q − 1).

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة: Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
البيان المنتظم: |E| = n·k/2
الشجرة والغابة: |E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر: الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في K_n: (n − 1)!/2
تحديث ديكسترا: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L: (Mᴸ)_ij

الطريقة

اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

تقسيم شبكات IPv4

المضيفون في كل شبكة فرعية: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
حجم الكتلة: 256 − (mask octet)
عنوان الشبكة: IP AND القناع
عنوان البث: IP OR (NOT mask): كل بتات المضيف = 1
الشبكات الفرعية من n بتات مستعارة: 2ⁿ

2مسائل تدريبية

1.أنظمة العدمتوسطة

اضبط البتات بحيث تخزن −25 في المتمم الثنائي بـ 8 بتات. إذا قُرئ كعدد بدون إشارة، فما قيمة النمط U؟

N = −258 bit

U =

2.أنظمة العدصعبة

اضبط البتات على الناتج بـ 8 بتات لـ 0010 0011 OR 0010 0001. ما قيمة الناتج R بالعشري؟

0010 0011OR0010 0001

R =

3.المنطق القضوي والبراهينمتوسطة

في كم صفًا من الصفوف الثمانية لجدول صدق (¬a ∧ (c ∨ a)) ∧ (b ↔ ¬c) تكون صائبة؟ سمِّ هذا العدد N.

(¬a ∧ (c ∨ a)) ∧ (b ↔ ¬c)

N =

4.المنطق القضوي والبراهينصعبة

أي عبارة تكافئ ¬∃x (F(x) ∧ G(x)) مع نقل النفي إلى الداخل تمامًا؟ انقر عليها.

¬∃x (F(x) ∧ G(x))

1∀x (F(x) → ¬G(x))
2∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))
3∃x (F(x) → ¬G(x))
4∀x (¬F(x) ∧ ¬G(x))

5.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتمتوسطة

بسّط F = A′B′C + A′B′C′ + BC′ إلى الصيغة الدنيا لمجموع الجداءات. كم حرفًا L يحتوي التعبير المبسَّط؟

F = A′B′C + A′B′C′ + BC′

L =

6.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتصعبة

جد الصيغة الدنيا SOP للدالة F(A, B, C, D) = Σm(1, 6, 7, 9, 12) + d(4, 14)، حيث تشير d إلى حالات عدم الاكتراث. كم حد جداء N فيها؟

F(A, B, C, D) = Σm(1, 6, 7, 9, 12) + d(4, 14)

N =

7.نظرية الأعداد والحساب المودوليمتوسطة

حلّ 47x ≡ 34 (mod 65). أعطِ الحل x مع 0 < x < 65.

47x ≡ 34 (mod 65)

x =

8.نظرية الأعداد والحساب المودوليصعبة

يستخدم مفتاح RSA القيم p = 5 و q = 41 و e = 23. فكّ تشفير النص المشفّر c = 139: جد الرسالة m.

p = 5q = 41e = 23c = 139

m =

9.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

بقطع نقدية من فئات 1 و3 و4 ومبلغ 6، كم قطعة تستخدم الطريقة الجشعة "أكبر قطعة أولًا" مقارنةً بالحل الأمثل؟

Aتستخدم الجشعة 3 قطع، والأمثل 3
Bتستخدم الجشعة 4 قطع، والأمثل 3
Cتستخدم الجشعة قطعتين، والأمثل 2
Dتستخدم الجشعة 3 قطع، والأمثل 2

10.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أي حد صحيح لـ log(n!)؟

AΘ(log n)
BΘ(n log n)
CΘ(n²)
DΘ(n)

11.هياكل البياناتمتوسطة

جدول تجزئة حجمه 7 يستخدم h(k) = k mod 7 والتقصّي الخطي (linear probing). بعد إدراج 10، أين يُخزَّن 17؟

Aالفهرس 0
Bالفهرس 4
Cالفهرس 3
Dالفهرس 6

12.هياكل البياناتصعبة

أي زوج من الاجتيازات يحدد دائمًا شجرة ثنائية فريدة ذات مفاتيح متمايزة؟

Aالقبلي وحده
Bمستوى بعد مستوى وحده
Cالقبلي والوسطي
Dالقبلي والبعدي

13.نظرية البياناتمتوسطة

لشجرة 3 رؤوس من الدرجة 3, 3 رؤوس من الدرجة 4, 3 رؤوس من الدرجة 5، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟

3 × deg 33 × deg 43 × deg 5

L =

14.نظرية البياناتصعبة

تبني خوارزمية برايم شجرة ممتدة دنيا بدءًا من الرأس F. انقر على الحافة التي تضيفها بوصفها الحافة رقم 2.

البداية: Fk = 2

1الحافة AB
2الحافة AC
3الحافة BC
4الحافة BD
5الحافة CE
6الحافة DE
7الحافة DF
8الحافة EF
9الحافة GB
10الحافة GC
11الحافة GD

15.قواعد البيانات و SQLمتوسطة

يخزّن جدول عنوان العميل في كل صف من صفوف الطلبات. تغيير العنوان في صف دون الصفوف الأخرى مثال على:

Aالقراءة الشبحية
Bشذوذ التحديث
Cشذوذ الحذف
Dشذوذ الإدراج

16.قواعد البيانات و SQLصعبة

بالنظر إلى الاعتماديات الدالية A → B وB → C وC → D على R(A, B, C, D)، ما الانغلاق A⁺؟

A{A, B, C}
B{A, B}
C{A, B, C, D}
D{A}

17.شبكات الحاسوبمتوسطة

باستخدام التكافؤ الزوجي، ما بت التكافؤ الذي يُضاف إلى بتات البيانات 1011001؟

18.شبكات الحاسوبصعبة

وفق صيغة نايكويست، ما أقصى معدل بتات لقناة عرضها 3 kHz خالية من الضوضاء تستخدم 4 مستويات للإشارة؟

A12 kbit/s
B6 kbit/s
C3 kbit/s
D24 kbit/s

19.تقسيم شبكات IPv4متوسطة

يجب تقسيم الشبكة 192.168.10.0/24 إلى 8 شبكات فرعية متساوية على الأقل. إذا استعرت أقل عدد ممكن من البتات، فكم مضيفًا قابلًا للاستخدام H في كل شبكة فرعية؟

192.168.10.0/248 subnets

H =

20.تقسيم شبكات IPv4صعبة

تُقسَّم الشبكة 192.168.126.0/24 بتقنية VLSM لهذه الشبكات المحلية: A: 6 مضيفون, B: 12 مضيفون, C: 14 مضيفون, D: 32 مضيفون, E: 30 مضيفون. تُخصَّص الشبكات الفرعية من .0 صعودًا، بدءًا بالشبكة المحلية ذات أكبر عدد من المضيفين، لكلٍّ منها أصغر شبكة فرعية تكفيها. ما الثُمانية الرابعة x من عنوان شبكة LAN E؟

A: 6B: 12C: 14D: 32E: 30

x =

3المحاليل

1.أنظمة العد

الإجابة: U = 231

ضبط البتات: قيمة كل بت قوة للعدد اثنين (128 و64 … و1). الرقم السداسي عشري الواحد يساوي أربع بتات تمامًا، وفي المتمم الثنائي بـ 8 بتات تساوي قيمة البت الأيسر −128. وتعمل العمليات على مستوى البت على كل موضع بت على حدة.

اقلب وأضف واحدًا

25 = 0001 1001

مقلوب: 1110 0110

+1 → 1110 0111

اقرأه بلا إشارة

1110 0111₂ = 256 − 25 = 231

الإجابة

U = 231

2.أنظمة العد

الإجابة: R = 35

بتًا ببت

تعطي OR القيمة 1 حيث يكون أحد البتين على الأقل 1.

0010 0011

OR 0010 0001

= 0010 0011

قيمة الناتج

0010 0011₂ = 35

الإجابة

R = 35

3.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: N = 1

جداول الصدق: للصيغة ذات n متغيرًا مختلفًا 2ⁿ صفًا، صف لكل تركيبة من قيم الصدق (1 = صواب، 0 = خطأ). اعمل من الداخل إلى الخارج وأعطِ كل صيغة جزئية عمودها الخاص. ¬a تقلب القيمة؛ و a ∧ b تساوي 1 فقط عندما تكون القيمتان 1؛ و a ∨ b تساوي 0 فقط عندما تكون القيمتان 0؛ و a → b تساوي 0 فقط عندما a = 1 و b = 0؛ و a ↔ b تساوي 1 عندما يتساوى الطرفان.

جدول الصدق صفًا صفًا

a = 1, b = 1, c = 1: ¬a = 0, c ∨ a = 1, ¬a ∧ (c ∨ a) = 0, ¬c = 0, b ↔ ¬c = 0, (¬a ∧ (c ∨ a)) ∧ (b ↔ ¬c) = 0

a = 1, b = 1, c = 0: ¬a = 0, c ∨ a = 1, ¬a ∧ (c ∨ a) = 0, ¬c = 1, b ↔ ¬c = 1, (¬a ∧ (c ∨ a)) ∧ (b ↔ ¬c) = 0

a = 1, b = 0, c = 1: ¬a = 0, c ∨ a = 1, ¬a ∧ (c ∨ a) = 0, ¬c = 0, b ↔ ¬c = 1, (¬a ∧ (c ∨ a)) ∧ (b ↔ ¬c) = 0

a = 1, b = 0, c = 0: ¬a = 0, c ∨ a = 1, ¬a ∧ (c ∨ a) = 0, ¬c = 1, b ↔ ¬c = 0, (¬a ∧ (c ∨ a)) ∧ (b ↔ ¬c) = 0

a = 0, b = 1, c = 1: ¬a = 1, c ∨ a = 1, ¬a ∧ (c ∨ a) = 1, ¬c = 0, b ↔ ¬c = 0, (¬a ∧ (c ∨ a)) ∧ (b ↔ ¬c) = 0

a = 0, b = 1, c = 0: ¬a = 1, c ∨ a = 0, ¬a ∧ (c ∨ a) = 0, ¬c = 1, b ↔ ¬c = 1, (¬a ∧ (c ∨ a)) ∧ (b ↔ ¬c) = 0

a = 0, b = 0, c = 1: ¬a = 1, c ∨ a = 1, ¬a ∧ (c ∨ a) = 1, ¬c = 0, b ↔ ¬c = 1, (¬a ∧ (c ∨ a)) ∧ (b ↔ ¬c) = 1

a = 0, b = 0, c = 0: ¬a = 1, c ∨ a = 0, ¬a ∧ (c ∨ a) = 0, ¬c = 1, b ↔ ¬c = 0, (¬a ∧ (c ∨ a)) ∧ (b ↔ ¬c) = 0

عُدّ الصفوف ذات القيمة 1

(¬a ∧ (c ∨ a)) ∧ (b ↔ ¬c): 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0

N = 1

الإجابة

N = 1

4.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: ∀x (F(x) → ¬G(x))

الكمّمات والحجج: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) و ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). انقل النفي إلى الداخل، وبدّل كل كمّم يمرّ به، وانفِ الصيغة الداخلية بقوانين المنطق القضوي، مثل ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. تكون الحجة صحيحة عندما يكون الاستنتاج 1 في كل صف تكون فيه كل المقدمات 1. صف واحد بمقدمات صائبة واستنتاج خاطئ هو مثال مضاد ويبيّن أن الحجة غير صحيحة.

انقل النفي إلى الداخل

¬∃x (F(x) ∧ G(x)) ≡ ∀x (F(x) → ¬G(x))

الإجابة

∀x (F(x) → ¬G(x))

الخيارات الأخرى إما تُبقي كمّمًا دون تغيير، أو تغيّر ترتيب الكمّمات، أو تنفي الصيغة الداخلية نفيًا خاطئًا.

5.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: L = 4

الجبر البولياني: القواعد التي تبسّط التعابير هي X + X′ = 1 و X·X′ = 0، و X + X = X، والامتصاص X + X·Y = X، وقاعدة الدمج X·Y + X·Y′ = X، و X + X′Y = X + Y، ومبرهنة الإجماع XY + X′Z + YZ = XY + X′Z. تحوّل قوانين دي مورغان (X·Y)′ إلى X′ + Y′ و (X + Y)′ إلى X′·Y′. وتطبّق خريطة كارنو هذه القواعد بيانيًا: كل مجموعة من خليتين متجاورتين هي استخدام واحد لـ XY + XY′ = X.

الحدود الصغرى للتعبير

A′B′C → m(1)

A′B′C′ → m(0)

BC′ → m(2, 6)

جمّع واقرأ

F = BC′ + A′B′

عُدّ الحروف

L = 4

الإجابة

L = 4

6.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: N = 3

خرائط كارنو: ترتَّب الخلايا بشيفرة غراي (00, 01, 11, 10)، فتختلف الخلايا المتجاورة، بما فيها تلك التي عبر الحواف، في متغير واحد بالضبط. جمّع الآحاد في مستطيلات من 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، بأكبر حجم وأقل عدد ممكنين، حتى يُغطى كل 1. كل مجموعة حد جداء واحد: المتغيرات التي تبقى ثابتة داخلها. المجموعة من 2ᵏ خلية تفقد k متغيرًا. يجوز استخدام حالات عدم الاكتراث (X) لتكبير المجموعات لكن لا يجب تغطيتها أبدًا. أما تجميع الأصفار فيعطي الصيغة الدنيا POS.

المضمّنات الأولية

أكبر المجموعات التي يمكن تكوينها من الآحاد و X.

BD′, B′C′D, A′BC

التغطية الدنيا

F = BD′ + B′C′D + A′BC

N = 3

الإجابة

N = 3

7.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: x = 27

المعكوسات والتطابقات: للعدد a معكوس بالنسبة إلى n بالضبط عندما gcd(a, n) = 1. تكتب خوارزمية إقليدس الموسّعة 1 = s·n + t·a، ثم a⁻¹ ≡ t (mod n). التطابق a·x ≡ b (mod n) مع gcd(a, n) = 1 حلّه x ≡ a⁻¹·b. لتطابقين x ≡ r₁ (mod m₁) و x ≡ r₂ (mod m₂) بمقياسين أوليين فيما بينهما حل واحد بالنسبة إلى m₁·m₂ (مبرهنة الباقي الصينية). تعدّ φ(n) لأويلر الأعداد من 1 إلى n التي أولية مع n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

معكوس 47

r = 65, t = 0

r = 47, q = 1, t = 1

r = 18, q = 2, t = −1

r = 11, q = 1, t = 3

r = 7, q = 1, t = −4

r = 4, q = 1, t = 7

r = 3, q = 1, t = −11

r = 1, q = 3, t = 18

47⁻¹ ≡ 18 (mod 65)

الحل

x ≡ 18·34 = 612 ≡ 27 (mod 65)

تحقّق: 47·27 = 1269 ≡ 34 (mod 65)

الإجابة

x = 27

8.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: m = 174

القوى المودولية وRSA: احسب aᵏ mod n بالتربيع المتكرر: اكتب k بالنظام الثنائي، وربّع، واختزل بعد كل خطوة، واضرب القوى التي بتّها 1. فيرما: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) لعدد أولي p لا يقسم a، فيمكن اختزال الأس بالنسبة إلى p − 1. RSA: اختر عددين أوليين p و q، و n = p·q و φ(n) = (p − 1)(q − 1)؛ الأس العام e أولي مع φ(n)، والأس الخاص d = e⁻¹ mod φ(n). شفّر بـ c = mᵉ mod n وفكّ التشفير بـ m = cᵈ mod n.

الأس الخاص

n = 205, φ(n) = 160

d = 23⁻¹ mod 160 = 7

فك التشفير بالتربيع المتكرر

7 = 4 + 2 + 1

139¹ ≡ 139 (mod 205)

139² ≡ 51 (mod 205)

139⁴ ≡ 141 (mod 205)

139⁷ ≡ 139·51·141 ≡ 174 (mod 205)

الرسالة

m = 174

مبرهنة المصافحة لشجرة

L + 36 = 2(L + 9) − 2

L = 20

الإجابة

L = 20

اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.

14.نظرية البيانات

الإجابة: الحافة EF

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية برايم

1. DF (5)

2. EF (7)

3. GD (14)

4. GB (15)

5. AB (3)

6. AC (4)

2 × 3000 × log₂ 4 = 2 × 3000 × 2 = 12,000 bit/s. وزيادة المستويات ترفع المعدل، لكن الضوضاء تحدّ من عدد المستويات التي يمكن التمييز بينها.

الإجابة

A · 12 kbit/s

19.تقسيم شبكات IPv4

الإجابة: H = 30

تقسيم شبكات IPv4: يتكون العنوان من 32 بتة. تحدد البادئة /p عدد البتات الأولى التي تعرّف الشبكة؛ وتُرقّم البتات المتبقية 32 − p المضيفين. تحتوي الشبكة الفرعية على 2³²⁻ᵖ عنوانًا، لكن الأول (عنوان الشبكة) والأخير (عنوان البث) لا يُعطيان للمضيفين، فيتسع 2³²⁻ᵖ − 2 مضيفًا. الاستثناءات: الشبكة /31 (وصلة من نقطة إلى نقطة، RFC 3021) تستخدم كلا عنوانَيها الـ 2 للمضيفين، والشبكة /32 عنوان واحد فقط (مضيف واحد أو عنوان loopback).

البتات المستعارة

2³ = 8 ≥ 8 → b = 3, /27

المضيفون في كل شبكة فرعية

2⁵ − 2 = 30

الإجابة

H = 30

20.تقسيم شبكات IPv4

الإجابة: x = 64

VLSM: تحصل كل شبكة محلية على أصغر شبكة فرعية تحقّق 2ʰ − 2 ≥ عدد مضيفيها، أي البادئة 32 − h. تخصيص الشبكات الفرعية الأكبر أولًا يُبقي كل كتلة محاذية لمضاعف حجمها، لذا تُستنتج عناوين الشبكات بجمع أحجام الكتل.

حجم الكتلة لكل شبكة محلية

D: 32 مضيفون → 2⁶ = 64 (/26)

E: 30 مضيفون → 2⁵ = 32 (/27)

C: 14 مضيفون → 2⁴ = 16 (/28)

B: 12 مضيفون → 2⁴ = 16 (/28)

A: 6 مضيفون → 2³ = 8 (/29)

التخصيص، الأكبر أولًا

D: .0 – .63

E: .64 – .95

C: .96 – .111

B: .112 – .127

A: .128 – .135

الإجابة

x = 64

LAN E: 192.168.126.64/27.

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals