أساسيات علوم الحاسوب: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

أنظمة العد

القيم الموضعية: الثنائي 2^k، الثماني 8^k، الست عشري 16^k
إلى العشري: Σ d_k·b^k
من العشري: اقسم على الأساس، واقرأ البواقي من الأسفل إلى الأعلى
الست عشري ↔ الثنائي: رقم ست عشري واحد = 4 بتات
المتمم الثنائي: اعكس البتات وأضف 1

المنطق القضوي والبراهين

صفوف جدول الصدق: 2ⁿ
الاستلزام: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
نفي الاستلزام: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
الشرط الثنائي: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
دي مورغان: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
قوانين التوزيع: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
نفي الكمّمات: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
قاعدة الوضع (modus ponens) وقاعدة الرفع (modus tollens): p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

الطريقة

عُدّ المتغيرات المختلفة: لجدول الصدق 2ⁿ صفًا، ويبدأ بصف تكون فيه كلها 1.
أعطِ كل صيغة جزئية عمودها الخاص واملأ الأعمدة من الداخل إلى الخارج.
طبّق قاعدة كل رابط: → يساوي 0 فقط في الحالة 1 → 0، و ↔ يساوي 1 عندما يتفق الطرفان.
للتكافؤات قارن العمودين الأخيرين صفًا بصف؛ وللحجة انظر فقط إلى الصفوف التي تكون فيها كل المقدمات 1.
لنفي عبارة مكمَّمة، انقل ¬ إلى الداخل، وبدّل ∀ و ∃، وانفِ الصيغة الداخلية.

المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

البوابات الأساسية: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
القواعد البولية: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
دي مورغان: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ترتيب خريطة كارنو: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
مجموعة من 2ᵏ خلية: تفقد k متغيرًا
مضاعِف 4-إلى-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
القلّابات: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
العدّادات: n بتّات: 2ⁿ حالة؛ mod-N: أصغر n يحقق 2ⁿ ≥ N؛ f_out = f_clk/N
العدّاد المتموّج: f_max = 1/(n·t_pd)
العدّادان الحلقي وجونسون: n و 2n حالة

الطريقة

لدارة ما، اعمل من المداخل إلى المخرج بوابةً بوابةً واكتب القيمة على كل سلك، أو اكتب تعبيرها واملأ جدول الصدق.
للتبسيط ضع الآحاد (وحالات عدم الاكتراث على شكل X) في خريطة كارنو بصفوف وأعمدة بشيفرة غراي: 00, 01, 11, 10.
غطِّ الآحاد بأقل عدد ممكن وأكبر حجم ممكن من المجموعات ذات 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، مع الالتفاف حول الحواف؛ كل مجموعة حد جداء واحد من المتغيرات التي تبقى ثابتة. جمّع الأصفار للصيغة POS.
للقلّابات والعدّادات اقرأ المداخل عند كل حافة ساعة فعالة، واكتب الحالة بعد كل حافة، وتذكّر أن عدّادًا ذا n بتّات يلتف بعد 2ⁿ حالة.

نظرية الأعداد والحساب المودولي

القسمة مع الباقي: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
إقليدس: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
المضاعف المشترك الأصغر: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
المعكوس: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
التطابق الخطي: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
دالة أويلر φ: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
فيرما: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

الطريقة

اختزل كل عدد بالنسبة إلى n أولًا؛ البواقي تقع بين 0 و n − 1.
للقاسم المشترك الأكبر، اقسم مرارًا بخوارزمية إقليدس؛ آخر باقٍ غير صفري هو القاسم المشترك الأكبر.
للمعكوس، نفّذ الخوارزمية الموسّعة واحتفظ بمعامل a؛ أضف n إذا كان سالبًا.
حلّ a·x ≡ b بالضرب في a⁻¹؛ ولدمج تطابقين اكتب x = r₁ + m₁k.
للقوى اكتب الأس بالنظام الثنائي وربّع مرارًا؛ وفي RSA، d = e⁻¹ mod φ(n) مع φ(n) = (p − 1)(q − 1).

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة: Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
البيان المنتظم: |E| = n·k/2
الشجرة والغابة: |E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر: الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في K_n: (n − 1)!/2
تحديث ديكسترا: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L: (Mᴸ)_ij

الطريقة

اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

تقسيم شبكات IPv4

المضيفون في كل شبكة فرعية: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
حجم الكتلة: 256 − (mask octet)
عنوان الشبكة: IP AND القناع
عنوان البث: IP OR (NOT mask): كل بتات المضيف = 1
الشبكات الفرعية من n بتات مستعارة: 2ⁿ

2مسائل تدريبية

1.أنظمة العدمتوسطة

اضبط البتات بحيث تخزن −34 في المتمم الثنائي بـ 8 بتات. إذا قُرئ كعدد بدون إشارة، فما قيمة النمط U؟

N = −348 bit

U =

2.أنظمة العدصعبة

ما أكبر عدد صحيح بلا إشارة N يتسع في 16 بتة؟

16 bit

N =

3.المنطق القضوي والبراهينمتوسطة

تريد إثبات q → (r ∧ p) بالعكس النقيض. أي استلزام تبرهن بدلًا منه؟ انقر عليه.

q → (r ∧ p)

1¬(r ∧ p) → ¬q
2¬q → ¬(r ∧ p)
3q ∧ ¬(r ∧ p)
4(r ∧ p) → q

4.المنطق القضوي والبراهينصعبة

كم صفًا من الصفوف الـ 16 لجدول الصدق تجعل ¬(((s ∨ p) ∨ ¬(p ∨ r)) ∧ ((q ∨ r) → q)) صائبة؟ سمِّ هذا العدد N.

¬(((s ∨ p) ∨ ¬(p ∨ r)) ∧ ((q ∨ r) → q))

N =

5.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتمتوسطة

استخدم خريطة كارنو لإيجاد الصيغة الدنيا لجداء المجاميع (POS) للدالة F(A, B, C) = Σm(0, 2, 3, 4, 7). كم حد مجموع (عاملًا) N فيها؟

F(A, B, C) = Σm(0, 2, 3, 4, 7)

N =

6.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتصعبة

للدالة F(A, B, C, D) = Σm(4, 8, 11, 12) + d(2, 6, 14)، حيث تشير d إلى حالات عدم الاكتراث، جد عدد N المضمّنات الأولية الجوهرية (essential prime implicants).

F(A, B, C, D) = Σm(4, 8, 11, 12) + d(2, 6, 14)

N =

7.نظرية الأعداد والحساب المودوليمتوسطة

جد أصغر عدد صحيح موجب x مع x ≡ 2 (mod 5) و x ≡ 5 (mod 9).

x ≡ 2 (mod 5)x ≡ 5 (mod 9)

x =

8.نظرية الأعداد والحساب المودوليصعبة

حلّ 22x ≡ 12 (mod 74). أعطِ أصغر حل موجب x.

22x ≡ 12 (mod 74)

x =

9.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

تكون البرمجة الديناميكية مفيدة عندما تحتوي المسألة على:

Aحلقة واحدة
Bلا مسائل فرعية على الإطلاق، فيمكن حلها في خطوة واحدة
Cمسائل فرعية متداخلة وبنية فرعية مثلى
Dمدخلات عشوائية فقط

10.الخوارزميات والتعقيدصعبة

لماذا يحتاج أي بحث قائم على المقارنة في مصفوفة مرتبة إلى Ω(log n) مقارنة في أسوأ الحالات؟

Aلأن شجرة قرار لها n نتيجة ممكنة يجب أن يكون عمقها log₂ n على الأقل
Bلأن كل عنصر يجب أن يُقارَن مرة واحدة على الأقل
Cلأن كل مقارنة تستغرق زمنًا لوغاريتميًا
Dلأن البحث الثنائي هو الخوارزمية الوحيدة الممكنة، وهو يحتاج إلى log₂ n مقارنة

11.هياكل البياناتمتوسطة

ما قيمة التعبير اللاحق (postfix) 3 4 + 2 *؟

12.هياكل البياناتصعبة

أي زوج من الاجتيازات يحدد دائمًا شجرة ثنائية فريدة ذات مفاتيح متمايزة؟

Aالقبلي والبعدي
Bالقبلي وحده
Cمستوى بعد مستوى وحده
Dالقبلي والوسطي

13.نظرية البياناتمتوسطة

بيان متصل له 17 رؤوس و24 حافة. كم حافة k يجب حذفها لتبقى شجرة ممتدة؟

|V| = 17|E| = 24

k =

14.نظرية البياناتصعبة

جد الوزن الكلي W لشجرة ممتدة دنيا في البيان الموزون.

|V| = 6|E| = 8

W =

15.قواعد البيانات و SQLمتوسطة

في الجبر العلائقي، يقابل عامل الاختيار (σ) أي جملة في SQL؟

AWHERE
BGROUP BY
Cقائمة SELECT
DORDER BY

16.قواعد البيانات و SQLصعبة

بعد customers LEFT JOIN orders، لماذا تُستخدم COUNT(o.id) بدلًا من COUNT(*) لعدّ الطلبات لكل عميل؟

Aلأن COUNT(o.id) تعدّ العملاء المميزين فقط
Bلأن COUNT(*) تتجاهل الصفوف ذات القيم NULL
Cلأن COUNT(*) غير مسموح بها بعد الربط
Dلأن COUNT(*) تعدّ الصف المملوء بـ NULL على أنه 1 للعملاء الذين لا طلبات لهم

17.شبكات الحاسوبمتوسطة

ماذا يحدد سجل MX في DNS؟

Aاسمًا مستعارًا لمضيف آخر
Bعنوان IPv4 لخادم ويب
Cخوادم البريد التي تستقبل البريد الإلكتروني لنطاق ما
Dخوادم الأسماء لمنطقة ما

18.شبكات الحاسوبصعبة

يستطيع مستخدم تنفيذ ping إلى 8.8.8.8 لكنه لا يستطيع فتح أي موقع بالاسم. أين المشكلة على الأرجح؟

Aتحليل الأسماء (DNS)
Bالبوابة الافتراضية
Cالكابل المادي
Dبرنامج تشغيل بطاقة الشبكة

19.تقسيم شبكات IPv4متوسطة

يحتاج قسم إلى 1027 عنوان مضيف في شبكة فرعية واحدة. ما أطول بادئة p (أصغر شبكة فرعية) تكفي؟

1027 hosts

p =

20.تقسيم شبكات IPv4صعبة

لدى موجّه مسارات إلى هذه الشبكات: 10.153.19.0/24, 10.153.20.0/24. ما أطول طول بادئة p لمسار تلخيصي واحد يغطّيها كلها؟

10.153.19.0/24 … 10.153.20.0/24

p =

3المحاليل

1.أنظمة العد

الإجابة: U = 222

ضبط البتات: قيمة كل بت قوة للعدد اثنين (128 و64 … و1). الرقم السداسي عشري الواحد يساوي أربع بتات تمامًا، وفي المتمم الثنائي بـ 8 بتات تساوي قيمة البت الأيسر −128. وتعمل العمليات على مستوى البت على كل موضع بت على حدة.

اقلب وأضف واحدًا

34 = 0010 0010

مقلوب: 1101 1101

+1 → 1101 1110

اقرأه بلا إشارة

1101 1110₂ = 256 − 34 = 222

الإجابة

U = 222

2.أنظمة العد

الإجابة: N = 65535

أنظمة العد الموضعية: قيمة كل رقم هي قيمته مضروبة في قوة من قوى الأساس. في النظام الثنائي تساوي المواضع 1، 2، 4، 8، 16، …؛ وفي السداسي عشري 1، 16، 256، …، حيث تمثل A–F القيم 10–15. في المتمم الثنائي ذي 8 بتات تساوي البتة اليسرى −128 بدلًا من +128، وهكذا تُخزَّن الأعداد السالبة.

أكبر قيمة

2¹⁶ − 1 = 65535

الإجابة

N = 65535

3.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: ¬(r ∧ p) → ¬q

التكافؤ المنطقي: تتكافأ صيغتان (≡) عندما يكون لهما القيمة نفسها في كل صف من جدول الصدق. الحشو يساوي 1 في كل صف، والتناقض يساوي 0 في كل صف، والممكن ليس هذا ولا ذاك. قوانين مفيدة: دي مورغان، ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b و ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b؛ و a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (العكس النقيض)؛ و ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b؛ وقوانين التوزيع، a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

أجزاء الاستلزام

a = q, b = r ∧ p

العكس النقيض

¬b → ¬a = ¬(r ∧ p) → ¬q

الإجابة

¬(r ∧ p) → ¬q

العكس النقيض يكافئ العبارة الأصلية، فإثباته يثبت العبارة.

4.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: N = 5

جداول الصدق: للصيغة ذات n متغيرًا مختلفًا 2ⁿ صفًا، صف لكل تركيبة من قيم الصدق (1 = صواب، 0 = خطأ). اعمل من الداخل إلى الخارج وأعطِ كل صيغة جزئية عمودها الخاص. ¬a تقلب القيمة؛ و a ∧ b تساوي 1 فقط عندما تكون القيمتان 1؛ و a ∨ b تساوي 0 فقط عندما تكون القيمتان 0؛ و a → b تساوي 0 فقط عندما a = 1 و b = 0؛ و a ↔ b تساوي 1 عندما يتساوى الطرفان.

الأعمدة

s ∨ p; p ∨ r; ¬(p ∨ r); (s ∨ p) ∨ ¬(p ∨ r); q ∨ r; (q ∨ r) → q; ((s ∨ p) ∨ ¬(p ∨ r)) ∧ ((q ∨ r) → q); ¬(((s ∨ p) ∨ ¬(p ∨ r)) ∧ ((q ∨ r) → q))

قسّم على p

p = 1: 2

p = 0: 3

N = 2 + 3 = 5

الإجابة

N = 5

5.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: N = 2

خرائط كارنو: ترتَّب الخلايا بشيفرة غراي (00, 01, 11, 10)، فتختلف الخلايا المتجاورة، بما فيها تلك التي عبر الحواف، في متغير واحد بالضبط. جمّع الآحاد في مستطيلات من 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، بأكبر حجم وأقل عدد ممكنين، حتى يُغطى كل 1. كل مجموعة حد جداء واحد: المتغيرات التي تبقى ثابتة داخلها. المجموعة من 2ᵏ خلية تفقد k متغيرًا. يجوز استخدام حالات عدم الاكتراث (X) لتكبير المجموعات لكن لا يجب تغطيتها أبدًا. أما تجميع الأصفار فيعطي الصيغة الدنيا POS.

جمّع الأصفار

كل مجموعة مستطيل من 2ᵏ خلية؛ وخلايا الحافة جارة للخلايا على الحافة المقابلة.

(B + C′)

(A′ + B′ + C)

الصيغة الدنيا POS

F = (B + C′)(A′ + B′ + C)

N = 2

الإجابة

N = 2

6.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: N = 3

المضمّنات الأولية

أكبر المجموعات التي يمكن تكوينها من الآحاد و X.

BD′, AC′D′, AB′CD

المضمّنات الأولية الجوهرية

BD′, AC′D′, AB′CD

N = 3

الإجابة

N = 3

7.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: x = 32

المعكوسات والتطابقات: للعدد a معكوس بالنسبة إلى n بالضبط عندما gcd(a, n) = 1. تكتب خوارزمية إقليدس الموسّعة 1 = s·n + t·a، ثم a⁻¹ ≡ t (mod n). التطابق a·x ≡ b (mod n) مع gcd(a, n) = 1 حلّه x ≡ a⁻¹·b. لتطابقين x ≡ r₁ (mod m₁) و x ≡ r₂ (mod m₂) بمقياسين أوليين فيما بينهما حل واحد بالنسبة إلى m₁·m₂ (مبرهنة الباقي الصينية). تعدّ φ(n) لأويلر الأعداد من 1 إلى n التي أولية مع n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

التطابق الأول

x = 2 + 5k

التطابق الثاني

2 + 5k ≡ 5 (mod 9) → 5k ≡ 3 (mod 9)

k ≡ 2·3 ≡ 6 (mod 9)

النتيجة

x = 2 + 5·6 = 32

x = 32

تحقّق: 32 mod 5 = 2, 32 mod 9 = 5

الإجابة

x = 32

8.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: x = 14

اقسم على القاسم المشترك الأكبر

gcd(22, 74) = 2

11x ≡ 6 (mod 37)

حلّ التطابق المختزل

11⁻¹ ≡ 27 (mod 37) → x ≡ 14 (mod 37)

الحلول بالنسبة إلى 74

x ∈ {14, 51}

حواف الشجرة الممتدة

17 − 1 = 16

الحواف المراد حذفها

k = 24 − 16 = 8

الإجابة

k = 8

14.نظرية البيانات

الإجابة: W = 40

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية كروسكال

AB (1): خذ

BC (2): خذ

AC (7): تخطَّ، تُغلق دورة

A · تحليل الأسماء (DNS)

19.تقسيم شبكات IPv4

الإجابة: p = 21

تقسيم شبكات IPv4: يتكون العنوان من 32 بتة. تحدد البادئة /p عدد البتات الأولى التي تعرّف الشبكة؛ وتُرقّم البتات المتبقية 32 − p المضيفين. تحتوي الشبكة الفرعية على 2³²⁻ᵖ عنوانًا، لكن الأول (عنوان الشبكة) والأخير (عنوان البث) لا يُعطيان للمضيفين، فيتسع 2³²⁻ᵖ − 2 مضيفًا. الاستثناءات: الشبكة /31 (وصلة من نقطة إلى نقطة، RFC 3021) تستخدم كلا عنوانَيها الـ 2 للمضيفين، والشبكة /32 عنوان واحد فقط (مضيف واحد أو عنوان loopback).

بتات المضيف اللازمة

2¹⁰ − 2 = 1022 < 1027

2¹¹ − 2 = 2046 ≥ 1027 → h = 11

طول البادئة

p = 32 − 11 = 21

الإجابة

p = /21

20.تقسيم شبكات IPv4

الإجابة: p = 21

تلخيص المسارات: المسار التلخيصي a.b.c.0/p يغطّي كل الشبكات التي تتطابق بتاتها الأولى p. اكتب الثُمانية المختلفة للشبكة الأولى والأخيرة بالنظام الثنائي؛ عدد البتات الأولى المشتركة، زائد بتات الثُمانيات التي قبلها، هو أطول بادئة تلخيصية.

قارن البتات

19 = 00010011

20 = 00010100

البتات الأولى المشتركة: 5

طول البادئة

p = 16 + 5 = 21

الإجابة

p = /21

المسار التلخيصي: 10.153.16.0/21 (وهو يغطّي أيضًا 6 شبكة (شبكات) ليست في القائمة).

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals