أساسيات علوم الحاسوب: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

أنظمة العد

القيم الموضعية: الثنائي 2^k، الثماني 8^k، الست عشري 16^k
إلى العشري: Σ d_k·b^k
من العشري: اقسم على الأساس، واقرأ البواقي من الأسفل إلى الأعلى
الست عشري ↔ الثنائي: رقم ست عشري واحد = 4 بتات
المتمم الثنائي: اعكس البتات وأضف 1

المنطق القضوي والبراهين

صفوف جدول الصدق: 2ⁿ
الاستلزام: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
نفي الاستلزام: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
الشرط الثنائي: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
دي مورغان: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
قوانين التوزيع: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
نفي الكمّمات: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
قاعدة الوضع (modus ponens) وقاعدة الرفع (modus tollens): p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

الطريقة

عُدّ المتغيرات المختلفة: لجدول الصدق 2ⁿ صفًا، ويبدأ بصف تكون فيه كلها 1.
أعطِ كل صيغة جزئية عمودها الخاص واملأ الأعمدة من الداخل إلى الخارج.
طبّق قاعدة كل رابط: → يساوي 0 فقط في الحالة 1 → 0، و ↔ يساوي 1 عندما يتفق الطرفان.
للتكافؤات قارن العمودين الأخيرين صفًا بصف؛ وللحجة انظر فقط إلى الصفوف التي تكون فيها كل المقدمات 1.
لنفي عبارة مكمَّمة، انقل ¬ إلى الداخل، وبدّل ∀ و ∃، وانفِ الصيغة الداخلية.

المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

البوابات الأساسية: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
القواعد البولية: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
دي مورغان: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ترتيب خريطة كارنو: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
مجموعة من 2ᵏ خلية: تفقد k متغيرًا
مضاعِف 4-إلى-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
القلّابات: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
العدّادات: n بتّات: 2ⁿ حالة؛ mod-N: أصغر n يحقق 2ⁿ ≥ N؛ f_out = f_clk/N
العدّاد المتموّج: f_max = 1/(n·t_pd)
العدّادان الحلقي وجونسون: n و 2n حالة

الطريقة

لدارة ما، اعمل من المداخل إلى المخرج بوابةً بوابةً واكتب القيمة على كل سلك، أو اكتب تعبيرها واملأ جدول الصدق.
للتبسيط ضع الآحاد (وحالات عدم الاكتراث على شكل X) في خريطة كارنو بصفوف وأعمدة بشيفرة غراي: 00, 01, 11, 10.
غطِّ الآحاد بأقل عدد ممكن وأكبر حجم ممكن من المجموعات ذات 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، مع الالتفاف حول الحواف؛ كل مجموعة حد جداء واحد من المتغيرات التي تبقى ثابتة. جمّع الأصفار للصيغة POS.
للقلّابات والعدّادات اقرأ المداخل عند كل حافة ساعة فعالة، واكتب الحالة بعد كل حافة، وتذكّر أن عدّادًا ذا n بتّات يلتف بعد 2ⁿ حالة.

نظرية الأعداد والحساب المودولي

القسمة مع الباقي: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
إقليدس: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
المضاعف المشترك الأصغر: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
المعكوس: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
التطابق الخطي: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
دالة أويلر φ: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
فيرما: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

الطريقة

اختزل كل عدد بالنسبة إلى n أولًا؛ البواقي تقع بين 0 و n − 1.
للقاسم المشترك الأكبر، اقسم مرارًا بخوارزمية إقليدس؛ آخر باقٍ غير صفري هو القاسم المشترك الأكبر.
للمعكوس، نفّذ الخوارزمية الموسّعة واحتفظ بمعامل a؛ أضف n إذا كان سالبًا.
حلّ a·x ≡ b بالضرب في a⁻¹؛ ولدمج تطابقين اكتب x = r₁ + m₁k.
للقوى اكتب الأس بالنظام الثنائي وربّع مرارًا؛ وفي RSA، d = e⁻¹ mod φ(n) مع φ(n) = (p − 1)(q − 1).

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة: Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
البيان المنتظم: |E| = n·k/2
الشجرة والغابة: |E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر: الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في K_n: (n − 1)!/2
تحديث ديكسترا: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L: (Mᴸ)_ij

الطريقة

اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

تقسيم شبكات IPv4

المضيفون في كل شبكة فرعية: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
حجم الكتلة: 256 − (mask octet)
عنوان الشبكة: IP AND القناع
عنوان البث: IP OR (NOT mask): كل بتات المضيف = 1
الشبكات الفرعية من n بتات مستعارة: 2ⁿ

2مسائل تدريبية

1.أنظمة العدمتوسطة

النمط ذو 8 بتات 1111 1000 يخزّن عددًا صحيحًا بإشارة بصيغة المتمم الثنائي. ما قيمته N في النظام العشري؟

1111 10008 bit

N =

2.أنظمة العدصعبة

اضبط البتات على الناتج بـ 8 بتات لـ 0110 1110 XOR 1101 1101. ما قيمة الناتج R بالعشري؟

0110 1110XOR1101 1101

R =

3.المنطق القضوي والبراهينمتوسطة

تريد إثبات (p ∨ r) → q بالعكس النقيض. أي استلزام تبرهن بدلًا منه؟ انقر عليه.

(p ∨ r) → q

1¬q → ¬(p ∨ r)
2(p ∨ r) ∧ ¬q
3q → (p ∨ r)
4¬(p ∨ r) → ¬q

4.المنطق القضوي والبراهينصعبة

أي عبارة تكافئ ¬∀x ∃y R(x, y) مع نقل النفي إلى الداخل تمامًا؟ انقر عليها.

¬∀x ∃y R(x, y)

1∀x ∀y ¬R(x, y)
2∀x ∃y ¬R(x, y)
3∃y ∀x ¬R(x, y)
4∃x ∀y ¬R(x, y)

5.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتمتوسطة

بسّط F = A′B′C + A′C + A′BC′ + AC إلى الصيغة الدنيا لمجموع الجداءات. كم حرفًا L يحتوي التعبير المبسَّط؟

F = A′B′C + A′C + A′BC′ + AC

L =

6.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتصعبة

جد الصيغة الدنيا SOP للدالة F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 5, 7, 8, 9) + d(0, 3, 4, 10, 11, 13)، حيث تشير d إلى حالات عدم الاكتراث. كم حد جداء N فيها؟

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 5, 7, 8, 9) + d(0, 3, 4, 10, 11, 13)

N =

7.نظرية الأعداد والحساب المودوليمتوسطة

حلّ 51x ≡ 61 (mod 73). أعطِ الحل x مع 0 < x < 73.

51x ≡ 61 (mod 73)

x =

8.نظرية الأعداد والحساب المودوليصعبة

حلّ 40x ≡ 55 (mod 65). أعطِ أصغر حل موجب x.

40x ≡ 55 (mod 65)

x =

9.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

أي خوارزمية تجد أقصر المسارات من مصدر واحد في رسم بياني أوزان أضلاعه غير سالبة؟

Aخوارزمية بيلمان–فورد مطلوبة في جميع الحالات
Bالبحث بالعمق أولًا (DFS)
Cخوارزمية ديكسترا (Dijkstra)
Dخوارزمية كروسكال (Kruskal)

10.الخوارزميات والتعقيدصعبة

ماذا سيترتب لو وجد أحدهم خوارزمية كثيرة حدود لمسألة NP-تامة واحدة؟

Aتصبح مسألة التوقف قابلة للحسم
Bتنتقل تلك المسألة وحدها إلى P
Cتصبح كل الخوارزميات ذات الزمن الأسّي خطية فورًا
Dيمكن حل كل مسألة في NP في زمن كثير حدود، أي P = NP

11.هياكل البياناتمتوسطة

في طابور دائري مخزّن في مصفوفة سعتها n، كيف يُحسب الموضع التالي بعد الفهرس i؟

A2i + 1
Bi + 1
C(i − 1) mod n
D(i + 1) mod n

12.هياكل البياناتصعبة

يجب أن تحتفظ بأصغر k قيمة من تدفق من n عددًا باستخدام ذاكرة O(k). أي طريقة تعمل في زمن O(n log k)؟

Aكومة عظمى حجمها k، يُستبدل جذرها حين تصل قيمة أصغر
Bطابور FIFO لآخر k قيمة
Cكومة صغرى تحمل القيم n كلها، تُستخرج منها أصغر k قيمة في النهاية
Dمصفوفة مرتبة لكل القيم n

13.نظرية البياناتمتوسطة

كم دارة هاملتون مختلفة H للبيان التام K₆؟ الدارات التي تختلف فقط في رأس البداية أو الاتجاه تُعدّ واحدة.

K₆

H =

14.نظرية البياناتصعبة

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F

d(F) =

15.قواعد البيانات و SQLمتوسطة

ما القراءة القذرة (dirty read)؟

Aقراءة الصف نفسه مرتين والحصول على القيمة نفسها
Bقراءة البيانات دون جملة WHERE
Cقراءة بيانات من قرص تالف
Dقراءة بيانات كتبتها معاملة أخرى لم تُثبَّت بعد

16.قواعد البيانات و SQLصعبة

لماذا يُعد NATURAL JOIN محفوفًا بالمخاطر في استعلامات بيئة الإنتاج؟

Aلأنه يربط على كل عمود يحمل الاسم نفسه، فقد يغيّر عمود جديد النتيجة بصمت
Bلأنه يتجاهل المفاتيح الأساسية والأجنبية ولا يُبقي إلا صفوف NULL
Cلأنه غير مدعوم في أي قاعدة بيانات
Dلأنه يُرجع دائمًا ضربًا ديكارتيًا

17.شبكات الحاسوبمتوسطة

ماذا يحدد سجل MX في DNS؟

Aعنوان IPv4 لخادم ويب
Bخوادم الأسماء لمنطقة ما
Cخوادم البريد التي تستقبل البريد الإلكتروني لنطاق ما
Dاسمًا مستعارًا لمضيف آخر

18.شبكات الحاسوبصعبة

بعد التصادمات المتكررة تختار محطات Ethernet الكلاسيكية زمن انتظارها من نطاق يتضاعف في كل مرة. لماذا؟

Aلمزامنة جميع المحطات على ساعة واحدة
Bلمنح الأولوية للمحطة صاحبة أعلى عنوان MAC على الكابل المشترك
Cلجعل الكابل يحمل الإشارات مسافة أبعد
Dلتقليل احتمال التصادم مجددًا عندما تتنافس محطات كثيرة

19.تقسيم شبكات IPv4متوسطة

يحتاج قسم إلى 410 عنوان مضيف في شبكة فرعية واحدة. ما أطول بادئة p (أصغر شبكة فرعية) تكفي؟

410 hosts

p =

20.تقسيم شبكات IPv4صعبة

عنوان مضيف هو 10.20.12.52/28. ما الثُمانية الرابعة x من عنوان شبكته؟

10.20.12.52/28

x =

3المحاليل

1.أنظمة العد

الإجابة: N = −8

أنظمة العد الموضعية: قيمة كل رقم هي قيمته مضروبة في قوة من قوى الأساس. في النظام الثنائي تساوي المواضع 1، 2، 4، 8، 16، …؛ وفي السداسي عشري 1، 16، 256، …، حيث تمثل A–F القيم 10–15. في المتمم الثنائي ذي 8 بتات تساوي البتة اليسرى −128 بدلًا من +128، وهكذا تُخزَّن الأعداد السالبة.

اجمع القيم

تحتفظ البتات الأخرى بقيمها الموجبة المعتادة.

−128 + 64 + 32 + 16 + 8 = −8

الإجابة

N = −8

2.أنظمة العد

الإجابة: R = 179

ضبط البتات: قيمة كل بت قوة للعدد اثنين (128 و64 … و1). الرقم السداسي عشري الواحد يساوي أربع بتات تمامًا، وفي المتمم الثنائي بـ 8 بتات تساوي قيمة البت الأيسر −128. وتعمل العمليات على مستوى البت على كل موضع بت على حدة.

بتًا ببت

تعطي XOR القيمة 1 حيث يختلف البتان.

0110 1110

XOR 1101 1101

= 1011 0011

قيمة الناتج

1011 0011₂ = 179

الإجابة

R = 179

3.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: ¬q → ¬(p ∨ r)

التكافؤ المنطقي: تتكافأ صيغتان (≡) عندما يكون لهما القيمة نفسها في كل صف من جدول الصدق. الحشو يساوي 1 في كل صف، والتناقض يساوي 0 في كل صف، والممكن ليس هذا ولا ذاك. قوانين مفيدة: دي مورغان، ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b و ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b؛ و a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (العكس النقيض)؛ و ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b؛ وقوانين التوزيع، a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

أجزاء الاستلزام

a = p ∨ r, b = q

العكس النقيض

¬b → ¬a = ¬q → ¬(p ∨ r)

الإجابة

¬q → ¬(p ∨ r)

العكس النقيض يكافئ العبارة الأصلية، فإثباته يثبت العبارة.

4.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: ∃x ∀y ¬R(x, y)

الكمّمات والحجج: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) و ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). انقل النفي إلى الداخل، وبدّل كل كمّم يمرّ به، وانفِ الصيغة الداخلية بقوانين المنطق القضوي، مثل ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. تكون الحجة صحيحة عندما يكون الاستنتاج 1 في كل صف تكون فيه كل المقدمات 1. صف واحد بمقدمات صائبة واستنتاج خاطئ هو مثال مضاد ويبيّن أن الحجة غير صحيحة.

انقل النفي إلى الداخل

¬∀x ∃y R(x, y) ≡ ∃x ∀y ¬R(x, y)

الإجابة

∃x ∀y ¬R(x, y)

الخيارات الأخرى إما تُبقي كمّمًا دون تغيير، أو تغيّر ترتيب الكمّمات، أو تنفي الصيغة الداخلية نفيًا خاطئًا.

5.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: L = 3

الجبر البولياني: القواعد التي تبسّط التعابير هي X + X′ = 1 و X·X′ = 0، و X + X = X، والامتصاص X + X·Y = X، وقاعدة الدمج X·Y + X·Y′ = X، و X + X′Y = X + Y، ومبرهنة الإجماع XY + X′Z + YZ = XY + X′Z. تحوّل قوانين دي مورغان (X·Y)′ إلى X′ + Y′ و (X + Y)′ إلى X′·Y′. وتطبّق خريطة كارنو هذه القواعد بيانيًا: كل مجموعة من خليتين متجاورتين هي استخدام واحد لـ XY + XY′ = X.

الحدود الصغرى للتعبير

A′B′C → m(1)

A′C → m(1, 3)

A′BC′ → m(2)

AC → m(5, 7)

جمّع واقرأ

F = C + A′B

عُدّ الحروف

L = 3

الإجابة

L = 3

6.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: N = 2

خرائط كارنو: ترتَّب الخلايا بشيفرة غراي (00, 01, 11, 10)، فتختلف الخلايا المتجاورة، بما فيها تلك التي عبر الحواف، في متغير واحد بالضبط. جمّع الآحاد في مستطيلات من 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، بأكبر حجم وأقل عدد ممكنين، حتى يُغطى كل 1. كل مجموعة حد جداء واحد: المتغيرات التي تبقى ثابتة داخلها. المجموعة من 2ᵏ خلية تفقد k متغيرًا. يجوز استخدام حالات عدم الاكتراث (X) لتكبير المجموعات لكن لا يجب تغطيتها أبدًا. أما تجميع الأصفار فيعطي الصيغة الدنيا POS.

المضمّنات الأولية

أكبر المجموعات التي يمكن تكوينها من الآحاد و X.

C′D, B′, A′D, A′C′

التغطية الدنيا

F = B′ + A′D

N = 2

الإجابة

N = 2

7.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: x = 47

المعكوسات والتطابقات: للعدد a معكوس بالنسبة إلى n بالضبط عندما gcd(a, n) = 1. تكتب خوارزمية إقليدس الموسّعة 1 = s·n + t·a، ثم a⁻¹ ≡ t (mod n). التطابق a·x ≡ b (mod n) مع gcd(a, n) = 1 حلّه x ≡ a⁻¹·b. لتطابقين x ≡ r₁ (mod m₁) و x ≡ r₂ (mod m₂) بمقياسين أوليين فيما بينهما حل واحد بالنسبة إلى m₁·m₂ (مبرهنة الباقي الصينية). تعدّ φ(n) لأويلر الأعداد من 1 إلى n التي أولية مع n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

معكوس 51

r = 73, t = 0

r = 51, q = 1, t = 1

r = 22, q = 2, t = −1

r = 7, q = 3, t = 3

r = 1, q = 7, t = −10

51⁻¹ ≡ 63 (mod 73)

الحل

x ≡ 63·61 = 3843 ≡ 47 (mod 73)

تحقّق: 51·47 = 2397 ≡ 61 (mod 73)

الإجابة

x = 47

8.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: x = 3

اقسم على القاسم المشترك الأكبر

gcd(40, 65) = 5

8x ≡ 11 (mod 13)

حلّ التطابق المختزل

8⁻¹ ≡ 5 (mod 13) → x ≡ 3 (mod 13)

الحلول بالنسبة إلى 65

x ∈ {3, 16, 29, 42, 55}

عُدّ

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

الإجابة

H = 60

14.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 23

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 8, C: 12

B (8): D: 15

C (12): E: 17

D (15): F: 23

E (17)

F (23)

أقصر مسار

A → B → D → F

بتات المضيف اللازمة

2⁸ − 2 = 254 < 410

2⁹ − 2 = 510 ≥ 410 → h = 9

طول البادئة

p = 32 − 9 = 23

الإجابة

p = /23

20.تقسيم شبكات IPv4

الإجابة: x = 48

حجم الكتلة

2⁴ = 16

الشبكة الفرعية لهذا المضيف

الشبكة: ⌊52/16⌋·16 = 48

البث: 48 + 16 − 1 = 63

المضيفون القابلون للاستخدام: 49 … 62

الإجابة

x = 48

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals