أساسيات علوم الحاسوب: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

أنظمة العد

القيم الموضعية: الثنائي 2^k، الثماني 8^k، الست عشري 16^k
إلى العشري: Σ d_k·b^k
من العشري: اقسم على الأساس، واقرأ البواقي من الأسفل إلى الأعلى
الست عشري ↔ الثنائي: رقم ست عشري واحد = 4 بتات
المتمم الثنائي: اعكس البتات وأضف 1

المنطق القضوي والبراهين

صفوف جدول الصدق: 2ⁿ
الاستلزام: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
نفي الاستلزام: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
الشرط الثنائي: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
دي مورغان: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
قوانين التوزيع: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
نفي الكمّمات: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
قاعدة الوضع (modus ponens) وقاعدة الرفع (modus tollens): p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

الطريقة

عُدّ المتغيرات المختلفة: لجدول الصدق 2ⁿ صفًا، ويبدأ بصف تكون فيه كلها 1.
أعطِ كل صيغة جزئية عمودها الخاص واملأ الأعمدة من الداخل إلى الخارج.
طبّق قاعدة كل رابط: → يساوي 0 فقط في الحالة 1 → 0، و ↔ يساوي 1 عندما يتفق الطرفان.
للتكافؤات قارن العمودين الأخيرين صفًا بصف؛ وللحجة انظر فقط إلى الصفوف التي تكون فيها كل المقدمات 1.
لنفي عبارة مكمَّمة، انقل ¬ إلى الداخل، وبدّل ∀ و ∃، وانفِ الصيغة الداخلية.

المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

البوابات الأساسية: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
القواعد البولية: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
دي مورغان: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ترتيب خريطة كارنو: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
مجموعة من 2ᵏ خلية: تفقد k متغيرًا
مضاعِف 4-إلى-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
القلّابات: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
العدّادات: n بتّات: 2ⁿ حالة؛ mod-N: أصغر n يحقق 2ⁿ ≥ N؛ f_out = f_clk/N
العدّاد المتموّج: f_max = 1/(n·t_pd)
العدّادان الحلقي وجونسون: n و 2n حالة

الطريقة

لدارة ما، اعمل من المداخل إلى المخرج بوابةً بوابةً واكتب القيمة على كل سلك، أو اكتب تعبيرها واملأ جدول الصدق.
للتبسيط ضع الآحاد (وحالات عدم الاكتراث على شكل X) في خريطة كارنو بصفوف وأعمدة بشيفرة غراي: 00, 01, 11, 10.
غطِّ الآحاد بأقل عدد ممكن وأكبر حجم ممكن من المجموعات ذات 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، مع الالتفاف حول الحواف؛ كل مجموعة حد جداء واحد من المتغيرات التي تبقى ثابتة. جمّع الأصفار للصيغة POS.
للقلّابات والعدّادات اقرأ المداخل عند كل حافة ساعة فعالة، واكتب الحالة بعد كل حافة، وتذكّر أن عدّادًا ذا n بتّات يلتف بعد 2ⁿ حالة.

نظرية الأعداد والحساب المودولي

القسمة مع الباقي: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
إقليدس: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
المضاعف المشترك الأصغر: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
المعكوس: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
التطابق الخطي: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
دالة أويلر φ: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
فيرما: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

الطريقة

اختزل كل عدد بالنسبة إلى n أولًا؛ البواقي تقع بين 0 و n − 1.
للقاسم المشترك الأكبر، اقسم مرارًا بخوارزمية إقليدس؛ آخر باقٍ غير صفري هو القاسم المشترك الأكبر.
للمعكوس، نفّذ الخوارزمية الموسّعة واحتفظ بمعامل a؛ أضف n إذا كان سالبًا.
حلّ a·x ≡ b بالضرب في a⁻¹؛ ولدمج تطابقين اكتب x = r₁ + m₁k.
للقوى اكتب الأس بالنظام الثنائي وربّع مرارًا؛ وفي RSA، d = e⁻¹ mod φ(n) مع φ(n) = (p − 1)(q − 1).

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة: Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
البيان المنتظم: |E| = n·k/2
الشجرة والغابة: |E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر: الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في K_n: (n − 1)!/2
تحديث ديكسترا: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L: (Mᴸ)_ij

الطريقة

اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

تقسيم شبكات IPv4

المضيفون في كل شبكة فرعية: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
حجم الكتلة: 256 − (mask octet)
عنوان الشبكة: IP AND القناع
عنوان البث: IP OR (NOT mask): كل بتات المضيف = 1
الشبكات الفرعية من n بتات مستعارة: 2ⁿ

2مسائل تدريبية

1.أنظمة العدمتوسطة

اكتب −112 كنمط متمم ثنائي ذي 8 بتات. اقرأ النمط كعدد ثنائي بلا إشارة: ما قيمته U في النظام العشري؟

N = −1128 bit

U =

2.أنظمة العدصعبة

صورة غير مضغوطة أبعادها 512 × 512 بكسل و24 بت لكل بكسل. كم تشغل من الذاكرة M بوحدة KiB (1 KiB = 1024 بايت)؟

512 × 512 px24 bit/px1 KiB = 1024 B

M = KiB

3.المنطق القضوي والبراهينمتوسطة

تريد إثبات (a ∨ b) → c بالعكس النقيض. أي استلزام تبرهن بدلًا منه؟ انقر عليه.

(a ∨ b) → c

1c → (a ∨ b)
2¬(a ∨ b) → ¬c
3(a ∨ b) ∧ ¬c
4¬c → ¬(a ∨ b)

4.المنطق القضوي والبراهينصعبة

كم صفًا من الصفوف الـ 16 لجدول الصدق تجعل (b ∨ ¬c) → ((¬d → b) ↔ (a ∧ ¬c)) صائبة؟ سمِّ هذا العدد N.

(b ∨ ¬c) → ((¬d → b) ↔ (a ∧ ¬c))

N =

5.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتمتوسطة

لمضاعِف 4-إلى-1 مدخلا الاختيار S₁ = A و S₀ = B، ومداخل بياناته موصولة بـ I₀ = C′, I₁ = C′, I₂ = 0, I₃ = 1. في كم من تركيبات A و B و C الثماني يكون المخرج F = 1؟ جد N.

I₀ = C′I₁ = C′I₂ = 0I₃ = 1

N =

6.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتصعبة

قلّاب T يُحفَّز بالحافة الموجبة يبدأ بـ Q = 0 ويتلقى المداخل المعروضة عند 8 حافة ساعة صاعدة. كم مرة N يغيّر Q حالته؟

Q₀ = 0T

N =

7.نظرية الأعداد والحساب المودوليمتوسطة

حلّ 13x ≡ 1 (mod 19). أعطِ الحل x مع 0 < x < 19.

13x ≡ 1 (mod 19)

x =

8.نظرية الأعداد والحساب المودوليصعبة

61 عدد أولي. استخدم مبرهنة فيرما الصغرى لإيجاد 4²⁰⁹⁸³ mod 61.

p = 61k = 20983

4²⁰⁹⁸³ mod 61 =

9.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

يستخدم فرز سريع العنصر الأول محورًا دائمًا. على أي مدخل يُظهر سلوك أسوأ الحالات؟

Aمصفوفة بترتيب عشوائي
Bمصفوفة عناصرها كلها مختلفة
Cمصفوفة مرتبة مسبقًا
Dمصفوفة طولها 2

10.الخوارزميات والتعقيدصعبة

ماذا سيترتب لو وجد أحدهم خوارزمية كثيرة حدود لمسألة NP-تامة واحدة؟

Aتصبح كل الخوارزميات ذات الزمن الأسّي خطية فورًا
Bيمكن حل كل مسألة في NP في زمن كثير حدود، أي P = NP
Cتنتقل تلك المسألة وحدها إلى P
Dتصبح مسألة التوقف قابلة للحسم

11.هياكل البياناتمتوسطة

طابور منفّذ بمكدسين: push إلى مكدس "in"، وpop من مكدس "out" مع إعادة ملئه من "in" حين يفرغ. ما الكلفة المستهلَكة لكل عملية؟

AO(n)
BO(1)
CO(log n)
DO(n²)

12.هياكل البياناتصعبة

أي زوج من الاجتيازات يحدد دائمًا شجرة ثنائية فريدة ذات مفاتيح متمايزة؟

Aالقبلي والوسطي
Bمستوى بعد مستوى وحده
Cالقبلي والبعدي
Dالقبلي وحده

13.نظرية البياناتمتوسطة

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 6|E| = 7

1دارة أويلر
2مسار أويلر دون دارة
3لا هذه ولا تلك

14.نظرية البياناتصعبة

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F

d(F) =

15.قواعد البيانات و SQLمتوسطة

تزيل الصيغة الطبيعية الثالثة (3NF):

Aالقيم الذرية
Bالفهارس الزائدة على الأعمدة التي ليست جزءًا من مفتاح
Cالاعتماديات المتعدية بين السمات غير المفتاحية
Dالمفاتيح المركّبة

16.قواعد البيانات و SQLصعبة

ينفّذ تطبيق UPDATE item SET qty = 4, version = 8 WHERE id = 1 AND version = 7، ويبلّغ عن تعارض إذا لم يُحدَّث أي صف. ما هذه التقنية؟

Aتجزئة قاعدة البيانات (sharding)
Bالتحكم المتفائل في التزامن
Cالقفل الصارم على مرحلتين مع أقفال على الصفوف
Dالتسجيل المسبق للسجل

17.شبكات الحاسوبمتوسطة

ما دور البوابة الافتراضية (default gateway) على المضيف؟

Aتخصص عناوين MAC
Bهي الموجّه المستخدم لحركة المرور المتجهة إلى شبكات أخرى
Cهي خادم DNS
Dهي منفذ المبدّل المتصل به المضيف

18.شبكات الحاسوبصعبة

بعد التصادمات المتكررة تختار محطات Ethernet الكلاسيكية زمن انتظارها من نطاق يتضاعف في كل مرة. لماذا؟

Aلمنح الأولوية للمحطة صاحبة أعلى عنوان MAC على الكابل المشترك
Bلتقليل احتمال التصادم مجددًا عندما تتنافس محطات كثيرة
Cلمزامنة جميع المحطات على ساعة واحدة
Dلجعل الكابل يحمل الإشارات مسافة أبعد

19.تقسيم شبكات IPv4متوسطة

يجب تقسيم الشبكة 192.168.10.0/24 إلى 3 شبكات فرعية متساوية على الأقل. إذا استعرت أقل عدد ممكن من البتات، فكم مضيفًا قابلًا للاستخدام H في كل شبكة فرعية؟

192.168.10.0/243 subnets

H =

20.تقسيم شبكات IPv4صعبة

عنوان مضيف هو 10.20.93.238/27. ما الثُمانية الرابعة x من آخر عنوان مضيف قابل للاستخدام في شبكته الفرعية؟

10.20.93.238/27

x =

3المحاليل

1.أنظمة العد

الإجابة: U = 144

أنظمة العد الموضعية: قيمة كل رقم هي قيمته مضروبة في قوة من قوى الأساس. في النظام الثنائي تساوي المواضع 1، 2، 4، 8، 16، …؛ وفي السداسي عشري 1، 16، 256، …، حيث تمثل A–F القيم 10–15. في المتمم الثنائي ذي 8 بتات تساوي البتة اليسرى −128 بدلًا من +128، وهكذا تُخزَّن الأعداد السالبة.

اقلب وأضف واحدًا

112 = 0111 0000

مقلوب: 1000 1111

+1 → 1001 0000

اقرأه بلا إشارة

1001 0000₂ = 256 − 112 = 144

الإجابة

U = 144

2.أنظمة العد

الإجابة: M = 768 KiB

البتات والبايتات

512·512·24 = 6291456 bit = 786432 B

حوّل إلى KiB

786432/1024 = 768 KiB

الإجابة

M = 768 KiB

3.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: ¬c → ¬(a ∨ b)

التكافؤ المنطقي: تتكافأ صيغتان (≡) عندما يكون لهما القيمة نفسها في كل صف من جدول الصدق. الحشو يساوي 1 في كل صف، والتناقض يساوي 0 في كل صف، والممكن ليس هذا ولا ذاك. قوانين مفيدة: دي مورغان، ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b و ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b؛ و a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (العكس النقيض)؛ و ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b؛ وقوانين التوزيع، a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

أجزاء الاستلزام

a = a ∨ b, b = c

العكس النقيض

¬b → ¬a = ¬c → ¬(a ∨ b)

الإجابة

¬c → ¬(a ∨ b)

العكس النقيض يكافئ العبارة الأصلية، فإثباته يثبت العبارة.

4.المنطق القضوي والبراهين

الإجابة: N = 8

جداول الصدق: للصيغة ذات n متغيرًا مختلفًا 2ⁿ صفًا، صف لكل تركيبة من قيم الصدق (1 = صواب، 0 = خطأ). اعمل من الداخل إلى الخارج وأعطِ كل صيغة جزئية عمودها الخاص. ¬a تقلب القيمة؛ و a ∧ b تساوي 1 فقط عندما تكون القيمتان 1؛ و a ∨ b تساوي 0 فقط عندما تكون القيمتان 0؛ و a → b تساوي 0 فقط عندما a = 1 و b = 0؛ و a ↔ b تساوي 1 عندما يتساوى الطرفان.

الأعمدة

¬c; b ∨ ¬c; ¬d; ¬d → b; a ∧ ¬c; (¬d → b) ↔ (a ∧ ¬c); (b ∨ ¬c) → ((¬d → b) ↔ (a ∧ ¬c))

قسّم على a

a = 1: 5

a = 0: 3

N = 5 + 3 = 8

الإجابة

N = 8

5.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: N = 4

المضاعِف (MUX): يمرّر المضاعِف 2ⁿ-إلى-1 أحد مداخل البيانات إلى المخرج؛ وخطوط الاختيار، مقروءة كعدد ثنائي، تحدد أيّها. لمضاعِف 4-إلى-1 مع الاختيارين S₁S₀ = AB، F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃. وبوصل مداخل البيانات بـ 0 أو 1 أو C أو C′ ينتج المضاعِف أي دالة في A و B و C، وهي طريقة شائعة لبناء المنطق بشريحة واحدة.

تعبير الخرج

F = A′B′C′ + A′BC′ + AB

الصفوف التي F = 1 فيها

ABC = 000, 010, 110, 111

N = 4

الإجابة

N = 4

6.المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

الإجابة: N = 4

القلّابات والعدّادات: لا يتغير القلّاب إلا عند الحافة الفعالة للساعة. يَنسخ D مدخله (Q⁺ = D)؛ و T يتبدّل عندما T = 1؛ و JK يحتفظ عند 00، ويصفّر عند 01، ويضبط عند 10، ويتبدّل عند 11. للعدّاد الثنائي ذي n بتّات 2ⁿ حالة ويعدّ بالنمط 2ⁿ؛ وعدّاد mod-N يعدّ 0 و 1 … حتى N − 1 ثم يعود إلى 0، ويحتاج إلى أصغر n يحقق 2ⁿ ≥ N قلّابات. تُنصّف كل مرحلة في العدّاد المتموّج التردد، فيعمل الخرج الأخير لعدّاد mod-N بالتردد f_clk/N. لعدّاد جونسون من n قلّابات 2n حالة، وللعدّاد الحلقي n.

Q بعد كل حافة

يتبدّل قلّاب T عند كل حافة صاعدة مع T = 1 ويحتفظ بقيمته مع T = 0.

1: T = 1 → Q = 1

2: T = 1 → Q = 0

3: T = 0 → Q = 0

4: T = 0 → Q = 0

5: T = 1 → Q = 1

6: T = 0 → Q = 1

7: T = 0 → Q = 1

8: T = 1 → Q = 0

عُدّ التغيرات

0 → 1 → 0 → 0 → 0 → 1 → 1 → 1 → 0

N = 4

الإجابة

N = 4

7.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: x = 3

المعكوسات والتطابقات: للعدد a معكوس بالنسبة إلى n بالضبط عندما gcd(a, n) = 1. تكتب خوارزمية إقليدس الموسّعة 1 = s·n + t·a، ثم a⁻¹ ≡ t (mod n). التطابق a·x ≡ b (mod n) مع gcd(a, n) = 1 حلّه x ≡ a⁻¹·b. لتطابقين x ≡ r₁ (mod m₁) و x ≡ r₂ (mod m₂) بمقياسين أوليين فيما بينهما حل واحد بالنسبة إلى m₁·m₂ (مبرهنة الباقي الصينية). تعدّ φ(n) لأويلر الأعداد من 1 إلى n التي أولية مع n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

معكوس 13

r = 19, t = 0

r = 13, q = 1, t = 1

r = 6, q = 2, t = −1

r = 1, q = 6, t = 3

13⁻¹ ≡ 3 (mod 19)

الحل

x ≡ 3·1 = 3 ≡ 3 (mod 19)

تحقّق: 13·3 = 39 ≡ 1 (mod 19)

الإجابة

x = 3

8.نظرية الأعداد والحساب المودولي

الإجابة: 4²⁰⁹⁸³ mod 61 = 19

القوى المودولية وRSA: احسب aᵏ mod n بالتربيع المتكرر: اكتب k بالنظام الثنائي، وربّع، واختزل بعد كل خطوة، واضرب القوى التي بتّها 1. فيرما: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) لعدد أولي p لا يقسم a، فيمكن اختزال الأس بالنسبة إلى p − 1. RSA: اختر عددين أوليين p و q، و n = p·q و φ(n) = (p − 1)(q − 1)؛ الأس العام e أولي مع φ(n)، والأس الخاص d = e⁻¹ mod φ(n). شفّر بـ c = mᵉ mod n وفكّ التشفير بـ m = cᵈ mod n.

A · القبلي والوسطي

13.نظرية البيانات

الإجابة: مسار أويلر دون دارة

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي K_n منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 2

الرؤوس الفردية

C, E → 2

مسار أويلر دون دارة

الإجابة

مسار أويلر دون دارة

يبدأ مسار أويلر عند أحد الرأسين الفرديين وينتهي عند الآخر.

14.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 40

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 11, C: 12

B (11): D: 26

C (12): G: 16

G (16): D: 23, E: 27

D (23)

E (27): F: 40

F (40)

أقصر مسار

A → C → G → E → F

البتات المستعارة

2² = 4 ≥ 3 → b = 2, /26

المضيفون في كل شبكة فرعية

2⁶ − 2 = 62

الإجابة

H = 62

20.تقسيم شبكات IPv4

الإجابة: x = 254

حجم الكتلة

2⁵ = 32

الشبكة الفرعية لهذا المضيف

الشبكة: ⌊238/32⌋·32 = 224

البث: 224 + 32 − 1 = 255

المضيفون القابلون للاستخدام: 225 … 254

الإجابة

x = 254

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals