هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

تكون البرمجة الديناميكية مفيدة عندما تحتوي المسألة على:

  1. Aلا مسائل فرعية على الإطلاق، فيمكن حلها في خطوة واحدة
  2. Bحلقة واحدة
  3. Cمدخلات عشوائية فقط
  4. Dمسائل فرعية متداخلة وبنية فرعية مثلى
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أخذ طرفي كل حافة في تطابق أعظمي (maximal matching) يعطي غطاءً رأسيًا. ما جودة هذا الغطاء؟

  1. Aضعف حجم الغطاء الرأسي الأصغر على الأكثر
  2. Bجودته مجهولة مقارنةً بالأمثل
  3. Clog n ضعف الأصغر على الأكثر
  4. Dغطاء رأسي أصغر دائمًا
3.هياكل البياناتمتوسطة

أُدرجت المفاتيح 50، 30، 70، 20، 40 بهذا الترتيب في شجرة بحث ثنائية فارغة. ما الابن الأيسر للعقدة 30؟

  1. A20
  2. B70
  3. C40
  4. D50
4.هياكل البياناتصعبة

ما زمن تنفيذ البحث بالعرض أولًا على مخطط فيه V رأسًا مخزّن بمصفوفة تجاور؟

  1. AO(V)
  2. BO(E log V)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V²)
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEFدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
12410121293111435ABCDEFG

تعمل خوارزمية ديكسترا انطلاقًا من A. انقر على الرأس الذي يُثبَّت (يصبح دائمًا) في الجولة 3؛ A نفسه هو الجولة 1.

البداية: Aالجولة 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · مسائل فرعية متداخلة وبنية فرعية مثلى

لماذا هذه هي الإجابة

تخزين نتائج المسائل الفرعية المتداخلة (التذكير memoisation أو الجدولة tabulation) يتجنب العمل المكرر، فيحوّل الخوارزميات الأسّية إلى خوارزميات كثيرة الحدود.

الإجابة

D · مسائل فرعية متداخلة وبنية فرعية مثلى
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · ضعف حجم الغطاء الرأسي الأصغر على الأكثر

لماذا هذه هي الإجابة

حواف التطابق لا تشترك في رؤوس، فيحتاج الأمثل رأسًا واحدًا على الأقل لكل حافة، بينما تأخذ هذه الطريقة اثنين: تقريب بمعامل 2.

الإجابة

A · ضعف حجم الغطاء الرأسي الأصغر على الأكثر
3.هياكل البيانات

الإجابة: A · 20

لماذا هذه هي الإجابة

20 أصغر من 50 وأصغر من 30، فيصبح الابن الأيسر لـ 30، ويصبح 40 ابنه الأيمن.

الإجابة

A · 20
4.هياكل البيانات

الإجابة: D · O(V²)

لماذا هذه هي الإجابة

يمسح كل رأس من الرؤوس V صفًا من V مدخلًا، فيكون الزمن O(V²)، ومع قوائم التجاور يكون BFS في O(V + E).

الإجابة

D · O(V²)
5.نظرية البيانات

الإجابة: دارة أويلر

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2

الرؤوس الفردية

0
دارة أويلر

الإجابة

دارة أويلر
6.نظرية البيانات

الإجابة: B

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

1. A (0): B: 12, C: 4
2. C (4): E: 16, G: 18
3. B (12): D: 24
4. E (16)
5. G (18): D: 21
6. D (21): F: 24
7. F (24)

الجولة 3

B

الإجابة

B

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms