هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

بقطع نقدية من فئات 1 و3 و4 ومبلغ 6، كم قطعة تستخدم الطريقة الجشعة "أكبر قطعة أولًا" مقارنةً بالحل الأمثل؟

  1. Aتستخدم الجشعة 3 قطع، والأمثل 2
  2. Bتستخدم الجشعة قطعتين، والأمثل 2
  3. Cتستخدم الجشعة 3 قطع، والأمثل 3
  4. Dتستخدم الجشعة 4 قطع، والأمثل 3
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

تستغرق مسألة حقيبة الظهر 0/1 المحلولة بالبرمجة الديناميكية زمنًا O(nW). لماذا يُسمى هذا شبه كثير الحدود (pseudo-polynomial)؟

  1. Aلأن n صغيرة دائمًا
  2. Bلأن الخوارزمية عشوائية ويتفاوت زمن تشغيلها مع كل مدخل
  3. Cلأنها تعمل فقط عندما W = 0
  4. Dلأن W عدد، فيكون الزمن أسّيًا بالنسبة إلى عدد البتات المستخدمة لكتابة W
3.هياكل البياناتمتوسطة

كم من الذاكرة تستخدم مصفوفة التجاور لمخطط ذي V رأسًا؟

  1. AO(V²)
  2. BO(log V)
  3. CO(E)
  4. DO(V + E)
4.هياكل البياناتصعبة

يُحذف عادةً عقدة لها ابنان من شجرة بحث ثنائية عن طريق:

  1. Aإزالة الشجرة الفرعية بأكملها
  2. Bاستبدالها بخلفها في الترتيب الداخلي (أو سلفها) ثم حذف تلك العقدة
  3. Cمبادلتها مع الجذر
  4. Dإعادة بناء الشجرة الفرعية تحتها من الصفر وإعادة إدراج كل مفتاح كانت تحتويه
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
81491219116910ABCDEFG

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F
d(F) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · تستخدم الجشعة 3 قطع، والأمثل 2

لماذا هذه هي الإجابة

تأخذ الطريقة الجشعة 4 + 1 + 1 = 3 قطع، لكن 3 + 3 تستخدم قطعتين فقط، فالجشعة ليست مثلى لهذا النظام النقدي، أما البرمجة الديناميكية فمثلى.

الإجابة

A · تستخدم الجشعة 3 قطع، والأمثل 2
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · لأن W عدد، فيكون الزمن أسّيًا بالنسبة إلى عدد البتات المستخدمة لكتابة W

لماذا هذه هي الإجابة

زمن التشغيل كثير حدود بالنسبة إلى قيمة W لكنه أسّي بالنسبة إلى طولها (log W بت)؛ ومسألة حقيبة الظهر 0/1 هي NP-كاملة.

الإجابة

D · لأن W عدد، فيكون الزمن أسّيًا بالنسبة إلى عدد البتات المستخدمة لكتابة W
3.هياكل البيانات

الإجابة: A · O(V²)

لماذا هذه هي الإجابة

تخزّن مصفوفة التجاور V × V مدخلًا، وهي فعّالة للمخططات الكثيفة؛ أما قوائم التجاور فتستخدم O(V + E) وهي أفضل للمخططات المتفرقة.

الإجابة

A · O(V²)
4.هياكل البيانات

الإجابة: B · استبدالها بخلفها في الترتيب الداخلي (أو سلفها) ثم حذف تلك العقدة

لماذا هذه هي الإجابة

للخلف في الترتيب الداخلي ابن واحد على الأكثر، لذا يمكن إزالته بسهولة بعد نسخ مفتاحه إلى العقدة المراد حذفها.

الإجابة

B · استبدالها بخلفها في الترتيب الداخلي (أو سلفها) ثم حذف تلك العقدة
5.نظرية البيانات

الإجابة: دارة أويلر

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

الرؤوس الفردية

0
دارة أويلر

الإجابة

دارة أويلر
6.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 29

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 8, C: 14
B (8): D: 20, G: 14
C (14)
G (14): E: 24
D (20): E: 21, F: 29
E (21)
F (29)

أقصر مسار

A → B → D → F
d(F) = 29

الإجابة

d(F) = 29

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms