هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما حل علاقة التكرار T(n) = T(n − 1) + O(n)؟

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n²)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أي حد صحيح لـ log(n!)؟

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(log n)
3.هياكل البياناتمتوسطة

كم يستغرق التحقق من وجود الحافة (u, v) باستخدام مصفوفة التجاور؟

  1. AO(log V)
  2. BO(1)
  3. CO(E)
  4. DO(V)
4.هياكل البياناتصعبة

تريد لكل عنصر في مصفوفة العنصر الأكبر التالي على يمينه، في زمن كلي O(n). أي بنية تساعد؟

  1. Aمكدس يحفظ العناصر التي تنتظر إجابتها
  2. Bشجرة بحث ثنائية يُعاد بناؤها لكل عنصر
  3. Cطابور يحفظ كل زوج من العناصر
  4. Dجدول تجزئة لكل العناصر
5.نظرية البياناتمتوسطة

لشجرة 2 رؤوس من الدرجة 3, 3 رؤوس من الدرجة 2، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟

2 × deg 33 × deg 2
L =
6.نظرية البياناتصعبة
1314121214613913ABCDEF

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(D) أقصر مسار من A إلى D في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: D
d(D) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · O(n²)

لماذا هذه هي الإجابة

يبلغ مجموع العمل نحو n² / 2، وهذه علاقة تكرار الفرز بالاختيار أو الفرز السريع مع أسوأ محور.

الإجابة

D · O(n²)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · Θ(n log n)

لماذا هذه هي الإجابة

log(n!) ≤ n log n، والعوامل الـ n / 2 الكبرى تعطي log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2)، ولهذا يحتاج الفرز بالمقارنة إلى Ω(n log n).

الإجابة

C · Θ(n log n)
3.هياكل البيانات

الإجابة: B · O(1)

لماذا هذه هي الإجابة

يخبرك مدخل المصفوفة في الصف u والعمود v فورًا بوجود الحافة، أما قائمة التجاور فقد تحتاج إلى مسح جيران u.

الإجابة

B · O(1)
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · مكدس يحفظ العناصر التي تنتظر إجابتها

لماذا هذه هي الإجابة

بالمسح من اليسار إلى اليمين، اسحب كل عنصر في المكدس أصغر من الحالي (فالحالي إجابته)، ثم ادفع الحالي، وكل عنصر يتحرك مرتين على الأكثر.

الإجابة

A · مكدس يحفظ العناصر التي تنتظر إجابتها
5.نظرية البيانات

الإجابة: L = 4

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

مبرهنة المصافحة لشجرة

L + 12 = 2(L + 5) − 2
L = 4

الإجابة

L = 4

اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.

6.نظرية البيانات

الإجابة: d(D) = 25

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 13, C: 14
B (13): D: 25, E: 26
C (14)
D (25): F: 38
E (26): F: 35
F (35)

أقصر مسار

A → B → D
d(D) = 25

الإجابة

d(D) = 25

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms