هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما التعقيد الزمني لحساب عدد فيبوناتشي رقم n بجدول تصاعدي (من الأسفل إلى الأعلى)؟

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

تُظهر مسألة التوقف أنه:

  1. Aيجب تجنب الحلقات
  2. Bبعض البرامج تعمل أسرع على حواسيب أسرع، فيعتمد التوقف على العتاد
  3. Cلا توجد خوارزمية تستطيع أن تقرر لكل برنامج ومدخل ما إذا كان البرنامج سيتوقف
  4. Dكل برنامج يتوقف في النهاية
3.هياكل البياناتمتوسطة

كم عقدة لشجرة ثنائية كاملة (perfect) ارتفاعها h، مع عدّ الارتفاع بالحواف؟

  1. Ah2
  2. B2h
  3. C2h+1 − 1
  4. D2h + 1
4.هياكل البياناتصعبة

خُزّن كائن مفتاحًا في خريطة تجزئة، ثم غُيّر حقل تستخدمه دالة تجزئته. ما النتيجة المرجحة؟

  1. Aقد يفشل البحث عن الكائن لأنه يقع في دلو تجزئته القديمة
  2. Bتنقل الخريطة المفتاح تلقائيًا إلى دلوه الجديد
  3. Cتُطلق الخريطة خطأً لحظة تغيّر الحقل
  4. Dلا يتغير شيء، لأن تجزئة المفتاح تُحسب مرة واحدة فقط عند بدء البرنامج
5.نظرية البياناتمتوسطة

لشجرة 2 رؤوس من الدرجة 3, 2 رؤوس من الدرجة 5, 3 رؤوس من الدرجة 2، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟

2 × deg 32 × deg 53 × deg 2
L =
6.نظرية البياناتصعبة
ABCDE

كم مسارًا (walk) بطول 2 يذهب من D إلى C؟ يجوز للمسار تكرار الرؤوس والحواف. سمِّ العدد N.

M = مصفوفة التجاورL = 2
N =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · O(n)

لماذا هذه هي الإجابة

يستغرق ملء الجدول من 0 إلى n عملية جمع واحدة لكل مدخل، فيكون العمل خطيًا بدلًا من أسّي.

الإجابة

D · O(n)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · لا توجد خوارزمية تستطيع أن تقرر لكل برنامج ومدخل ما إذا كان البرنامج سيتوقف

لماذا هذه هي الإجابة

أثبت تورنغ أن مسألة التوقف غير قابلة للحسم: افتراض وجود خوارزمية حاسمة يؤدي إلى تناقض مع برنامج يفعل عكس ما تتنبأ به.

الإجابة

C · لا توجد خوارزمية تستطيع أن تقرر لكل برنامج ومدخل ما إذا كان البرنامج سيتوقف
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · 2h+1 − 1

لماذا هذه هي الإجابة

جمع 1 + 2 + 4 + ... + 2h يعطي 2h+1 − 1، فمثلًا الارتفاع 2 يعطي 7 عقد.

الإجابة

C · 2h+1 − 1
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · قد يفشل البحث عن الكائن لأنه يقع في دلو تجزئته القديمة

لماذا هذه هي الإجابة

اختير موقع المفتاح من تجزئته القديمة، ومع تجزئة جديدة يبحث الاستعلام في الدلو الخطأ، لذا يجب أن تكون المفاتيح غير قابلة للتغيير.

الإجابة

A · قد يفشل البحث عن الكائن لأنه يقع في دلو تجزئته القديمة
5.نظرية البيانات

الإجابة: L = 10

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

مبرهنة المصافحة لشجرة

L + 22 = 2(L + 7) − 2
L = 10

الإجابة

L = 10

اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.

6.نظرية البيانات

الإجابة: N = 2

الدرجات: درجة الرأس هي عدد الحواف التي تلتقي عنده. لكل حافة طرفان، فتساوي الدرجات مجتمعةً ضعف عدد الحواف: Σ deg(v) = 2|E| (مبرهنة المصافحة). وعدد الرؤوس ذات الدرجة الفردية زوجي إذن. للبيان Kn عدد n(n − 1)/2 حافة، وللبيان k-المنتظم على n رأسًا nk/2، وللشجرة على n رأسًا n − 1 حافة.

مصفوفة التجاور

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

الجيران المشتركون

(M²)DC = 0·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 2

الإجابة

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms