هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

هل يصح القول إن خوارزمية O(n²) هي أيضًا O(n³)؟

  1. Aلا، لأن n³ أصغر من n² عندما تكون n كبيرة
  2. Bنعم، لأن O الكبير حد أعلى وn² لا تنمو أسرع من n³
  3. Cنعم، لكن فقط إذا كانت n أصغر من 100
  4. Dلا، لأن O الكبير يجب أن يذكر دائمًا معدل النمو الدقيق للدالة
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

لماذا يكون متوسط البحث في جدول التجزئة O(1) بينما أسوأ الحالات O(n)؟

  1. Aقد تتصادم مفاتيح كثيرة في الدلو نفسه
  2. Bالوصول إلى المصفوفات يستغرق O(n)
  3. Cيجب فرز المفاتيح أولًا
  4. Dدوال التجزئة بطيئة
3.هياكل البياناتمتوسطة

تكون شجرة البادئات (trie) فعّالة بشكل خاص في:

  1. Aتخزين المصفوفات
  2. Bعمليات البحث بالبادئة مثل الإكمال التلقائي
  3. Cإيجاد أقصر المسارات
  4. Dفرز الأعداد
4.هياكل البياناتصعبة

في المخزن المؤقت الدائري (circular buffer)، قد يعني front == rear الفراغ أو الامتلاء. ما الطريقة الشائعة للتمييز بينهما؟

  1. Aالاحتفاظ بعدّاد منفصل للعناصر، أو ترك خانة واحدة غير مستخدمة دائمًا
  2. Bجعل حجم المخزن قوة للعدد اثنين
  3. Cمسح المخزن دائمًا حين يتساوى front وrear، فتكون الحالة فارغة
  4. Dتخزين front وrear في المتغير نفسه
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
814123141419ABCDEFG

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F
d(F) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · نعم، لأن O الكبير حد أعلى وn² لا تنمو أسرع من n³

لماذا هذه هي الإجابة

O الكبير حد أعلى، فالعبارة صحيحة لكنها غير محكمة، أما Θ(n²) فتعبّر عن معدل النمو الدقيق.

الإجابة

B · نعم، لأن O الكبير حد أعلى وn² لا تنمو أسرع من n³
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · قد تتصادم مفاتيح كثيرة في الدلو نفسه

لماذا هذه هي الإجابة

مع دالة تجزئة جيدة ومعامل تحميل مناسب تبقى الدلاء قصيرة في المتوسط؛ أما المدخلات العدائية أو التجزئة الرديئة فقد تضع جميع المفاتيح في دلو واحد.

الإجابة

A · قد تتصادم مفاتيح كثيرة في الدلو نفسه
3.هياكل البيانات

الإجابة: B · عمليات البحث بالبادئة مثل الإكمال التلقائي

لماذا هذه هي الإجابة

تخزّن trie السلاسل حرفًا حرفًا على طول المسارات، لذا يستغرق البحث واستعلامات البادئة زمنًا يتناسب مع طول المفتاح.

الإجابة

B · عمليات البحث بالبادئة مثل الإكمال التلقائي
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · الاحتفاظ بعدّاد منفصل للعناصر، أو ترك خانة واحدة غير مستخدمة دائمًا

لماذا هذه هي الإجابة

مع العدّاد يعني الفراغ count = 0 ويعني الامتلاء count = capacity، ومع خانة فارغة واحدة يُعرَّف الامتلاء بأنه (rear + 1) mod n == front.

الإجابة

A · الاحتفاظ بعدّاد منفصل للعناصر، أو ترك خانة واحدة غير مستخدمة دائمًا
5.نظرية البيانات

الإجابة: دارة أويلر

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

الرؤوس الفردية

0
دارة أويلر

الإجابة

دارة أويلر
6.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 16

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): C: 8
C (8): B: 22, G: 12
G (12): B: 13, D: 13, E: 21
B (13)
D (13): F: 16
F (16)
E (21)

أقصر مسار

A → C → G → D → F
d(F) = 16

الإجابة

d(F) = 16

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms