هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما زمن تنفيذ الفرز الجذري LSD على n عددًا صحيحًا من d خانة في الأساس k؟

  1. AO(n log n)
  2. BO(dn log k)
  3. CO(n²)
  4. DO(d(n + k))
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

ما الفرق بين مسألة غير قابلة للحسم ومسألة غير قابلة للمعالجة؟

  1. Aالمسائل غير القابلة للمعالجة لا تحلها أي خوارزمية، أما غير القابلة للحسم فتحتاج فقط إلى زمن أسّي
  2. Bكلاهما يعني أن المسألة ليس لها خوارزمية إطلاقًا
  3. Cالمسألة غير القابلة للحسم لا توجد خوارزمية تحلها على كل المدخلات؛ أما غير القابلة للمعالجة فلها خوارزمية لكنها بطيئة جدًا
  4. Dالمسائل غير القابلة للحسم في NP، والمسائل غير القابلة للمعالجة في P
3.هياكل البياناتمتوسطة

يزور الاجتياز الداخلي (in-order) لشجرة البحث الثنائية المفاتيح:

  1. Aبترتيب تنازلي دائمًا
  2. Bحسب المستويات
  3. Cبترتيب الإدراج
  4. Dبترتيب تصاعدي (مرتبة)
4.هياكل البياناتصعبة

تتضاعف مصفوفة ديناميكية حين تمتلئ. لماذا لا تقلصها تطبيقات كثيرة إلا حين تكون ممتلئة بمقدار الربع، لا النصف؟

  1. Aلإبقاء المصفوفة مرتبة
  2. Bلأن التنصيف عند النصف سيُفقد عناصر
  3. Cلأن مخصِّص الذاكرة لا يستطيع تحرير الذاكرة إلا بأرباع الكتلة
  4. Dلتجنب إعادة التحجيم المتكررة حين تتناوب عمليات الإضافة والإزالة قرب الحد
5.نظرية البياناتمتوسطة

لشجرة 3 رؤوس من الدرجة 3, 4 رؤوس من الدرجة 4, 2 رؤوس من الدرجة 5، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟

3 × deg 34 × deg 42 × deg 5
L =
6.نظرية البياناتصعبة
11183591512137ABCDEF

تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا. انقر على الحافة التي تضيفها بوصفها الحافة رقم 5؛ الحواف المتخطاة لا تُحسب.

k = 5
  1. 1الحافة AB
  2. 2الحافة AC
  3. 3الحافة BC
  4. 4الحافة BD
  5. 5الحافة CE
  6. 6الحافة DE
  7. 7الحافة DF
  8. 8الحافة EF
  9. 9الحافة BE

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · O(d(n + k))

لماذا هذه هي الإجابة

كل مرور من المرورات d فرز بالعدّ كلفته O(n + k)، فيكون المجموع خطيًا في n عندما تكون d وk ثابتتين.

الإجابة

D · O(d(n + k))
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · المسألة غير القابلة للحسم لا توجد خوارزمية تحلها على كل المدخلات؛ أما غير القابلة للمعالجة فلها خوارزمية لكنها بطيئة جدًا

لماذا هذه هي الإجابة

ليس لمسألة التوقف أي خوارزمية إطلاقًا، أما مسألة NP-صعبة مثل TSP فيمكن حلها بالقوة الغاشمة، لكن ليس في زمن كثير حدود معروف.

الإجابة

C · المسألة غير القابلة للحسم لا توجد خوارزمية تحلها على كل المدخلات؛ أما غير القابلة للمعالجة فلها خوارزمية لكنها بطيئة جدًا
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · بترتيب تصاعدي (مرتبة)

لماذا هذه هي الإجابة

زيارة الشجرة الفرعية اليسرى ثم العقدة ثم الشجرة الفرعية اليمنى تُخرج مفاتيح BST بترتيب مرتب.

الإجابة

D · بترتيب تصاعدي (مرتبة)
4.هياكل البيانات

الإجابة: D · لتجنب إعادة التحجيم المتكررة حين تتناوب عمليات الإضافة والإزالة قرب الحد

لماذا هذه هي الإجابة

التقليص عند النصف قد يُطلق إعادة تحجيم مع كل عملية في سلسلة كهذه، والفجوة بين 1/4 والامتلاء تُبقي الكلفة المستهلَكة O(1).

الإجابة

D · لتجنب إعادة التحجيم المتكررة حين تتناوب عمليات الإضافة والإزالة قرب الحد
5.نظرية البيانات

الإجابة: L = 19

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

مبرهنة المصافحة لشجرة

L + 35 = 2(L + 9) − 2
L = 19

الإجابة

L = 19

اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.

6.نظرية البيانات

الإجابة: الحافة DF

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية كروسكال

1. BC (3)
2. BD (5)
3. BE (7)
4. AB (11)
5. DF (12)

رقم الحافة 5

DF

الإجابة

الحافة DF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms