هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما التعقيد الزمني للفرز السريع (Quicksort) في أسوأ الحالات؟

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

أي تقنية تعطي زمن تشغيل متوقعًا O(n log n) للفرز السريع على أي مدخلات؟

  1. Aاختيار العنصر الأول دائمًا
  2. Bاستخدام العودية على الجانب الأيسر فقط
  3. Cاختيار المحور عشوائيًا بتوزيع منتظم
  4. Dفرز المدخلات قبل تشغيل الفرز السريع
3.هياكل البياناتمتوسطة

أي شرط توازن تحافظ عليه شجرة AVL عند كل عقدة؟

  1. Aأن تُلوَّن كل عقدة بالأحمر أو الأسود
  2. Bأن تكون كل الأوراق على العمق نفسه بالضبط
  3. Cألا يختلف ارتفاعا الشجرتين الفرعيتين اليسرى واليمنى بأكثر من 1
  4. Dأن تحتوي الشجرتان الفرعيتان لكل عقدة العدد نفسه تمامًا من العقد
4.هياكل البياناتصعبة

يُحذف عادةً عقدة لها ابنان من شجرة بحث ثنائية عن طريق:

  1. Aإعادة بناء الشجرة الفرعية تحتها من الصفر وإعادة إدراج كل مفتاح كانت تحتويه
  2. Bمبادلتها مع الجذر
  3. Cاستبدالها بخلفها في الترتيب الداخلي (أو سلفها) ثم حذف تلك العقدة
  4. Dإزالة الشجرة الفرعية بأكملها
5.نظرية البياناتمتوسطة

بيان متصل له 20 رؤوس و28 حافة. كم حافة k يجب حذفها لتبقى شجرة ممتدة؟

|V| = 20|E| = 28
k =
6.نظرية البياناتصعبة
ABCDEF

كم مسارًا مغلقًا (closed walk) بطول 3 يبدأ وينتهي عند A؟ يجوز للمسار تكرار الرؤوس والحواف. سمِّ العدد N.

M = مصفوفة التجاورL = 3
N =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · O(n²)

لماذا هذه هي الإجابة

عند اختيار محاور سيئة باستمرار (مثل مدخلات مرتبة مسبقًا مع اختيار العنصر الأول محورًا) تكون التقسيمات غير متوازنة، مما يعطي O(n²). أما الحالة المتوسطة فهي O(n log n).

الإجابة

A · O(n²)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · اختيار المحور عشوائيًا بتوزيع منتظم

لماذا هذه هي الإجابة

مع محور عشوائي يكون زمن التشغيل المتوقع O(n log n) لكل المدخلات؛ وما زالت الحالات السيئة موجودة لكنها مستبعدة جدًا.

الإجابة

C · اختيار المحور عشوائيًا بتوزيع منتظم
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · ألا يختلف ارتفاعا الشجرتين الفرعيتين اليسرى واليمنى بأكثر من 1

لماذا هذه هي الإجابة

يجب أن يكون معامل التوازن (الارتفاع الأيسر − الارتفاع الأيمن) −1 أو 0 أو 1، وتعيده الدورانات بعد الإدراج والحذف.

الإجابة

C · ألا يختلف ارتفاعا الشجرتين الفرعيتين اليسرى واليمنى بأكثر من 1
4.هياكل البيانات

الإجابة: C · استبدالها بخلفها في الترتيب الداخلي (أو سلفها) ثم حذف تلك العقدة

لماذا هذه هي الإجابة

للخلف في الترتيب الداخلي ابن واحد على الأكثر، لذا يمكن إزالته بسهولة بعد نسخ مفتاحه إلى العقدة المراد حذفها.

الإجابة

C · استبدالها بخلفها في الترتيب الداخلي (أو سلفها) ثم حذف تلك العقدة
5.نظرية البيانات

الإجابة: k = 9

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

حواف الشجرة الممتدة

20 − 1 = 19

الحواف المراد حذفها

k = 28 − 19 = 9

الإجابة

k = 9
6.نظرية البيانات

الإجابة: N = 2

الدرجات: درجة الرأس هي عدد الحواف التي تلتقي عنده. لكل حافة طرفان، فتساوي الدرجات مجتمعةً ضعف عدد الحواف: Σ deg(v) = 2|E| (مبرهنة المصافحة). وعدد الرؤوس ذات الدرجة الفردية زوجي إذن. للبيان Kn عدد n(n − 1)/2 حافة، وللبيان k-المنتظم على n رأسًا nk/2، وللشجرة على n رأسًا n − 1 حافة.

مصفوفة التجاور

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 0 0
D: 0 1 0 0 1 0
E: 0 1 0 1 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

خطوة إضافية

(M³)AA = 2·0 + 1·1 + 1·1 + 1·0 + 1·0 + 0·0 = 2

الإجابة

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms