هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

تكون البرمجة الديناميكية مفيدة عندما تحتوي المسألة على:

  1. Aمدخلات عشوائية فقط
  2. Bمسائل فرعية متداخلة وبنية فرعية مثلى
  3. Cحلقة واحدة
  4. Dلا مسائل فرعية على الإطلاق، فيمكن حلها في خطوة واحدة
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

ماذا سيترتب لو وجد أحدهم خوارزمية كثيرة حدود لمسألة NP-تامة واحدة؟

  1. Aتنتقل تلك المسألة وحدها إلى P
  2. Bتصبح مسألة التوقف قابلة للحسم
  3. Cيمكن حل كل مسألة في NP في زمن كثير حدود، أي P = NP
  4. Dتصبح كل الخوارزميات ذات الزمن الأسّي خطية فورًا
3.هياكل البياناتمتوسطة

تكون شجرة البادئات (trie) فعّالة بشكل خاص في:

  1. Aتخزين المصفوفات
  2. Bعمليات البحث بالبادئة مثل الإكمال التلقائي
  3. Cفرز الأعداد
  4. Dإيجاد أقصر المسارات
4.هياكل البياناتصعبة

لماذا قد يختار خادم دالة تجزئته عشوائيًا من عائلة شاملة (universal)؟

  1. Aلجعل قدرة المهاجم على اختيار مفاتيح كثيرة تتصادم كلها مستبعدة جدًا
  2. Bلضمان عدم تصادم أي مفتاحين أبدًا، أيًّا كانت المفاتيح التي يرسلها المهاجم
  3. Cلجعل جدول التجزئة مرتبًا
  4. Dلإلغاء الحاجة إلى إعادة تحجيم الجدول
5.نظرية البياناتمتوسطة

لشجرة 4 رؤوس من الدرجة 5، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟

4 × deg 5
L =
6.نظرية البياناتصعبة
7131036155212ABCDEFG

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F
d(F) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · مسائل فرعية متداخلة وبنية فرعية مثلى

لماذا هذه هي الإجابة

تخزين نتائج المسائل الفرعية المتداخلة (التذكير memoisation أو الجدولة tabulation) يتجنب العمل المكرر، فيحوّل الخوارزميات الأسّية إلى خوارزميات كثيرة الحدود.

الإجابة

B · مسائل فرعية متداخلة وبنية فرعية مثلى
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · يمكن حل كل مسألة في NP في زمن كثير حدود، أي P = NP

لماذا هذه هي الإجابة

بما أن كل NP تُختزل إلى أي مسألة NP-تامة في زمن كثير حدود، فإن خوارزمية سريعة لواحدة تعطي خوارزمية سريعة للجميع.

الإجابة

C · يمكن حل كل مسألة في NP في زمن كثير حدود، أي P = NP
3.هياكل البيانات

الإجابة: B · عمليات البحث بالبادئة مثل الإكمال التلقائي

لماذا هذه هي الإجابة

تخزّن trie السلاسل حرفًا حرفًا على طول المسارات، لذا يستغرق البحث واستعلامات البادئة زمنًا يتناسب مع طول المفتاح.

الإجابة

B · عمليات البحث بالبادئة مثل الإكمال التلقائي
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · لجعل قدرة المهاجم على اختيار مفاتيح كثيرة تتصادم كلها مستبعدة جدًا

لماذا هذه هي الإجابة

مع التجزئة الشاملة يكون العدد المتوقع للتصادمات صغيرًا لأي مجموعة مفاتيح، لأن المهاجم لا يعرف أي دالة اختيرت.

الإجابة

A · لجعل قدرة المهاجم على اختيار مفاتيح كثيرة تتصادم كلها مستبعدة جدًا
5.نظرية البيانات

الإجابة: L = 14

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

مبرهنة المصافحة لشجرة

L + 20 = 2(L + 4) − 2
L = 14

الإجابة

L = 14

اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.

6.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 25

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 7, C: 13
B (7): D: 10, G: 12
D (10): E: 16, F: 25
G (12)
C (13)
E (16)
F (25)

أقصر مسار

A → B → D → F
d(F) = 25

الإجابة

d(F) = 25

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms