هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

بقطع نقدية من فئات 1 و3 و4 ومبلغ 6، كم قطعة تستخدم الطريقة الجشعة "أكبر قطعة أولًا" مقارنةً بالحل الأمثل؟

  1. Aتستخدم الجشعة 3 قطع، والأمثل 3
  2. Bتستخدم الجشعة قطعتين، والأمثل 2
  3. Cتستخدم الجشعة 3 قطع، والأمثل 2
  4. Dتستخدم الجشعة 4 قطع، والأمثل 3
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

يعمل الفرز بالإدراج في O(n) على المدخلات المرتبة. هل يناقض هذا الحد الأدنى Ω(n log n) للفرز بالمقارنة؟

  1. Aلا، فالحد الأدنى ينطبق على أسوأ الحالات عبر كل المدخلات، لا على كل مدخل
  2. Bلا، لأن الفرز بالإدراج ليس فرزًا بالمقارنة
  3. Cنعم، لكن فقط للمصفوفات الأقصر من 100
  4. Dنعم، فالحد الأدنى خاطئ إذن
3.هياكل البياناتمتوسطة

ما الغرض من العقدة الحارسة (sentinel أو dummy) في قائمة مترابطة؟

  1. Aجعل القائمة مرتبة
  2. Bمنع القائمة من النمو إلى ما يتجاوز حدًّا أقصى ثابتًا من العقد
  3. Cتخزين عدد العناصر
  4. Dتبسيط الشيفرة بإزالة الحالات الخاصة عند الرأس أو الذيل
4.هياكل البياناتصعبة

في المخزن المؤقت الدائري (circular buffer)، قد يعني front == rear الفراغ أو الامتلاء. ما الطريقة الشائعة للتمييز بينهما؟

  1. Aجعل حجم المخزن قوة للعدد اثنين
  2. Bتخزين front وrear في المتغير نفسه
  3. Cالاحتفاظ بعدّاد منفصل للعناصر، أو ترك خانة واحدة غير مستخدمة دائمًا
  4. Dمسح المخزن دائمًا حين يتساوى front وrear، فتكون الحالة فارغة
5.نظرية البياناتمتوسطة

لشجرة 2 رؤوس من الدرجة 3, 3 رؤوس من الدرجة 4, 2 رؤوس من الدرجة 5، وكل رؤوسها الأخرى أوراق (درجة 1). كم ورقة L لها؟

2 × deg 33 × deg 42 × deg 5
L =
6.نظرية البياناتصعبة
59141151214669ABCDEFG

استخدم خوارزمية ديكسترا لإيجاد طول d(F) أقصر مسار من A إلى F في البيان الموزون.

البداية: Aالنهاية: F
d(F) =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: C · تستخدم الجشعة 3 قطع، والأمثل 2

لماذا هذه هي الإجابة

تأخذ الطريقة الجشعة 4 + 1 + 1 = 3 قطع، لكن 3 + 3 تستخدم قطعتين فقط، فالجشعة ليست مثلى لهذا النظام النقدي، أما البرمجة الديناميكية فمثلى.

الإجابة

C · تستخدم الجشعة 3 قطع، والأمثل 2
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · لا، فالحد الأدنى ينطبق على أسوأ الحالات عبر كل المدخلات، لا على كل مدخل

لماذا هذه هي الإجابة

يقول الحد إن كل فرز بالمقارنة يحتاج إلى نحو n log n مقارنة على مدخل ما من الحجم n، والمدخلات الخاصة قد تكون أسرع بكثير.

الإجابة

A · لا، فالحد الأدنى ينطبق على أسوأ الحالات عبر كل المدخلات، لا على كل مدخل
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · تبسيط الشيفرة بإزالة الحالات الخاصة عند الرأس أو الذيل

لماذا هذه هي الإجابة

مع العقدة الحارسة يكون لكل عقدة حقيقية سابقة، فلا يحتاج الإدراج أو الحذف عند الرأس إلى معالجة خاصة.

الإجابة

D · تبسيط الشيفرة بإزالة الحالات الخاصة عند الرأس أو الذيل
4.هياكل البيانات

الإجابة: C · الاحتفاظ بعدّاد منفصل للعناصر، أو ترك خانة واحدة غير مستخدمة دائمًا

لماذا هذه هي الإجابة

مع العدّاد يعني الفراغ count = 0 ويعني الامتلاء count = capacity، ومع خانة فارغة واحدة يُعرَّف الامتلاء بأنه (rear + 1) mod n == front.

الإجابة

C · الاحتفاظ بعدّاد منفصل للعناصر، أو ترك خانة واحدة غير مستخدمة دائمًا
5.نظرية البيانات

الإجابة: L = 16

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

مبرهنة المصافحة لشجرة

L + 28 = 2(L + 7) − 2
L = 16

الإجابة

L = 16

اختصار: L = 2 + Σ (d − 2) على الرؤوس ذات الدرجة d ≥ 3.

6.نظرية البيانات

الإجابة: d(F) = 28

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

كل سطر: الرأس المثبَّت، ومسافته النهائية، والجيران الذين تتحسن مسافتهم.

A (0): B: 5, C: 9
B (5): D: 16, G: 11
C (9)
G (11): E: 20
D (16): F: 28
E (20)
F (28)

أقصر مسار

A → B → D → F
d(F) = 28

الإجابة

d(F) = 28

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms