هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ماذا تحسب خوارزمية Floyd–Warshall، وبأي سرعة؟

  1. Aأقصر المسارات من رأس مصدر واحد إلى سائر الرؤوس في O(V + E)
  2. Bأقصر المسارات بين كل أزواج الرؤوس في O(V³)
  3. Cشجرة امتداد صغرى في O(E log V)
  4. Dترتيبًا طوبولوجيًا في O(V²)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

ما زمن تنفيذ خوارزمية Dijkstra مع كومة ثنائية على رسم بياني فيه V رأسًا وE حافة؟

  1. AO(V + E)
  2. BO((V + E) log V)
  3. CO(V × E)
  4. DO(V³)
3.هياكل البياناتمتوسطة

لماذا يكون اجتياز مصفوفة عمليًا أسرع غالبًا بكثير من اجتياز قائمة مترابطة بالطول نفسه؟

  1. Aلأن القوائم المترابطة تخزّن العناصر على القرص دائمًا
  2. Bلأن المصفوفات تستخدم تعليمات أقل لمقارنة القيم
  3. Cلأن عناصر المصفوفة متجاورة، فتستفيد جيدًا من ذاكرة التخزين المؤقت (cache) للمعالج
  4. Dلأن اجتياز المصفوفة O(1) في المجموع، بينما اجتياز القائمة المترابطة O(n)
4.هياكل البياناتصعبة

أي بنية تتيح حساب الأكبر في كل نافذة حجمها k في مصفوفة بزمن كلي O(n)؟

  1. Aكومة صغرى يُعاد بناؤها لكل نافذة
  2. Bقائمة مترابطة أحادية لعناصر النافذة
  3. Cمصفوفة مرتبة تُحدَّث بالإزاحة
  4. Ddeque يحفظ الفهارس بترتيب تنازلي للقيمة
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEFدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
ABCDEF

كم مسارًا مغلقًا (closed walk) بطول 3 يبدأ وينتهي عند C؟ يجوز للمسار تكرار الرؤوس والحواف. سمِّ العدد N.

M = مصفوفة التجاورL = 3
N =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · أقصر المسارات بين كل أزواج الرؤوس في O(V³)

لماذا هذه هي الإجابة

Floyd–Warshall خوارزمية برمجة ديناميكية تسمح لكل رأس بدوره أن يكون نقطة وسيطة، مستخدمةً زمن O(V³).

الإجابة

B · أقصر المسارات بين كل أزواج الرؤوس في O(V³)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · O((V + E) log V)

لماذا هذه هي الإجابة

هناك V عملية استخراج أصغر وحتى E عملية تخفيض مفتاح، كلٌّ منها O(log V)، وتحسّن كومة فيبوناتشي ذلك إلى O(E + V log V).

الإجابة

B · O((V + E) log V)
3.هياكل البيانات

الإجابة: C · لأن عناصر المصفوفة متجاورة، فتستفيد جيدًا من ذاكرة التخزين المؤقت (cache) للمعالج

لماذا هذه هي الإجابة

الذاكرة المتجاورة تعطي محلية مرجعية جيدة، بينما قد تكون العقد المترابطة متفرقة فتسبب إخفاقات كثيرة في الـ cache.

الإجابة

C · لأن عناصر المصفوفة متجاورة، فتستفيد جيدًا من ذاكرة التخزين المؤقت (cache) للمعالج
4.هياكل البيانات

الإجابة: D · deque يحفظ الفهارس بترتيب تنازلي للقيمة

لماذا هذه هي الإجابة

مقدمة الـ deque هي دائمًا أكبر عناصر النافذة، وكل فهرس يدخل الـ deque ويغادره مرة واحدة، فيكون العمل خطيًا.

الإجابة

D · deque يحفظ الفهارس بترتيب تنازلي للقيمة
5.نظرية البيانات

الإجابة: مسار أويلر دون دارة

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 1, deg(F) = 2

الرؤوس الفردية

B, E → 2
مسار أويلر دون دارة

الإجابة

مسار أويلر دون دارة

يبدأ مسار أويلر عند أحد الرأسين الفرديين وينتهي عند الآخر.

6.نظرية البيانات

الإجابة: N = 2

الدرجات: درجة الرأس هي عدد الحواف التي تلتقي عنده. لكل حافة طرفان، فتساوي الدرجات مجتمعةً ضعف عدد الحواف: Σ deg(v) = 2|E| (مبرهنة المصافحة). وعدد الرؤوس ذات الدرجة الفردية زوجي إذن. للبيان Kn عدد n(n − 1)/2 حافة، وللبيان k-المنتظم على n رأسًا nk/2، وللشجرة على n رأسًا n − 1 حافة.

مصفوفة التجاور

A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

خطوة إضافية

(M³)CC = 0·1 + 1·1 + 3·0 + 2·0 + 1·1 + 1·0 = 2

الإجابة

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms