هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ماذا يقيس التحليل المستهلَك (amortised)؟

  1. Aكلفة الخوارزمية على أفضل مدخل
  2. Bمتوسط الكلفة لكل عملية على أسوأ سلسلة من العمليات
  3. Cالكلفة المتوقعة على مدخلات عشوائية
  4. Dكلفة أغلى عملية منفردة في أي موضع من السلسلة
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

لماذا يحتاج أي بحث قائم على المقارنة في مصفوفة مرتبة إلى Ω(log n) مقارنة في أسوأ الحالات؟

  1. Aلأن البحث الثنائي هو الخوارزمية الوحيدة الممكنة، وهو يحتاج إلى log₂ n مقارنة
  2. Bلأن كل مقارنة تستغرق زمنًا لوغاريتميًا
  3. Cلأن كل عنصر يجب أن يُقارَن مرة واحدة على الأقل
  4. Dلأن شجرة قرار لها n نتيجة ممكنة يجب أن يكون عمقها log₂ n على الأقل
3.هياكل البياناتمتوسطة

شبكة طرق فيها 100,000 تقاطع، يتصل كل منها بنحو 4 تقاطعات أخرى. أي تمثيل هو الأنسب؟

  1. Aمصفوفة التجاور
  2. Bمصفوفة واحدة مرتبة من الرؤوس
  3. Cكومة ثنائية من الحواف
  4. Dقائمة التجاور
4.هياكل البياناتصعبة

لماذا قد يختار خادم دالة تجزئته عشوائيًا من عائلة شاملة (universal)؟

  1. Aلضمان عدم تصادم أي مفتاحين أبدًا، أيًّا كانت المفاتيح التي يرسلها المهاجم
  2. Bلجعل قدرة المهاجم على اختيار مفاتيح كثيرة تتصادم كلها مستبعدة جدًا
  3. Cلإلغاء الحاجة إلى إعادة تحجيم الجدول
  4. Dلجعل جدول التجزئة مرتبًا
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEFGدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 7|E| = 7
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
ABCDE

كم مسارًا مغلقًا (closed walk) بطول 2 يبدأ وينتهي عند E؟ يجوز للمسار تكرار الرؤوس والحواف. سمِّ العدد N.

M = مصفوفة التجاورL = 2
N =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · متوسط الكلفة لكل عملية على أسوأ سلسلة من العمليات

لماذا هذه هي الإجابة

يوزع التحليل المستهلَك كلفة العمليات الغالية النادرة على كثير من العمليات الرخيصة، فيعطي متوسطًا مضمونًا لأي سلسلة.

الإجابة

B · متوسط الكلفة لكل عملية على أسوأ سلسلة من العمليات
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · لأن شجرة قرار لها n نتيجة ممكنة يجب أن يكون عمقها log₂ n على الأقل

لماذا هذه هي الإجابة

كل مقارنة تنصّف على الأكثر مجموعة الاحتمالات المتبقية، فيحتاج التمييز بين n موضعًا إلى log₂ n مقارنة على الأقل.

الإجابة

D · لأن شجرة قرار لها n نتيجة ممكنة يجب أن يكون عمقها log₂ n على الأقل
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · قائمة التجاور

لماذا هذه هي الإجابة

ستحتاج المصفوفة إلى 1010 خلية، كلها تقريبًا فارغة، أما قائمة التجاور فلا تخزّن إلا نحو 400,000 مدخل للحواف.

الإجابة

D · قائمة التجاور
4.هياكل البيانات

الإجابة: B · لجعل قدرة المهاجم على اختيار مفاتيح كثيرة تتصادم كلها مستبعدة جدًا

لماذا هذه هي الإجابة

مع التجزئة الشاملة يكون العدد المتوقع للتصادمات صغيرًا لأي مجموعة مفاتيح، لأن المهاجم لا يعرف أي دالة اختيرت.

الإجابة

B · لجعل قدرة المهاجم على اختيار مفاتيح كثيرة تتصادم كلها مستبعدة جدًا
5.نظرية البيانات

الإجابة: لا هذه ولا تلك

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 1, deg(G) = 2

الرؤوس الفردية

A, B, C, F → 4
لا هذه ولا تلك

الإجابة

لا هذه ولا تلك
6.نظرية البيانات

الإجابة: N = 3

الدرجات: درجة الرأس هي عدد الحواف التي تلتقي عنده. لكل حافة طرفان، فتساوي الدرجات مجتمعةً ضعف عدد الحواف: Σ deg(v) = 2|E| (مبرهنة المصافحة). وعدد الرؤوس ذات الدرجة الفردية زوجي إذن. للبيان Kn عدد n(n − 1)/2 حافة، وللبيان k-المنتظم على n رأسًا nk/2، وللشجرة على n رأسًا n − 1 حافة.

مصفوفة التجاور

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

الجيران المشتركون

(M²)EE = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 + 0·0 = 3

الإجابة

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms