هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ترتب مصفوفة من n عنصر مرة واحدة ثم تجيب عن k استعلام عضوية بالبحث الثنائي. ما الكلفة الكلية؟

  1. AO(nk)
  2. BO(n + k)
  3. CO(k n log n)
  4. DO(n log n + k log n)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

لماذا يحتاج أي بحث قائم على المقارنة في مصفوفة مرتبة إلى Ω(log n) مقارنة في أسوأ الحالات؟

  1. Aلأن كل مقارنة تستغرق زمنًا لوغاريتميًا
  2. Bلأن شجرة قرار لها n نتيجة ممكنة يجب أن يكون عمقها log₂ n على الأقل
  3. Cلأن كل عنصر يجب أن يُقارَن مرة واحدة على الأقل
  4. Dلأن البحث الثنائي هو الخوارزمية الوحيدة الممكنة، وهو يحتاج إلى log₂ n مقارنة
3.هياكل البياناتمتوسطة

لماذا يكون اجتياز مصفوفة عمليًا أسرع غالبًا بكثير من اجتياز قائمة مترابطة بالطول نفسه؟

  1. Aلأن عناصر المصفوفة متجاورة، فتستفيد جيدًا من ذاكرة التخزين المؤقت (cache) للمعالج
  2. Bلأن اجتياز المصفوفة O(1) في المجموع، بينما اجتياز القائمة المترابطة O(n)
  3. Cلأن القوائم المترابطة تخزّن العناصر على القرص دائمًا
  4. Dلأن المصفوفات تستخدم تعليمات أقل لمقارنة القيم
4.هياكل البياناتصعبة

يجب أن تحتفظ بأصغر k قيمة من تدفق من n عددًا باستخدام ذاكرة O(k). أي طريقة تعمل في زمن O(n log k)؟

  1. Aمصفوفة مرتبة لكل القيم n
  2. Bكومة عظمى حجمها k، يُستبدل جذرها حين تصل قيمة أصغر
  3. Cطابور FIFO لآخر k قيمة
  4. Dكومة صغرى تحمل القيم n كلها، تُستخرج منها أصغر k قيمة في النهاية
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
10138199187ABCDE

جد الوزن الكلي W لشجرة ممتدة دنيا في البيان الموزون.

|V| = 5|E| = 7
W =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · O(n log n + k log n)

لماذا هذه هي الإجابة

يكلف الفرز O(n log n) وكل استعلام O(log n)، وهذا يتفوق على k مسحًا خطيًا (O(nk)) عندما تكون k كبيرة.

الإجابة

D · O(n log n + k log n)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · لأن شجرة قرار لها n نتيجة ممكنة يجب أن يكون عمقها log₂ n على الأقل

لماذا هذه هي الإجابة

كل مقارنة تنصّف على الأكثر مجموعة الاحتمالات المتبقية، فيحتاج التمييز بين n موضعًا إلى log₂ n مقارنة على الأقل.

الإجابة

B · لأن شجرة قرار لها n نتيجة ممكنة يجب أن يكون عمقها log₂ n على الأقل
3.هياكل البيانات

الإجابة: A · لأن عناصر المصفوفة متجاورة، فتستفيد جيدًا من ذاكرة التخزين المؤقت (cache) للمعالج

لماذا هذه هي الإجابة

الذاكرة المتجاورة تعطي محلية مرجعية جيدة، بينما قد تكون العقد المترابطة متفرقة فتسبب إخفاقات كثيرة في الـ cache.

الإجابة

A · لأن عناصر المصفوفة متجاورة، فتستفيد جيدًا من ذاكرة التخزين المؤقت (cache) للمعالج
4.هياكل البيانات

الإجابة: B · كومة عظمى حجمها k، يُستبدل جذرها حين تصل قيمة أصغر

لماذا هذه هي الإجابة

جذر الكومة العظمى هو أكبر قيمة محفوظة، وأي قيمة جديدة أصغر تحل محله في O(log k)، فتحفظ الكومة دائمًا أصغر k قيمة حتى الآن.

الإجابة

B · كومة عظمى حجمها k، يُستبدل جذرها حين تصل قيمة أصغر
5.نظرية البيانات

الإجابة: مسار أويلر دون دارة

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 1, deg(E) = 2

الرؤوس الفردية

B, D → 2
مسار أويلر دون دارة

الإجابة

مسار أويلر دون دارة

يبدأ مسار أويلر عند أحد الرأسين الفرديين وينتهي عند الآخر.

6.نظرية البيانات

الإجابة: W = 43

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

خوارزمية كروسكال

BE (7): خذ
BC (8): خذ
CE (9): تخطَّ، تُغلق دورة
AB (10): خذ
AC (13): تخطَّ، تُغلق دورة
DE (18): خذ

الوزن الكلي

W = 7 + 8 + 10 + 18 = 43

الإجابة

W = 43

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms