هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما التعقيد الزمني لحساب عدد فيبوناتشي رقم n بجدول تصاعدي (من الأسفل إلى الأعلى)؟

  1. AO(log n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

يحقق ضرب كاراتسوبا T(n) = 3T(n/2) + O(n). ما حل هذه العلاقة؟

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(n3)
  4. DΘ(nlog₂ 3)، أي نحو n1,585
3.هياكل البياناتمتوسطة

في كومة صغرى ثنائية (min-heap) مخزّنة في مصفوفة (يبدأ الفهرس من 0)، يقع ابنا العقدة ذات الفهرس i في:

  1. Ai + 1 و i + 2
  2. Bi/2 و i/2 + 1
  3. C2i و 2i + 1
  4. D2i + 1 و 2i + 2
4.هياكل البياناتصعبة

تزيل خوارزمية Kahn للفرز الطوبولوجي مرارًا الرؤوس ذات درجة الدخول 0. أي بنية تحفظ تلك الرؤوس؟

  1. Aكومة عظمى مرتبة بحسب درجة الخروج
  2. Bمكدس لكل الحواف المزورة
  3. Cمصفوفة تجاور تسجّل الرؤوس التي أُزيلت بالفعل
  4. Dطابور (أو أي مجموعة) من الرؤوس التي درجة دخولها 0
5.نظرية البياناتمتوسطة

بيان متصل له 12 رؤوس و19 حافة. كم حافة k يجب حذفها لتبقى شجرة ممتدة؟

|V| = 12|E| = 19
k =
6.نظرية البياناتصعبة
ABCDEF

كم مسارًا مغلقًا (closed walk) بطول 2 يبدأ وينتهي عند A؟ يجوز للمسار تكرار الرؤوس والحواف. سمِّ العدد N.

M = مصفوفة التجاورL = 2
N =

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · O(n)

لماذا هذه هي الإجابة

يستغرق ملء الجدول من 0 إلى n عملية جمع واحدة لكل مدخل، فيكون العمل خطيًا بدلًا من أسّي.

الإجابة

D · O(n)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: D · Θ(nlog₂ 3)، أي نحو n1,585

لماذا هذه هي الإجابة

بما أن log₂ 3 ≈ 1,585 > 1 فإن الأوراق تهيمن وفق النظرية الرئيسية، فيتفوق على طريقة الضرب المدرسية O(n²).

الإجابة

D · Θ(nlog₂ 3)، أي نحو n1,585
3.هياكل البيانات

الإجابة: D · 2i + 1 و 2i + 2

لماذا هذه هي الإجابة

في المصفوفات المفهرسة من 0 يقع الابن الأيسر في 2i + 1، والأيمن في 2i + 2، والأب في ⌊(i − 1)/2⌋.

الإجابة

D · 2i + 1 و 2i + 2
4.هياكل البيانات

الإجابة: D · طابور (أو أي مجموعة) من الرؤوس التي درجة دخولها 0

لماذا هذه هي الإجابة

تُحفظ الرؤوس الجاهزة في طابور، وإزالة أحدها تخفض درجات دخول جيرانه، ويُضاف كل ما يبلغ 0، فيكون الزمن O(V + E).

الإجابة

D · طابور (أو أي مجموعة) من الرؤوس التي درجة دخولها 0
5.نظرية البيانات

الإجابة: k = 8

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

حواف الشجرة الممتدة

12 − 1 = 11

الحواف المراد حذفها

k = 19 − 11 = 8

الإجابة

k = 8
6.نظرية البيانات

الإجابة: N = 2

الدرجات: درجة الرأس هي عدد الحواف التي تلتقي عنده. لكل حافة طرفان، فتساوي الدرجات مجتمعةً ضعف عدد الحواف: Σ deg(v) = 2|E| (مبرهنة المصافحة). وعدد الرؤوس ذات الدرجة الفردية زوجي إذن. للبيان Kn عدد n(n − 1)/2 حافة، وللبيان k-المنتظم على n رأسًا nk/2، وللشجرة على n رأسًا n − 1 حافة.

مصفوفة التجاور

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 0
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

الجيران المشتركون

(M²)AA = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 0·0 = 2

الإجابة

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms