هياكل البيانات والخوارزميات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و6 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

نظرية البيانات

مبرهنة المصافحة
Σ deg(v) = 2|E|
البيانات التامة
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
البيان المنتظم
|E| = n·k/2
الشجرة والغابة
|E| = n − 1, |E| = n − c
أوراق الشجرة
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
أويلر
الدارة: كل الدرجات زوجية؛ المسار: درجتان فرديتان بالضبط
دارات هاملتون في Kn
(n − 1)!/2
تحديث ديكسترا
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
المسارات (walks) بطول L
(Mᴸ)ij

الطريقة

  1. اكتب درجة كل رأس؛ مجموع الدرجات يساوي ضعف عدد الحواف.
  2. في أسئلة أويلر، تحقّق من أن البيان متصل وعُدّ الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
  3. للأشجار استخدم n − 1 حافة ومبرهنة المصافحة.
  4. في ديكسترا احتفظ بجدول للمسافات المؤقتة وثبّت في كل جولة أصغر رأس غير مثبّت.
  5. لإيجاد شجرة ممتدة دنيا، رتّب الحواف بحسب الوزن وتخطَّ كل حافة تُغلق دورة (كروسكال)، أو أنمِ شجرة واحدة انطلاقًا من رأس البداية (برايم).

2مسائل تدريبية

1.الخوارزميات والتعقيدمتوسطة

ما حل علاقة التكرار T(n) = 2T(n − 1) + O(1)؟

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
2.الخوارزميات والتعقيدصعبة

ما الفرق بين مسألة غير قابلة للحسم ومسألة غير قابلة للمعالجة؟

  1. Aالمسائل غير القابلة للمعالجة لا تحلها أي خوارزمية، أما غير القابلة للحسم فتحتاج فقط إلى زمن أسّي
  2. Bالمسألة غير القابلة للحسم لا توجد خوارزمية تحلها على كل المدخلات؛ أما غير القابلة للمعالجة فلها خوارزمية لكنها بطيئة جدًا
  3. Cالمسائل غير القابلة للحسم في NP، والمسائل غير القابلة للمعالجة في P
  4. Dكلاهما يعني أن المسألة ليس لها خوارزمية إطلاقًا
3.هياكل البياناتمتوسطة

كم من الذاكرة تستخدم مصفوفة التجاور لمخطط ذي V رأسًا؟

  1. AO(log V)
  2. BO(V²)
  3. CO(E)
  4. DO(V + E)
4.هياكل البياناتصعبة

ما زمن تنفيذ البحث بالعرض أولًا على مخطط فيه V رأسًا مخزّن بمصفوفة تجاور؟

  1. AO(V²)
  2. BO(V)
  3. CO(V + E)
  4. DO(E log V)
5.نظرية البياناتمتوسطة
ABCDEدارة أويلرمسار أويلر دون دارةلا هذه ولا تلك

هل للبيان المتصل دارة أويلر، أم مسار أويلر ليس دارة، أم لا هذه ولا تلك؟ انقر على إجابتك.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1دارة أويلر
  2. 2مسار أويلر دون دارة
  3. 3لا هذه ولا تلك
6.نظرية البياناتصعبة
2141111115413ABCDEFG

تعمل خوارزمية ديكسترا انطلاقًا من A. انقر على الرأس الذي يُثبَّت (يصبح دائمًا) في الجولة 6؛ A نفسه هو الجولة 1.

البداية: Aالجولة 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3المحاليل

1.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: A · O(2ⁿ)

لماذا هذه هي الإجابة

يتضاعف عدد الاستدعاءات مع كل مستوى وهناك n مستوى، فيكون المجموع نحو 2ⁿ، كما في أبراج هانوي.

الإجابة

A · O(2ⁿ)
2.الخوارزميات والتعقيد

الإجابة: B · المسألة غير القابلة للحسم لا توجد خوارزمية تحلها على كل المدخلات؛ أما غير القابلة للمعالجة فلها خوارزمية لكنها بطيئة جدًا

لماذا هذه هي الإجابة

ليس لمسألة التوقف أي خوارزمية إطلاقًا، أما مسألة NP-صعبة مثل TSP فيمكن حلها بالقوة الغاشمة، لكن ليس في زمن كثير حدود معروف.

الإجابة

B · المسألة غير القابلة للحسم لا توجد خوارزمية تحلها على كل المدخلات؛ أما غير القابلة للمعالجة فلها خوارزمية لكنها بطيئة جدًا
3.هياكل البيانات

الإجابة: B · O(V²)

لماذا هذه هي الإجابة

تخزّن مصفوفة التجاور V × V مدخلًا، وهي فعّالة للمخططات الكثيفة؛ أما قوائم التجاور فتستخدم O(V + E) وهي أفضل للمخططات المتفرقة.

الإجابة

B · O(V²)
4.هياكل البيانات

الإجابة: A · O(V²)

لماذا هذه هي الإجابة

يمسح كل رأس من الرؤوس V صفًا من V مدخلًا، فيكون الزمن O(V²)، ومع قوائم التجاور يكون BFS في O(V + E).

الإجابة

A · O(V²)
5.نظرية البيانات

الإجابة: دارة أويلر

أويلر وهاملتون والأشجار: لبيان متصل دارة أويلر (كل حافة مرة واحدة، والعودة إلى البداية) عندما تكون لكل رأس درجة زوجية، ومسار أويلر ليس دارة عندما تكون لرأسين بالضبط درجة فردية؛ ويسير المسار عندئذ من أحد الرأسين الفرديين إلى الآخر. تزور دارة هاملتون كل رأس مرة واحدة؛ وفي Kn منها (n − 1)!/2. للشجرة على n رأسًا n − 1 حافة، ويحتفظ بيان متصل ذو m حافة بشجرة ممتدة بعد حذف m − n + 1 حافة.

الدرجات

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

الرؤوس الفردية

0
دارة أويلر

الإجابة

دارة أويلر
6.نظرية البيانات

الإجابة: E

أقصر المسارات والأشجار الممتدة: تثبّت خوارزمية ديكسترا رأسًا واحدًا في كل جولة: الرأس غير المثبّت ذا أصغر مسافة مؤقتة. تصبح مسافته نهائية، ويأخذ كل جار v القيمة d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). تبني خوارزمية كروسكال شجرة ممتدة دنيا بأخذ الحواف من الأخف إلى الأثقل وتخطّي كل حافة تُغلق دورة؛ وتنمّي خوارزمية برايم شجرة واحدة من رأس البداية بإضافة أخف حافة تغادرها دائمًا. وللشجرة الممتدة على n رأسًا n − 1 حافة.

ديكسترا جولةً جولةً

1. A (0): B: 2, C: 14
2. B (2): C: 3, D: 13
3. C (3): E: 14, G: 7
4. G (7)
5. D (13): F: 18
6. E (14)
7. F (18)

الجولة 6

E

الإجابة

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms